Н Давыдов - S-млтрица уравнения штурма—ли у билля с медленно убывающим потенциалом - страница 1

Страницы:
1  2  3 

УДК 517.9 Р. Н. ДАВЫДОВ

S-МЛТРИЦА УРАВНЕНИЯ ШТУРМАЛИ У БИЛЛЯ С МЕДЛЕННО УБЫВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Обозначим через М(а, Ь) множество вещественных измеримых

ъ

функций f(x), удовлетворяющих неравенству j j/(x)|2 ее Wdx<oo,

а

где є — положительное число, свое для каждой функции f(x).

Рассмотрим уравнение ШтурмаЛиувилля на оси L [у] =—у" + q (х)у = г2у, оо < х < оо (1) с вещественным потен­циалом

Я (х) = Яо (х) + РІ (х) + Pk (х), q0(xM(—oo, оо); f*+(fe++l)   х>ї <      0       , х> -1;

Пусть е± (г, х) решения уравнения (1), удовлетворяющие усло­виям

lim e+(z, x)e~Ux = lim e~ (z,x)e~izx = !. (3)

В работе [1] показано, что такие решения допускают представ­ление

€±(2, x) = eUz, х)+ J K++(x,t)ei(z, t)dt, /С±(х, t) = 0 {±t<

< ± x) и ух /C±(x, t)£M{~oo, oo), (4)

а функции ef (z, x) суть решения уравнения (1) с q{x) = /?± (х), удовлетворяющие условию (3). Из представления (4) ясно, что

пары аналитических в полосе П\{0} = {г:|Ітгі < е}\{0} функций е+(г, х), е+ (—г, х) и e~(z, х), «?"(•г, х) образуют фундаменталь­ные системы решений уравнения (1). Значит, e*(z, х) = a(z)e~(z,x) + -\-b{z)e~(г, х); г~(г, х) = а(г)е+{г, х) b (—z)e+(z, х)\ 2iza(z) = —W(e+(z, х), (?-(—2, х)); 2izb (г) = W (e+ (z, x), e~(z,x)), где W(/(x), ^W) = fW?(i)-f(.r]g'W. Функции a(z) и 6(2) также аналитичны в области П\{0}, а функция с (z) допускает аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость.

Матрица 5 (2) = || siS (г) |)г, y=i, 2, где sn (z) = s,2 (г) = ^ , sl2(z) =

= —т4» %(г)==-^т\~> называется 5-матрицей уравнения (1).

Нашей целью является вывод необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять матрица 5(2), чтобы быть 5-матрицей уравнения (1) с потенциалом вида (2) в случае k+ = k~ = 1. Случай произвольных k+, k~ будет рассмотрен в следующей работе.

Решение этой задачи для потенциалов q(x) — qn(x), удовле-

творяющих условию j   (1 + | х |) | q (х) | dx <со,    было получено

Л. Д. Фаддеевым [2]   (см. также [3]).

Свойства S-матрицы. Из определения функций а (г) и 6(2) вытекает справедливость соотношений a(z)=a(г), Ь (г) = = 6(—"і), 1 = a (г) а (—2) 6 (z) b (—z) = {%) |2 l b (X) (Iml = = 0) (5), что влечет унитарность S-матрицы на вещественной оси

Пусть k+ = k~ = 1. Тогда

<?1 (2,   х)=    222J_ 2(2-1   ,„   ,   е«* Єї  (2,х)-'-є, (-z-JC)

Мы будем рассматривать случай отсутствия у оператора j дискретного спектра. (Общий случай может быть приведен к этом с помощью преобразований Крума 14]). Тогда a(z) не обращаете в нуль в верхней полуплоскости. В силу равенства (5) на веіщ ственной оси |а(Я)01, значит, a(z)=£0 и в некоторой боле широкой полуплоскости Imz>г.

Лемма 1.   Функции   a (z),   b (г)  имеют   вид   a(z) = l +

+ Z(izr>'(aj + ( Aj(t)e^dt), b (z) = У  Г 5, (*)e'*'dt + /=і о

3

-{-     (i'z)_/     -|- \ Вj (t)eiztdt), где a,-, bjпостоянные числа,

у4/(ОЄЛ1(0, оо), В/(0€М(—оо, оо).

Следствие. В любой замкнутой полосе ni = {z:jlmz|^ ^ єх < е} функции zs2l (г) и zsl2 (z) убывают равномерно и сумми­руемы с квадратами модулей на любой прямой. Функция sn (z) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость Imz > є, где su (z) = 1 + 0( |z |-1), когда \z j ->oo.

В дальнейшем рассмотрение часто будет разветвляться на два варианта а) и б) в зависимости от того, как ведет себя в нуле аналитическая функция а1 (г) = 2iz3a (z):

о) 0l (0)^=0, б) 0^(0) =0. >rr ' ■

Лемма 2. В случае а) функции a(z) и b(z) имеют в точке г = 0 полюс третьего порядка, а их разложения в ряд Лорана имеют вид a (z) = z~3(ta0 + ta2z2 + cc3z3 + i'a4z4 + ...), b (z) = = z-3(i'a0 + iatz2 + |3gZ3 + ta4z4 +...).

Лемма 3. В случае б) функции a(z) и b (z) имеют в точке 2 = 0 полюс первого порядка, а их разложения в ряд Лорана имеют вид a(z) = z_1 [ia0a0 (m2 + ml) z + . . .]; b (z) = z'1 x X [ta0 a0 (m2. m2)z+ ...], причем, a\ = 4(m7/2m~2).

Изложенное выше позволяет утверждать, что S-матрица урав­нения (1) с потенциалом (2) обладает следующими свойствами.

I. Аналитичность: матрица S (z) аналитична в некоторой полосе П = {z : J Im z J < в}. Функция su (z) продолжается аналитически в верхнюю полуплоскость, где она нигде не обращается в нуль.

II. Унитарность: на вещественной оси S* (X) S (X) = Е.

III. Симметрия: sn(z) = s,2(z).

IV. Вещественность: Sij(X) = scj(X).

V. Поведение при [z[-»-oo: в любой замкнутой полосе = = : | Im z\ et < є) функции zs2l (z) и zsl2 (z) убывают равномерно и суммируемы с квадратами модулей на любой прямой из полосы. sn(z) = 1 +0(|z|-1) (lmz>0).

VI. Поведение при z->0: sl2(0) = s2l(0) = 1. Выполняется одна из двух возможностей либо a) sn (г) = ta3z3 + О ([ z I4), c3=9fe0,si,(0) = s'sl(0) = 0, либо б) s11(z) = /a1z+0(|z|2), ст^О, sl2(0)s2l(0) = -o-;, /sl2(0)>0.

VII. |512(Я)|<1 (Я^0, 1тЛ = 0).

Следствие. S-матрица полностью определяется заданием одного элемента sl2(z) по формулам

_оо

% (—2) = su (z)-1 [1 — sl2 (z) sl2 (—z)]; s2i (г) = — sl2 (—z) su (z) [su (— г)]-1.

Обратная задача рассеяния. Перечисленные свойства 5-мат-рицы оказываются не только необходимыми, но и достаточными, а именно, справедлива

Теорема 1. Для того, чтобы матрица S (г) = |) (г) ||(-, /=!. 2 бьма S-матрицей некоторого уравнения ШтурмаЛиувилля (1) с потенциалом вида (2) (&+ = й_ = 1) необходимо и доста­точно выполнения условий IVII. Соответствие S(z)<^q(x) взаимнооднозначно.

Доказательство достаточности имеет конструктивный ха­рактер мы построим по заданной матрице S (г) функцию q(x) вида (2) и покажем, что матрица 5 (г) является S-матрицей урав­нения (1).

Обозначим

R- (х) = 2[т j sl2 (Х)е-йхаІХ,

R+(x) =й\\ s* 0^axdX.

В силу свойств I и V функции (л:) £Л4 (—оо, оо), абсолютно не­прерывны и     (х)' £ ('оо, оо). Рассмотрим уравнения Марченко

R+ + у) + К+ (х, у) + jV(x, t)R+(t + y)dt = 0, у>х; (7)

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

Н Давыдов - S-млтрица уравнения штурма—ли у билля с медленно убывающим потенциалом