Н Давыдов - S-млтрица уравнения штурма—ли у билля с медленно убывающим потенциалом - страница 3

Страницы:
1  2  3 

2iz*sul (z) = [JZl (x)J-.(x)fW (hf (Z, X), еГ'(—2, x)) =

= [/Z' (x)/_ (x)]2 (<Г (x)22)1У(Є-(— 2, x). /l+(2, X)) = 0.

Вследствие простоты нулей e~ (2, x) функция P(z) может иметь полюс только в точке 2 = 0.

Пусть х таково, что е~(0, х)=ф0 и Е~(0,х)=^=0. Из асимпто­тик (21), (22) следует, что lim zP (г) = lim ——rL-р = 0. Значит, Р(г) целая функция, а так как lim Я (г) = 1, то P(z)~l, т. е.

ігі-оо

h~(г, х) = <?"(—2, х), /г+(г, х) = е+ (г, х). По непрерывности последние равенства распространяются на все х.

Завершая доказательство теоремы 1, установим однозначность соответствия S (z) q (х). Нетрудно проверить, что преобразова­ние    tf> (х) = ф (х) z~-v (х)      W (v (х),   ф (х)),   где   V (х) = Z X

Хе~ (г, х)|г=о, ^ (х) = и2 (i) Л, переводит решение уравнения (1) в

решение уравненияу" + Q+y z-y (—оо < х < со) (15) с потен­циалом Q+ (х) = q (х) 2^х (У (х)У-1 (х)), экспоненциально убыва­ющим при х-> + °°- Причем, 5-матрица уравнения (15) совпа­дает с S-матрицей уравнения (1).

Пусть К+ (х, у) ядро правого оператора преобразования Левина [5] для уравнения (15). Обычным образом устанавливается, что функции R+(x) и К+(х, у) связаны интегральным уравнением

Марченко R+(x + у) + К+(х, у) + _f К+(х, t) R+(t+y) dt =0 (у>х).

х

Как следствие единственности решения это уравнения и того факта, что Q+(x)=2jx К+(х, х), мы получаем единственность потен­циала q(x).

Список литературы: 1. Сохин А. С. Об операторах преобразования для уравнения с особенностью одного вида..Математика и механика, 1974, вып. 39, с. 3642. 2. Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. П.—Современные проблемы математики.М.: ВИНИТИ, 1974, 3, с. 93—180. 3. Марченко В. А. Операторы ШтурмаЛиувилля и их приложения. Киев: Наук, думка, 1977.—369 с. 4. С rum М. М. Associated Sturm Liouville Systems. —The Quart. J. of Math. Oxford (2), 1955, 6, № 2, c. 121—128. 5. Левин Б. Я- Преобразования типа Фурье и Лапласа при помощи решений дифференциального уравнения второго порядка. Докл. АН СССР, 1956, 106, № 2, с. 187—190.

Поступила в редколлегию 14.01.81.

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

Н Давыдов - S-млтрица уравнения штурма—ли у билля с медленно убывающим потенциалом