Д Гордевский - Аффиннопараллельные поверхности - страница 1

Страницы:
1  2 

Аффиннопараллельные поверхности Д. 3. Гордевский

В метрической геометрии довольно хорошо изучены так назы­ваемые параллельные поверхности. Естественно поставить аналогич­ную задачу в аффинной геометрии. Но здесь при её решении встре­чаются трудности, главным образом технического порядка, иногда значительные.

Мной найдены основные тензоры и инварианты аффиннопарал-лельных поверхностей. Найдена также аффинная нормаль и выясне­ны условия существования взаимноаффиннопараллельных поверхно­стей. _

Пусть задана поверхность x(u,v). Обозначим вектор её аффин­ной нормали через у и назовём поверхность х = х +зу, где a=const.) ^Поверхностью аффиннопараллельной к поверхности х.

Проверим основное свойство поверхности х : касательные плоско­сти к поверхности х параллельны соответствующим касательным плоскостям поверхности х_(соответствие устанавливается аффинными нормалями к поверхности х).

Пусть о = a (u, v). Потребуем, чтобы

(xuxuxv) = 0  и  (xvxuxv) = 01) т. е. аи (у х„ xv) -t- з (уи хи X v) = О

и ау (У хи xv)-b°(yv Хц xv) = 0.

Но, как известно [1], xu xv)-/0, a (yu xu xv ) —(yv xu xv) = 0; следовательно, ou =0, sv = о, т. е. а const.

Условие о = const, является необходимым и достаточным, чтобы

it      — —

поверхность х — х-\-оу имела указанное выше свойство.

§ 1.

Приведём сначала несколько формул, которые можно получить из формул Бляшке (см. т. II, § 63) в тех же обозначениях.

Непосредственно можно проверить формулу

BlaBaj = -KSj_2HB{ ; (1,1) '

!)  Принимаются обыкновенные обозначения частных производных xu = и Jt — _

смешанных произведений (xu xu xv).

Д. 3. Гордсвский

отсюда

BapBa? = 4H2-2Kv (1,2)

Введём тензор S'i = 2HG'j -f ВЧ . (1,3) Из (1,1) и (1,3) получаем:

Bia    = - KSj (1,4)

и

BapS^ = -2K. (1,5) Сворачивая (1,3) с Оц , имеем:

Ga?Sap = 2H. (1,6) Отметим соотношения

в22

su=-

G

В12 G

(1Д) (1,8)

В11

S22 = -^- , . (1,9)

которые легко проверяются.

Проверим, например, соотношение (1,7):

* S"===2HGu + Bn = 2HQ11 + G1«GlPBepe

= - (G11 Bn + 2G12 В„ + G22 В22) Gu + G11 G11 Вп + 2Gn G12 В,, +

+ G12 G12 В22 = (G12 G12 Gn G22) В22 = — ~ . Введём ещё такие тензоры:

M'J = G'J - aS'J = G4(l - 2Ha) oBlK (1,10) Nij-Gy + 'Bij. ... (1,11)

С помощью (1,1) и (1,4) убеждаемся в справедливости соотношений NiaMaj = 6Sj ч Na3 Ма? = 2ф , (1,12)

BlaM4j=Bj + 3K8l, (1,13)

где

ф = Ко2-2Но + 1. (1,14)

Обозначив

28 п 15)

2^-^г+5ці -auk 0>i5)

выведем формулуде

2Г-

^' 1U..V

1-й   вывод.   Диференцируя по ик соотношение   GiaG^ = 8| dGia

и заменяяг- на I\i a-{-Пм і > получаем:

dGa*

2G^rki>a = -Gia (а)

Свернём (а) с Gri:

оЮг5 duk~

Диференцируя по ик соотношение  = G^Brj   и заме

^T=-2GriG»lrkl,e. (в)

;няя

к  На Pkr,j + Pkj,r> получим:

<?uH

2Нк = - ^ . Brj - 2G'j 3krJ . (с) Из (в) и (с) вытекает (1,16).

1 dQ

2-й вывод.  Принимая во внимание, что Ga'j Гіа 8 = — • ——

''     2G ди1

а ы а и д.    п^ипииан пи снимание,  ни v.'a'^

имеем:

=      Ва? = 1 (G22 вп - 2G,2 bl2 4- Gu в22), — 2Иі = — q2       (G22 bn 2GJ3 b13 -f- Gu B22) -f-

1 <*BU

+ 7 G

G V dui

Воспользовавшись формулами (1,7), (1,8), (1,9), получаем.

2H, - 2H ■ — ■ д—+ Ga? - ^l - Sa?-?2fP G    ди[ дії1 ди1

-2Н, = 4HG^ Гіа,р +2Ga? рів|Р - 2S"P Гцр .

Но из (1,3) Sa^ — 2 HGa^ = В"?; следовательно, получаем (1,16). Выведем, далее, соотношения:

Ki--2(SePpie>p + KG-Prla>p). ■ (1.17)

Д. З, Гордевский

1- й вывод. Воспользовавшись формулой (Ь), находим:

дВ^     д . .

—    2 Gm Gvn rim> n - 2 G™ B^" Гіт> „ + 2 G^1 G« ^ g. (d)

Потом диференцируя соотношение (1,5) по и' и с помощью формул (1,13), (d), (1,16) найдём (1,17).

2- й вывод. Напомним известную формулу [см. Blaschke, 1. с, т. II, § 68, формула (22.а)]

к = 1(впв -в2).

Q  \    п    22 12/

Диференцируем по Ui-

к, а,(ввв.-ву hі-(в„^ + В.

или с помощью (1,7), (1,8), (1,9)

К, =-2KG*T^-2S*4^ill.

Сообщим формулам (1,16) и (1,17) несколько иной вид, вводя обозначения

dNik    dNjk    дЩ . .

]'      с/и>      да1 duK Принимая во внимание (1,11), очевидно, имеем:

4k = rij,k+3r>ij.k. (1,19) Умножая (1,16) на з и заменяя из (1,19), получаем:

oH^N^-G^. (1,20)

Если умножить (1,17) на з2 и (1,16) на и сложить, потом из (1,19) заменить и, наконец, учесть формулы (1,3), (1,10), (1,11)

и (1,14), то получим:

ф, =2(M^T)[V-^r.v). (1,21)

Первый основной тензор поверхности X.

Обозначения тензоров и инвариантов поверхности х будут отли. чаться от обозначений тензоров и инвариантов поверхности х (кото­рыми пользуется Бляшке) звездочкой вверху.

Непосредственным подсчётом находим:

(хі5х~, x7) = !G|V2^(Gij-T-3Bij)1); (2,1)

)) Xjj = xj,- обозначает конвариантную производную от х{ по первому осноИ ному тензору поверхности X.

Аффиннотраллельные поверхности

отсюда первый основной тензор поверхности х будет иметь вид:

Gjj= 4Gij+^Bij)=XNij, (2,2)

где

ЬЧФІ1/*, (2,3)

причём X берём со знаком ty.

Опираясь на соотношения (1,7), (1,8), (1,9), находим:

<5'3 = т (Gfj — з Sjj) = тМ'і , (2,4)

где

х = —

причём G'l определяется к&к обыкновенно:

Gf„ Gaj=8j .

(2,5)

Символы Кристоффеля задаются формулами:

2 f jjjk = 2ХТ,Jk + X, Njk + h Nik ~ К Щ - (2.6)

т ^ - * 18Ї+N 80 - Niiм" х° +2ШГа v (2«7)

Отметим соотношение, которое получаем с помощью (1,12) (2,4) и (2,7):

Ga%=^MimMa%)m. (2,8) § 3.

Вектор аффинной нормали поверхности х.

Условимся обозначать ковариантные производные по тензору Gjj косой черточкой.

2 У - = оВ^Ї, + oBj xs/v) . (3,1)

Воспользовавшись формулами

V V + (rjv - frjv) xs = a* v xs + G,AV у + (I-v - Г* v) xs ,

B^/v = G8"1 (        + PmVj(i) - *Г™ Bra "~ ГЬ BniH.GSl ~ (rmv_ *Гты~) B» получим:

2 J = 6^ {ajv+r;v - r;v+a [в;г a^v+q (^>m+Pfflv j -

-     Bm -     B„ GmS] } *s + G^V N,v У. (3,2) При вычислении коэфициента при xs принимаем во внимание, что

10 Учені з*писки, юм XXIV.

14$

Д. 3. Гордевский

В самом деле, если учесть формулы (2,4), (1,10), (1,13) и условия аполярности Ga^ Aapr = 0, то

m^v (a*v + - Bj1 A^) - [(1 - 2 Ha) G|AV - a B^] Aj, + oM   B™ A^v -

~ - oB^v A jv + aM^ Bj1 Asmv - - «,B»" A Jv + o(B™ + 'KG™) A^v = 0.

Формула (3,2) в таком случае будет иметь вид:

т у =   {г* v - г* v + о [с»( ^m+ри<|и) -

-ї^віІпив111ош']}ї,4-2фу • (3,3)

Пусть

■іу-Агхг+2фу , (3,3')

тогда, принимая во внимание формулу (2,8), будем иметь

Аг = МГ ft, - ,XMrm V,m +-«G™ ( P,v,m + Pm j --'^Mkm V|fn B'k - <v Bn,A Gmr} . Но (см. 1,10 и 1,13)

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Д Гордевский - Аффиннопараллельные поверхности

Д Гордевский - Классификация принципов дуальности и дезарговых конфигураций в многомерном проективном пространстве

Д Гордевский - Аксиомы инцидентности многомерной проективной геометрии