В Ю Хохлов - Алгоритм оптимвації портфелю за нормою шарпа - страница 1

Страницы:
1  2  3 

УДК 336.767

В.Ю. Хохлов, канд. техн. наук, Консультант з корпоративних фінансів та інвестиційного менеджменту

АЛГОРИТМ ОПТИМВАЦІЇ ПОРТФЕЛЮ ЗА НОРМОЮ ШАРПА

АНОТАЦІЯ. Оптимальний портфель з найвищою можливою нормою Шарпа відіграє важливу роль у розподілі капіталу та оцінці результатів управління інвестиціями. У статті запропоновано простий алгоритм визначення та­кого портфеля для будь-якої множини активів без використання нелінійного програмування. Алгоритм було перевірено на індексі S&P 100 у 2010 році. Також розглянуто проблему використання арифметичних середніх чи фак­тичних повних дохідностей у якості вхідних даних.

ABSTRACT. An optimal portfolio with the highest possible Sharpe ratio plays an important role for the capital allocation and performance evaluation. This paper introduces a simple algorithm for finding the Sharpe-optimal portfolio without solving a non-linear problem. The results are tested on S&P 100 components in year 2010. They also address the issue of using arithmetic means or actual returns as the optimization inputs.

КЛЮЧОВІ СЛОВА. Портфель цінних паперів, оптимальний портфель, норма Шарпа, розподіл капіталу, математична модель.

Задача asset allocation, тобто визначення ваги активів у порт­фелі, є ключовою задачею портфельних менеджерів. Як вказано у [1], понад 90 % вартості, яку створюють портфельні менеджери, створюється саме за рахунок asset allocation. Ця стаття присвяче­на дослідженню проблеми визначення ваги активів у портфелі та оптимізації портфелю за нормою Шарпа.

Сучасна портфельна теорія, починаючи з фундаментальної роботи Марковиця [2], забезпечує теоретичну базу для mean-variance оптимізації (MVO). Розв'язок цієї задачі без накладання обмежень був отриманий Мертоном [3], але на практиці він часто призводить до нездійсненого розподілу капіталу завдяки великим довгим та коротким позиціям. Якщо ж додати обмеження на вагу активів, то MVO стає задачею квадратичного програмування, один з найвідоміших алгоритмів її розв'язання запропонував Шарп [4]. Цей алгоритм дозволяє знаходити вагові коефіцієнти (вагу) активів в оптимальному портфелі для заданої схильності інвестора до ризику (risk tolerance). Такий підхід дуже пасує ін­дивідуальним інвесторам, для яких визначення схильності до ри­зику є дуже розповсюдженим у практиці фінансових радників,

© В. Ю. Хохлов, 2011 200але він не працює для інвестиційних фондів чи портфелів, для яких не визначений конкретний суб' єкт, в інтересах якого здійс­нюється управління.

На практиці, для оцінки успішності портфельних менеджерів, інвестиційних фондів та окремих портфелів, використовуються низка показників [5], найпопулярнішим з яких є норма Шарпа, що дорівнює відношенню інвестиційної доходності понад безри-зикову ставку відсотка до стандартного відхилення доходності. Норма Шарпа часто є критерієм вибору фонду, портфеля чи ме­неджера, тому її максимізація є природною задачею при визна­ченні ваги активів. Хоча оригінальний алгоритм Шарпа не дозво­ляє вирішити задачу визначення ваги активів у портфелі, опти­мальному за нормою Шарпа, у даній статті запропонована його модифікація, яка дасть таку можливість.

Ще одне застосування оптимального за нормою Шарпа портфе­ля полягає в тому, що він визначає оптимальний розподіл капіталу за наявності безризикового активу. Як доведено у сучасній порт­фельній теорії, всі портфелі, що відповідають такому розподілу, ле­жать вздовж прямої лінії, що називається capital allocation line (CAL). Ця лінія є дотичною до ефективної границі Марковиця саме у точці, яка відповідає портфелю, оптимальному за нормою Шарпа. Хоча вважається, що для ринкового портфелю цю точку можна ви­значити за допомогою зваженого по капіталізації ринкового індек­су, це дасть змогу побудувати лише capital market line (CML), але на практиці частіше виникає потреба побудувати CAL для визначеної множини активів, а не всього ринку акцій. До того ж, багато інвес­торів мають обмеження щодо коротких позицій у портфелі, для врахування цього обмеження стандартна CAL непридатна. У статті запропоновано консервативну CAL, яка містить оптимальні порт­фелі без коротких позицій, та показано алгоритм її побудови.

Метою цього дослідження є створення методологічної бази для оптимізації портфелю за нормою Шарпа. Завдання дослі­дження — розробка алгоритму оптимізації, який дозволяє знахо­дити вагу активів у портфелі з найбільшою нормою Шарпа за умови існування обмежень на вагу активів.

Алгоритм Шарпа

Алгоритм, розроблений Уільямом Шарпом, дозволяє розв'язу­вати задачу квадратичного програмування та знаходити ваги ак­тивів, які максимізують таку функцію корисності:

U = гр - aр = £ w,r, -—£ w1wJар -> гшх

rt i rt i, jде rp позначає очікувану дохідність портфелю, rt — схильність інвестора до ризику, ар — стандартне відхилення дохідності портфелю, wi — вага i-го активу у портфелі, ri — очікувана до­хідність i-го активу, ар — коваріація дохідностей i-го та j-го ак­тивів (при цьому ай = а2 позначає варіацію i-го активу), та задо­вольняють таким обмеженням:

£ w, = 1,(2)

i

wr < w, < wmax, i = M .(3)

Алгоритм Шарпа використовує градієнтний метод розв' язання задачі квадратичного програмування та досить швидко збігається до локально оптимального рішення. Градієнтний метод застосо­вує поняття маржинальної корисності, яка є частковою похідною функції корисності за вагою індивідуального активу:

mu, =-д-=dwLдг^=r £ wj aj.(4)

Задача оптимізації за нормою Шарпа

Щоб максимізувати норму Шарпа, потрібно розв' язати опти-мізаційну задачу з такою цільовою функцією:

Rs =Гр r = (rp- rf f 1 = f £ wir,- rf £ w,wjа j    , (5)

ар V i J  Vij J

де rf позначає безризикову ставку відсотка.

Це задача нелінійного програмування, а такі задачі не мають тривіального шляху розв' язання. Алгоритми нелінійного програ­мування набагато складніші за алгоритм Шарпа. Але ми можемо використати той факт, що будь-який розв' язок нелінійної задачі (5) має бути коренем для усіх її часткових похідних. Часткова похідна функції (5) по вазі i-го активу дорівнює

dRt=J_^+(r -r \JLL2)-0,5 = J_- 0,5р -rf- д(ар).

dw,    ар dw,   Ур    f>dw^ р'       ар dw,       (а2рf dw,

ар   а3р j ар

£ wj aj =—Іr, -j £ wj aj

V ар

(6)

Можна побачити, що всі корені (6) є також і коренями (4), як­що виконується таке рівняння для значення схильності інвестора до ризику:

2а2

r* = —*- .(7)

гр ~ rf

Таким чином, оптимальний за нормою Шарпу портфель буде розв'язком задачі (1) — (3), який задовольняє також рівнянню (7). Оскільки в алгоритмі Шарпа схильність інвестора до ризику є вхідним параметром, який може мати будь-яке значення, то змі­нюючи його можна отримати портфель, у якого схильність до ри­зику задовольняє рівнянню (7), тобто визначити оптимальний за нормою Шарпу портфель, без розв'язку нелінійної задачі.

Модифікація алгоритму Шарпа

Запропонована модифікація алгоритму Шарпа полягає у його використанні для знаходження розв' язку задачі (1) — (3), що за­довольняє рівнянню (7). Хоча заздалегідь неможливо вказати на таке значення параметру схильності до ризику r*, тобто пряме використання алгоритму з будь-якою наперед заданою схильніс­тю до ризику неможливе для розв' язку цієї проблеми, ми можемо використати ітеративну сутність алгоритму. Оскільки він збіга­ється до оптимального рішення при будь-якому значенні rt, ми можемо замість константи зробити цей параметр змінним та на кожній ітерації знаходити його конкретне значення, яке задоволь­няло би рівнянню (7) на попередній ітерації. Збіжність алгоритму буде гарантувати, що різниця між кінцевими ітераціями є мініма­льною, тому рівняння (7) буде приблизно (з точністю до порогу алгоритму) виконуватись й на останній ітерації.

Модифікований алгоритм має такі вхідні параметри:

w(0) = {w(0)} i = 1,n — початковий розв'язок, що задовольняє умовам (2) — (3),

r = {r} — вектор очікуваних дохідностей,

£ ={ар} — коваріаційна матриця,

rf — безризикова ставка відсотка,

}, {w,max}, i = 1, n — нижня та верхня границя ваги окре­мих активів у (3).

Алгоритм має кінцеву кількість ітерацій k = 0,1,2,..., кожна з яких складається з наступних кроків (слід зазначити, що кроки 2—5 та 7 такі ж самі, як в оригінальному алгоритмі Шарпа):

1. Змінний параметр схильності до ризику розраховується згід­но з формулою (7):

а2 2>lk4k4

i

2. Маржинальні корисності розраховуються по формулі (4), де

r = r (k)

' t    ' t

3. Обираються два активи, ваги яких змінюються. При цьому збільшується вага активу з найбільшою маржинальною корисніс­тю, вагу якого ми можемо збільшити у портфелі, та зменшується вага активу з найменшою маржинальною корисністю, вагу якого ми можемо зменшити у портфелі. Якщо один з цих активів не­можливо визначити, то алгоритм припиняється:

: max {MUi

w(k)< wmax!

: MUr   = min {MU \w(k) > wmin }

4. Розраховується ефект від зміни ваг активів:

AMU = MU,   - MU,

'add 'sub

5. Якщо величина ефекту менша за поріг оптимізації, алго­ритм припиняється.

6. Розраховується оптимальний можливий розмір зміни ваги двох активів:

Aw = min

_'add

'sub

2 r/k)

2 2 add sub

iaddisub

w

!add

iadd isub

w

isub

7. Розраховуються нові ваги активів у портфелі, після чого переходимо на наступну ітерацію:

w.

(k+1) .

w( k) +Aw,i = ia w(k) -Aw,i = i„

(k)

у іншому випадку.

Запропонований алгоритм дуже простий у реалізації та відріз­няється від алгоритму Шарпа лише додатковим розрахунком ве­личини rt на кроці 1 та використанням модулю у знаменнику в формулі на кроці 6.

Щоб перевірити роботу модифікованого алгоритму, викорис­таємо класичну задачу оптимізації портфелю з трьох активів, яку використовував Уільям Шарп. Ці активи — інструменти грошо­вого ринку (гроші), облігації та акції — мають інвестиційні пара­метри, що зазначені у табл. 1.

Таблиця 1

ВХІДНІ ДАНІ ДЛЯ ЗАДАЧІ ОПТИМІЗАЦІЇ ПОРТФЕЛЯ З ТРЬОХ АКТИВІВ

Активи

Границі ваги активів

Початковий розв'язок

Очіку­вана

дохід­ність

Станда­ртне відхи­лення

Кореляції

i

 

wmax

w(0)

 

ai

12 3

1: гроші

0

1

1

2,8

1,0

1,00  0,40 0,15

2: облігації

0

1

0

6,3

7,4

0,40   1,00 0,35

3: акції

0

1

0

10,8

15,4

0,15   0,35 1,00

Безризикова ставка відсотку є рівною очікуваній доходності грошей, тобто 2,8 %. Модифікований алгоритм Шарпа знахо­дить оптимальний за нормою Шарпа портфель з очікуваною дохідністю 7,96 % та стандартним відхиленням 8,52 Цей порт­фель відповідає схильності інвестора до ризику 28,157. Ми можемо за допомогою оригінального алгоритму Шарпа побу­дувати низьку оптимальних портфелів з різними, в т.ч. близь­кими значеннями схильності до ризику, щоб впевнитися, що знайдений за допомогою модифікованого алгоритму портфель є оптимальним за нормою Шарпа. Ці портфелі та їх параметри наведено у табл. 2.

Як видно з параметрів побудованих оптимальних портфелів, розв' язок, знайдений за допомогою модифікованого алгоритму, має найвище значення норми Шарпа.ця

и

бл Таб

ІВ ВІ

И Т К А Х О Ь Р Т З

ЛІ

Е

Ф

РТ

О П

ч

С! & О

CQ .5

а

со а

хр

хр хр О4

^ ^ О ООО

°» °» о-

ООО

хО -? -?

^ £ч £ч

0 U"l U"l

О ^4 "і

о" m 40

° ^ 00

хО -? -?

^ ^ ^

О 40

8 °v °»

on о

" сн no

хО -? -?

^ ^ ^

о f- m

о ~ °°8

о" rt 00

<-> no СП

хО -? -?

^ £ч £ч

0 1Л 1Л

§ rt

^ rt 00

о ~ °°8

m 40

no СП

£ ^ ^

sc <s

2 If)

S <s t-

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

В Ю Хохлов - Алгоритм оптимвації портфелю за нормою шарпа

В Ю Хохлов - Стратегії управління портфелем на розвинених фондових ринках у 2006—2011 роках