Д П Кучеров - Алгоритм адаптивного терминального управления динамической системой с элементом дифференцирования - страница 1

Страницы:
1  2 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 681.51

АЛГОРИТМ АДАПТИВНОГО ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ С ЭЛЕМЕНТОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Кучеров Д.П., Василенко А.В., Иванов Б.П.

Введение. Синтез систем терминального управления является актуальной задачей современных исследований теории управления динамическими системами. Решить задачу терминального управления - значит построить регулятор, который переводил бы объект управления в требуемое состояние за конечный (желательно минимальный) интервал вре­мени. К этим задачам относятся - задача управления точечной сваркой, складированием, раскройкой материалов, схватом робота. Основными требованиями к качеству управления перечисленными процессами считаются непрерывность движения объекта, отсутствие ав­токолебаний и перерегулирования.

Известные методы синтеза систем терминального управления [1] предполагают на­личие полной априорной информации о параметрах объекта в распоряжении конструкто­ра. Управляющая функция, используемая в таких системах, представляет наибольшее по­ложительное или отрицательное значение сигнала управления. В отсутствии априорной информации о параметрах объекта управления момент переключения сигнала управления строго не определен, при этом цель управления может оказаться не достигнутой. В таком случае разумно использовать адаптивный подход.

В работах [2-4] рассматривалась аналогичная задача в адаптивной постановке, ко­гда в структуре динамической системы, которой осуществляется управление, отсутствуют элементы, которые вносят опережение по фазе в сигнал управления (дифференцирующие звенья). Особенность управления движением этих систем заключается в непрерывном из­менении фазовых координат при скачкообразном изменении сигнала управления. Для по­вышения скорости отработки задания в состав управляемого привода включают элементы дифференцирования. Дифференцирование разрывной функции, какой является сигнал управления, в моменты переключения приводит к скачкообразному изменению некоторых координат объекта. В задачах адаптивного управления при этом возникает проблема вы­бора точки, по которой необходимо делать коррекцию вектора неизвестных параметров.

Аналогичная задача в неадаптивной постановке рассмотрена в [5], где предложен алгоритм финитного управления в классе линейных систем с переменной структурой и дифференцирующими свойствами. Для исключения скачкообразного изменения фазовых координат в моменты переключения в [5] предлагается строить управление в новом коор­динатном пространстве с непрерывными компонентами.

В статье предлагается алгоритм адаптивного терминального управления с мини­мальным временем процесса управления, основанный на результатах работ [2-5], для по­строения алгоритма управления динамической системой, в составе которой имеется эле­мент дифференцирования. Приводится пример моделирования системы.

Постановка задачи. Пусть имеется динамическая система, выходная величина ко­торой является решением дифференциального уравнения вида

Г^ = у (t) + аМ1. (1)

dt dt

Здесь y(t) - выходная величина динамической системы; u(t) - входная величина (управ­ляющее воздействие); T - коэффициент, параметр системы; а - параметр элемента диф­ференцирования. Считается, что параметры а, T априори неизвестны. Известно только, что параметры а, T - могут находиться в пределаха < а < а,

T < T < T

(2)

Динамическая система (1) имеет передаточную функцию с двумя нулевыми полю­сами и одним нулем. Структура такой системы представлена на рис.1. На рисунке введен коэффициент k=T-1.

u(t)

(as + 1)

к/s

y(t)

Рис. 1 Структурная схема динамического объекта

Необходимость обеспечения минимального времени процесса управления требует применения регулятора, способного реализовать такой процесс. В соответствии с [1] та­кой регулятор должен обеспечить выбор управляющего воздействия одного из двух воз­можных значений, т.е. u(t)e{-U, +U}.

Как и в [2-4] представим уравнение (1) системой дифференциальных уравнений первого порядка. Введем обозначения: y1(t) - выходная величина динамической системы, y2(t) - производная выходной величины. Тогда уравнение (1) можно записать в виде

Г dy1(t)

dt

dy2(t)

dt

y2(t) + kTu (t),

ku(t).

(3)

Для системы (3) задано начальное состояние Y T(0)=(y1(0), y2(0)), YT(0)eF\QrfR[1], конечное состояние - окрестность начала координат Q.

Задача состоит в построении терминального управления, обеспечивающего пере­мещение вектора Y(t) динамического объекта (1) за и-испытаний из любого начального состояния Y(0)g VtzSR в некоторую область QrfR , при котором будет обеспечиваться ми­нимальное время T„>T° в условиях априорной неопределенности относительно значений k, T, выраженной в форме (2). Предполагается, что возмущения в каналах измерения фазо­вых координат y1(t), y2(t) отсутствуют. Область Q должна быть по возможности малой.

Неадаптивное управление. В соответствии с представлениями, развиваемыми в [2-4], смена знака управления производится в момент пересечения фазовой траекторией объекта линии переключения. Согласно (3) линию переключения на плоскости фазовых переменных y1, y2 можно представить выражением

.2

f ( у, c)

2

: 0, если y2 (0) < -2c3; 0, если y2 (0) > 2c3.

(4)

Здесь с - вектор с компонентами c1 2k

C2 = T

kT[2]

c3 =■

На плоскости y1, y2 - кривая

переключения fy, c) представляет две примыкающие к оси y2 ветви парабол, не имеющие общей точки на y2. Из (3) следует, что если в некоторый момент времени t фазовая коор­дината y1(t)=0, то фазовая координата y2(t)=-kTu(t). Следовательно, в фазовом пространст­ве y1, y2 при неизвестн^іх параметрах k, T конечного положения yK=(0, 0) достичь принци­пиально невозможно.

Интересно, что конечному состоянию

Г(0, -kT), при u(t) = +1,

(0, kT), при u(t) = -1,

(5)зависящему от неизвестных параметров k, T, при решении задачи терминального управле­ния в пространстве (y1, y2) соответствует начало координат (0, 0) в пространстве (y1, У1). Таким образом, в данном случае в качестве вектора принятия решения о качестве процес­са адаптации имеет смысл отказаться от вектора (у1, у2) и выбрать вектор Yт= (y1, У1). В (5) T 0 - наименьшее время перехода объекта из начального состояния YT(0)eV=[y1, У1]х[£, yj в конечное Yт=(0, 0).

Применив к разделяющей функции (4) линейное преобразование вида F(w, c)=fy, c), А>0, ее удобно представить в форме

\cTw = 0, если w, (0) > 0, w3 (0) < 0; F(w, c) ^     - 13 (6)

[cTw+ = 0, если w1 (0) < 0, w3 (0) > 0,

где WT =(-у1, У22, У2, 1), WT =(-у1, 22, У2, -1), cT =(?Ц Acb 9^2, ^3).

Предположим далее, что каким-либо образом оценка cT =(?ц ^(c1+a), ^(c2+P, ^(c3+y)) неизвестного вектора с получена. Здесь {а, в, у]єЩ - элементы некоторой его 8-окрестности. Тогда закон управления

Г+ U, если F(c, w (t - 0)) > 0, u (t) = 1 (7а) |- U, если F(c, w+ (t - 0)) > 0,

Г+ U, если F | c, w- (t - 0) |= 0 и w2 < 0,

u(t) = 1 - (7б)

[- U, если | F(c, w+ (t - 0))|= 0 и w2 > 0

обеспечивает перевод объекта (1) из любого начального состояния Y(0)g V\Q в область Q с числом интервалов управления не более двух за время Т°+А при c єС(с, 8), где С(,) - 8-окрестность вектора с.

В соответствии с [2-4], замкнутую систему (2), (7), (6) будем называть системой терминального управления с минимальным временем переходного процесса.

Адаптивное управление. Пусть теперь вектор c неизвестен. В этом случае закон управления будем строить по схеме (7) с учетом (6), заменяя в соответствующих выраже­ниях неизвестный вектор c на подходящую его оценку cn, определяемую на каждом (n-

1)-м цикле перемещения вектора Y(t) из начального Y(0) в конечное положение.

В качестве алгоритма адаптации воспользуемся алгоритмом, предложенным в [2]. Реализация этого алгоритма предусматривает запоминание координаты точки y(tn) пересе­чения в первый раз траектории движения с разделяющей поверхностью Fn(w, cn )=0. Обо­значим /(tn) - общее число переключений к текущему моменту tn времени, начиная с момен­та t=0. Тогда алгоритм адаптации строится в форме следующей рекуррентной процедуры:

если Y(tn) є Q, т.е. вектор y(tn) є Q, l(tn) < 1;

I PrH{cn-1 + w(tn)}, если l(tn) > 1 при cT-1w(tn - 0) < 0 или если при cTn_xw{tn - 0) <0 и l(tn) < 1 вектор Y(tn) £ Q; (8)

Prs{cn-1 - w(tn)}, если l(tn) > 1 при cT-1w(tn - 0) > 0 или если при cT-1w(tn - 0) > 0 и l(tn) < 1 вектор Y(tn) £ Q.

В алгоритме (8) вектор w(tn) выбирается равным

,    ч       fw+ (tn),   если w1(0) < 0, w(tn) = 1       (t  ) (0)     0 (9)

Iw- (tn), если w1(0) > 0;

Ргн{-} - обозначает операцию проектирования вектора c в область Е = [c(1) ,+оо] х [c(2) ,+оо] х [c(3) ,+оо] х [c(4) ,+оо]. Проектирование считается правильным, если выполнены соотношения

<|c(1) w1(0)|.

(10)

Процедура (8)-(10) определяет алгоритм адаптации полностью (после задания на­чального вектора c0 с учетом (10)). Как видно из (8)-(10), для построения этого алгоритма

снова понадобилось использование априорной информации о нижних границах компо­нент вектора с, определяемых (2).

Сформулированный результат дает строгое обоснование возможности достижения цели адаптации за конечное число испытаний, т. е. построение регулятора, обеспечиваю­щего терминальное управление с минимальным временем переходного процесса.

Моделирование. Эффективность предлагаемого алгоритма оценивалась моделиро­ванием объекта (1) с параметрами k=1 c-2, T=0,5 c. Результаты моделирования для началь­ного состояния yT(0)=(-5,0, 0) представлены на рис.2, 3.

На рис.2 показаны функции y1(t), y2(t) на первом цикле адаптации с начальным

T

c0 =(2,0, 6,0, 2,45, 0,25), выбранным произвольно. Из рис.2 видно, что объект в скользя­щем режиме подходит к области Q, процесс затянут во времени, точка Y(t) не попадает в Q из-за автоколебаний в ее окрестности.

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Д П Кучеров - Алгоритм адаптивного терминального управления динамической системой с элементом дифференцирования

Д П Кучеров - Принципы построения интеллектуального авторулевого

Д П Кучеров - Субоптимальне за швидкодією керування системою третього порядку з одним нульовим полюсом