Н Лопух - Алгоритми розрахунку гідродинамічних параметрів течії газу в трубопроводах - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 621.4

Н. Лопух, М. Притула, Я. П'янило, *Я. Савула

Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України, * Львівський національний університет імені Івана Франка,

кафедра прикладної математики

АЛГОРИТМИ РОЗРАХУНКУ ГІДРОДИНАМІЧНИХ ПАРАМЕТРІВ ТЕЧІЇ ГАЗУ В ТРУБОПРОВОДАХ (2)

© Лопух Н., Притула М., П'янило Я., Савула Я., 2008

Запропоновано ітераційний метод розв'язування нелінійних систем диференціальних рівнянь у частинних похідних та досліджено вплив кроків дискретизації за координатою та часом на достовірність і збіжність ітераційного процесу. В основу методу покладено лінеаризацію вихідної системи з подальшим уточненням розв'язку шляхом обчислення відповідної неув'язки. Лінеаризована система розв'язується методом скінченних елементів. Результати досліджень апробовані під час обчислювального експерименту.

The iteration method of uniting of the nonlinear systems of differential equations in derivative parts is offered in this paper, also the investigation of the influences of co-ordinate and time discretization steps on authenticity and convergence of iteration process are explored. In the base of the method lies the linearization of the initial system with further clarification of the solution by the calculation of the appropriate mix-up. Linearity system is solved by the finite elements method. The results of researches are approved during a calculating experiment.

Вступ

У літературі розглядаються диференціальні рівняння (або системи рівнянь) у частинних похідних, які описують з різним ступенем адекватності неізотермічний нестаціонарний процес руху газу в трубопроводі [1, 2]. В загальному випадку ці рівняння є нелінійними, і їхнє розв'язування пов'язане із суттєвими труднощами. Одним із підходів розв'язування є лінеаризація і побудова ітераційних процедур з використанням числових методів. З аналізу способів розв'язування випливає, що достатньо ефективним є поєднання декількох методів розв'язування. Більшість методів моделювання, що мають практичне застосування, використовують такі постановки задач, які приводять до систем алгебраїчних чи звичайних диференціальних рівнянь. Прямих числових методів розв'язування рівнянь газової динаміки (які могли б достатньо якісно дослідити динаміку транспорту газу) практично не зустрічається. Одним із прикладів гідравлічного розрахунку трубопровідних систем є інженерні методи розрахунку параметрів руху газу, які ґрунтуються на усередненні багатьох параметрів. Як методи отримання аналітичних залежностей використовують методи розділення змінних Фур'є, операційні методи, методи автомодельних розв'язків. Всі вони вимагають лінеаризації вихідних систем рівнянь. При моделюванні трубопровідних систем повна система рівнянь газової динаміки без значних спрощень не використовується. Спрощення моделі ґрунтуються на спільному використанні числових і аналітичних способів отримання розв' язку. Наближення звичайними диференціальними рівняннями може бути здійснено методами розділення змінних та інтегральних перетворень тощо. У роботі [3] запропоновано ітераційний метод розв' язування нелінійних систем диференціальних рівнянь у частинних похідних, в основу якого покладено лінеаризацію вихідної системи з подальшим уточненням розв' язку шляхом обчислення відповідної неув'язки. Ця робота є продовженням попередньої. У ній, крім проведеного дослідження побудованого методу, описано підхід до використання методу скінченних елементів для обчислення неув' язки.

Постановка задачі

Неусталений рух газу в трубопроводі описується системою взаємопов'язаних диференціаль­них рівнянь у частинних похідних вигляду

dp d — + ар —

dx dx

( и2 >

dh Хри d (ри) „ HS dx     2D dt

d(pu) + J_ dp = 0

dx      c2 dt

Для замикання системи рівнянь використано рівняння стану газу

P = pzRT ,

а для обчислення коефіцієнта стиснення z - емпіричну формулу [3]

(1)

1

z = -

(2)

1 + JP'

де p - вимірюється   в атмосферах,   а   f = (24 - 0.21t°C) 10-4,     t°C - температура газу за

Цельсієм, яка з достатньою для практики точністю описує відмінність реального газу від ідеального. Тут р, и, p — відповідно густина, швидкість руху та тиск газу; X — коефіцієнт

гідравлічного опору; D — діаметр трубопроводу; g — прискорення вільного падіння; h — відносна висота залягання трубопроводу; k — коефіцієнт теплопередачі від трубопроводу до ґрунту; Тгр — температура ґрунту; Т — температура газу; t > 0 час; x є [0, ї] — лінійна координата, lдовжина трубопроводу. Якщо ввести позначення й) = ри - масова швидкість,

ap = p1 (( + fp1 )-bpp1, c0 = 1 -аи2р0Т0 bp/p0T , c1 =aUc , аи =и1 +U2,

сз =р°Т° Ьр

bU =-U1U2

6h

5x + 2D

0T0

5h Xau

6x + 2D

p0T

p є [p1, p2 ], де p1 та p2 - межі зміни тиску, а U1 і   t>2 - межі зміни швидкості, ис - середня

швидкість руху газу в трубопроводі, які приймаються відомими, то в ізотермічному випадку система рівнянь, яка описує рух газу, набуде вигляду:

dp      Эй) Эй)

с0Т~ +        + Т + с2 й + сз p = -с^ dx       dx dt

dm 1 dp + —— = 0.

(3)

dxc2 dt

За початкові умови вибирано розподіл тиску у вихідному усталеному режимі, який визначається співвідношенням

p( x, o) =,

po ­^zrT ( роЧо

(4)

Як правило, досліджується трубопровід, який міститься між послідовними компресорними станціями. Оскільки на компресорних станціях є витратоміри, то природно граничні умови задавати на об'ємні витрати ^ (t) на вході в трубопровід та qi (t) - на виході у вигляді

q0(t) = q0n +(q0 - q0n )e

-70t

(5)

ql (t) = qln +(ql - qln )e~V . (6)

Тут індекс нуль відповідає вхідним об'ємним витратам газу, а l - вихідним. У цьому випадку q0 , q0n - об'ємні витрати газу у вихідному та новому стаціонарному стані руху газу та параметр Y0, який характеризує швидкість переходу із одного стану в інший на початку трубопроводу, а

ql, qln, Yl - аналогічні параметри в кінці трубопроводу. При переході до масової швидкості (0 = ри граничні умови запишуться так

(0(0,0 = ^0(0,       t) = ^ql (t). (7)

Параметри газу обчислювали за такими формулами. Розподіл температури вздовж трубопроводу

T(x) = T01 + T02e~ax,

де позначено

T00 =1

T00 =

aL

Ap

+ g Ah

k kD

T01 = Ts - T00, T02 = T0 - T + T00, a = ' Ap = p0 - pk

( Y + e + C15 ^°'2

Коефіцієнт гідравлічного опору X =

Числа Рейнольдса

1 + 76C

k 79 є =       y = , C = (2Y) D Re        v '

10

Dv p    T + C   (273

Re =--i-

|l0  RT 273 + C v T

У поданих вище формулах позначено: а - коефіцієнт Коріоліса (для ламінарного потоку а =2, а для турбулентного =1.1); h = h(x) - крива, що описує рельєф траси газопроводу і у цьому випадку моделюється похилою прямою

, Ah ,

h = h(x) = —j- x + h0 ;

M= 0Q0 - масовий розхід; T0 - температура газу на вході в трубопровід; Tgr - температура ґрунту; Dh - коефіцієнт Джоуля-Ленца; Cp - коефіцієнт теплопередачі від газу до ґрунту; Ah -перепад висот між кінцем і початком газопроводу; p0 - значення тиску на початку газопроводу; p = p(x) - розподіл тиску по довжині трубопроводу; X - коефіцієнт гідравлічного опору; T -температура газу; R - газова стала; z - коефіцієнт стисливості газу; 0 - густина газу в нормальних умовах; x - поточна координата x є [0, L], де l - довжина трубопроводу; D - внутрішній діаметр трубопроводу.

Метод розв'язування задачі

Ітераційна процедура розв'язування поставленої задачі математичної фізики з використання методу скінченних елементів полягає в наступному.

• На першому етапі розв'язується аналітично лінеаризований варіант вихідної системи (система (3)) при нульовій неув'язці. Отриманий розв'язок є початковим наближенням ітераційної процедури.

• На наступному кроці знайдений розв' язок використовується для визначення неув'язки і уточнення початкового наближення шуканого розв' язку.

• Процес ітерацій продовжується доти, поки різниця між двома послідовними наближеннями буде меншою за задану точність.

Оскільки в лінеаризованому варіанті отримується система зі сталими коефіцієнтами, то для її розв' язування доцільно використати інтегральне перетворення Лапласа за часовою змінною. Використання методу скінченних елементів полягає в наступному.

Якщо для скорочення запису замість шуканих функцій (0 та p ввести вектор W = (ю, p), то в матрично-векторній формі система (3) записується у вигляді

У матрично-векторній формі система (3) записується у вигляді

A-+ B-

dt с

де W = [w, p] - вектор шуканих функцій (0 і p ;

A-+ B-= VW + M .

dt dx

(8)

 

f 1

0 >

 

f 0   1 >

 

C2        C3 ^

 

f -c4 ^

A=

 

 

;   в =

 

;   V =

2 3

; M =

 

 

, 0

1j

 

vc2 0j

 

i 00 j

 

i 0 j

Розв'язок відповідної задачі математичної фізики шукається в прямокутній області [x0 - xN, t0 - tk ], де x0, xN, t0, tk - початкові та кінцеві значення просторової та часової координат відповідно.

Нехай w - апроксимуюча функція компонентів вектора W . При використанні чотирикутного елемента w вибирається у вигляді

w = а1 +а2 x + a3t + а4 xt (9) Вузлові значення величин wt подаються так:

де

w1 =аі +а2 x„-i +a3tk-1 +а4 x„-itk-і; w2 =а1 +а2 x + а3 tk-1 +а4 xtk-1; w3 =а1 +а2x+a3tk +а4xtk ; w4 =а1 +а2x„-1 +a3tk +а4x„-1tk .

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

Н Лопух - Алгоритми розрахунку гідродинамічних параметрів течії газу в трубопроводах