І Г Ленчук - Алгоритмічний підхід у побудові проекційних креслень комбінацій двох тіл - страница 1

Страницы:
1 

УДК 378.147:515.4

І.Г.Ленчук

АЛГОРИТМІЧНИЙ ПІДХІД У ПОБУДОВІ ПРОЕКЦІЙНИХ КРЕСЛЕНЬ КОМБІНАЦІЙ ДВОХ ТІЛ

Обгрунтовуються алгоритми побудови зображень комбінацій стереометричних тіл як за допомогою традиційних креслярських інструментів, так і "від руки ".

Зупинимося на методологічних аспектах виконання плоских зображень комбінацій двох просторових об'єктів курсу стереометрії, одним з яких є куля. Тут учителю потрібно подбати про розвиток просторових уявлень і логіко-геометричного мислення, а також практичних навичок учнів у виконанні графічних операцій у таких напрямках: 1) чітко уявляти кожне тіло з його внутрішніми закономірними взаємозв'язками абстраговано від іншого [1,2] і знати правила побудови зображень цих тіл персонально; 2) вміти зосереджуватися на істотних спільних співвідношеннях і відмежовуватися від несуттєвих одиничних співвідношень між окремими елементами заданих тіл у комбінаціях; 3) "бачити" спільні геометричні елементи тіл комбінації та навчитися (через аналіз) вилучати із умови їх взаєморозташування спільні визначальні елементи поверхонь заданих тіл, фіксувати ці елементи образно в уяві і на зображеннях; 4) за будь-яких умов знаходити оптимальний шлях до побудови вірних, наочних і ненаочних (з урахуванням ситуації) зображень.

Особливо складно будувати проеційні креслення описаних та вписаних поверхонь. Як приклад розглянемо задачу та обгрунтуємо алгоритм побудови навчального креслення правильної трикутної піраміди, описаної навколо кулі, якщо її висота у два рази більша діаметра кулі. При цьому зауважимо, що число вершин в основі правильної піраміди аж ніяк не впливає на структуру алгоритму, а домовленість стосовно взаємозалежності в розмірах висоти піраміди і діаметра кулі є формальним метричним фактором визначеності креслення.

Якщо виконавець малодосвідчений у побудові проеційних креслень М.Ф.Четверухіна чи останні досить складні (що трапляється) об'єктивно і, одночасно, він володіє певними вміннями і навичками у роботі з комплексними кресленнями Г.Монжа, то ключем до вірного і наочного рисунка має служити виконане від руки зображення комплексу куля-піраміда саме на епюрі Г.Монжа (тут вісь комплексу i перпендикулярна площині підлоги (стола) H (рис.1)). Якраз за ним значно спрощується аналіз задачі на побудову, і учень розробляє алгоритм графічних операцій, чітко встановивши всі спільні геометричні елементи поверхонь тіл, обов'язкові та визначальні в процесі грамотних дій на картинній площині.

1. Побудова зображення кулі:

а) точку перетину двох взаємно перпендикулярних прямих (див. рис. 2), одна з яких розташована горизонтально, а інша - вертикально, вибираємо за центр кулі О; б) довільно взятий на вертикальній прямій відрізок OY приймаємо за малу піввісь еліпса, в який проеціюється екватор кулі. У прямокутній диметрії його велика піввісь OX = 3OY. З центром у точці О радіусом OX проводимо коло - обрис кулі; в) через точку Y ведемо горизонтальну пряму до перетину з обрисом у точці Z; г) на вертикальній прямій вверх і вниз від точки О відкладемо відрізки ОЕ і OF, рівні відрізку YZ. Точки Е і F, як відомо з попереднього, зображають полюси кулі.

2. Побудова зображення паралелі, що містить точки дотику кулі та бічних граней піраміди:

а) від точки Е на вертикальній прямій відкладаємо відрізок ES = 2 EF, чим визначаємо на зображенні вершину піраміди S; б) сумістимо фронтально проеціюючу площину, в якій лежить вісь обертання кулі EF, з площиною малюнка. Цим самим фактично перейдемо до розгляду комбінації тіл на епюрі Г. Монжа двох взаємно перпендикулярних площин проекцій, з яких фронтальна площина збігається з площиною аркуша

паперу (дошки), а профільна - суміщується з нею (тут і нахилена до площини Н під кутом а Ф 90°). Одержимо точки E', F', S' як суміщення точок E, F, S відповідно. Площина S паралелі p перпендикулярна до діаметра кулі EF, тому профільною проекцією паралелі є відрізок U'V 1 E'F' (U'V - натуральна величина діаметра паралелі). Тут U' і V' знаходимо як точки дотику дотичних, проведених із точки S' до обрису кулі (для полегшення уяви їх зручно представити твірними конуса з вершиною S', описаного навколо кулі та вписаного в шукану піраміду); в) фіксуємо центр паралелі (Оі , О'і) і, відклавши від точки Оі на горизонтальній прямій відрізки ОіН і Оів, рівні половині діаметра паралелі U'V', одержимо кінці великої осі еліпса, яким зображається паралель p. Малу вісь UV знайдемо оберненим проеціюванням U'V' на EF; г) шукаємо точки I і J видимості, в яких еліпс дотикається обрису кулі; д) за великою GH і малою UV осями будуємо еліпс, який буде зображенням шуканої паралелі і разом з обрисом кулі дасть наочне зображення останньої.

3. Побудова зображення піраміди:

а) в перетині паралелі p з додатним напрямком осі O1x1 ортогональної диметрії знайдемо точку К° дотику кулі та лівої грані піраміди (див. рис. 1, 2). Точки і M°, у яких відповідно дотикаються до кулі інші грані піраміди, відшукаємо як вершини правильного трикутника, вписаного в паралель, третьою вершиною якого є точка К°. Для цього радіус, що доповнює O1K° до діаметра, поділимо навпіл і через одержану точку проведемо пряму, паралельну осі O1y1. У перетині останньої з p одержимо точки і M°; б) опишемо навколо паралелі правильний трикутник A°B°C°, у якого сторона A°B° // O1y1 і дотикається p в точці К°; точка належить осі абсцис O1x1 і O1C° = 2O1K°. Крім цього, A°C° містить точку L°, а B°C° - точку M°; в) точку К, що є серединою сторони AB трикутника ABC в основі піраміди, знайдемо в перетині апофеми      її лівої грані з віссю Ex2; г) у

SK SE

гомотетії Hs з коефіцієнтом k =-— =-        будуємо трикутник ABC, гомотетичний трикутнику A°B°C°; д)

SK

проводимо із вершини s бічні ребра піраміди.

Рис. 1

Відзначимо, що для кращої наочності проекційного креслення доцільно вважати описану поверхню в комбінації прозорою щодо вписаної в неї поверхні й кожну з них непрозорою стосовно себе. При цьому видимість обох поверхонь встановлюється незалежно одна від одної.

Учень (а, можливо, і вчитель) може висловити думку, що такий шлях виконання стереометричних побудов дещо складний і потребує чимало часу для його реалізації в кожному більш-менш непростому випадку. І це дійсно так. Але ж ми розглядали побудову зображень комбінацій геометричних тіл з теоретичним обгрунтуванням кожного кроку, з повним розумінням суті питання. Ми вчилися виконувати побудови циркулем і лінійкою, опираючись на наукову основу. А процес навчання, як відомо, мало коли буває простим і коротким. Якщо ж учень зрозумів і засвоїв усе, про що говорилося раніше, і в нього бракує часу на ретельне і графічно точне виконання побудов (на уроці чи при виконанні домашніх завдань), то, ввівши певні умовності, можна спростити і прискорити цей процес.

А

Рис. 2

Згадаємо, що в умові сформульованої задачі на побудову висота піраміди в два рази більша за діаметр кулі: SF =22 FE. З урахуванням цього розглянемо прямокутний трикутник SК°О (див. рис. 1). Тут ^БК°О = 90°, оскільки - дотична до головного меридіану поверхні. Очевидно, що гіпотенуза трикутника рівна трьом радіусам великого кола кулі = 3R), а катет К°О - радіусу (К°О = R). Відомо також, що будь-який катет прямокутного трикутника є середнім геометричним між гіпотенузою і своєю проекцією на гіпотенузу. Отже, (К°О)2 = OOj SO. Або R2 = OOj 3R. Звідси OO= R/3. Таким чином, центр паралелі, що містить точки дотику поверхні кулі та бічних граней піраміди, ділить радіус кулі OF у відношенні 1:2, рахуючи від точки О. Це був ще один (останній) крок на шляху до створення спрощеного алгоритму побудови "від руки". Простежити послідовність дій алгоритму можна на тому ж рисунку 2.

1. Побудова зображення кулі:

а) проводимо пару взаємно перпендикулярних прямих і з центром в точці їх перетину довільним радіусом проводимо коло - обрис кулі; б) "на око" на вертикальній прямій задаємо (з урахуванням розумних орієнтирів) зображення її полюсів: OF = OE.

2. Побудова зображення паралелі:

а) ділимо відрізок OF приблизно на три рівні частини і точку O1 таку, що OO1= 1/3 OF беремо за центр паралелі; б) через точку O1 проводимо горизонтальну пряму і на ній у внутрішній області обрису "досить близько" від нього фіксуємо точки G і H - кінці великої осі еліпса, яким зображається паралель кулі; в) приблизно третину великої півосі відкладаємо від точки O1 в обох напрямках вертикальної прямої, чим визначимо малу вісь еліпса UV (O1U = O1V = і/35 GO1); г) за великою і малою осями "від руки" будуємо еліпс; точки видимості паралелі I і J на обрисі фіксуємо інтуїтивно в процесі наведення кривої.

3. Побудова зображення піраміди:

завершальний етап доцільно провести за схемою, описаною в пункті третьому алгоритму розв'язання цієї ж задачі креслярськими інструментами. Відмінність дій полягає лише в тому, що тут всі вони виконуються "від руки" і "на око".

А тепер, для закріплення, розглянемо ще одну задачу, яку розв'яжемо за спрощеним алгоритмом. Нехай потрібно побудувати правильну чотирикутну піраміду, вписану в кулю, якщо висота піраміди складає три чверті діаметра кулі (рис. 3).

Рис. 3

1. Побудова зображення кулі:

а) вибираємо дві взаємно перпендикулярні прямі і з центром в точці їх перетину довільним радіусом проводимо коло - обрис кулі; б) "на око" на вертикальній прямій задаємо зображення її полюсів: ON = OS.

2. Побудова зображення паралелі:

а) відрізок NS точкою O1 ділимо у відношенні 3 : 4 (OO1 = 1/2 OS); б) через точку O1 проводимо горизонтальну пряму і на ній "досить близько" від обрису фіксуємо точки A і B - кінці великої осі еліпса, яким зображається паралель кулі; в) приблизно третину великої півосі відкладаємо від точки O1 в обох напрямках вертикальної прямої, чим визначимо малу вісь еліпса CD (O1C = O1D = і/35 AO1); г) за великою і малою осями будуємо еліпс з обов'язковою фіксацією на обрисі точок E і F видимості паралелі.

3. Побудова зображення піраміди:

а) шляхом проведення пари спряжених діаметрів паралелі (їх роль виконують аксонометричні осі O1x1 і O1y1, розташування яких на площині зображень відоме) вписуємо в неї правильний чотирикутник KLPR (KL // RP; KR // LP); б) з'єднуємо вершини цього чотирикутника з північним полюсом кулі N, який буде вершиною шуканої піраміди.

Підсумовуючи, нам залишилося зробити лише два зауваження по суті справи. По-перше, запропоновані задачі на побудову комбінацій куля-піраміда є в своєму класі типовими. Тому цілковите розуміння вищевикладених закономірностей гарантує кваліфіковане виконання переважної більшості зображень за участю кулі, що зустрічаються в стереометрії. По-друге, процес виконання таких побудов завжди диференціюється і реалізується на дошці (чи на папері) після серйозного аналізу строго в три етапи: 1) за розумним вибором виконавця будують зображення поверхні одного із заданих тіл; 2) "шукають" на ній спільні елементи обох поверхонь - точки (лінії) дотику; 3) будують зображення іншого тіла обов'язково з урахуванням того, що знайдені точки (лінії) дотику належать і його поверхні.

Пропонуємо читачеві самостійно записати на папері послідовність кроків побудов за участю конуса (циліндра) і переконатися, що ці алгоритми в принципі мало чим відрізняються від наведених вище, якщо, звичайно, врахувати певні особливості зображень в ортогональних проекціях їх поверхонь.

На завершення відзначимо, що в останні роки основні ідеї методу Г. Монжа разом з методом аксонометрії нами широко пропагуються на заняттях із студентами фізико-математичного факультету, вчителями та учнями шкіл міста й області якраз з метою свідомого, осмисленого навчання виконанню наочних зображень всіх стереометричних тіл і їх можливих комбінацій. Розроблені методи, в яких широко використовуються аксонометричні осі та встановлені умовні співвідношення між елементами плоских фігур, розташованих (як правило) в основі кожного окремо взятого тіла, сприймаються з розумінням і жвавою зацікавленістю, що приносить добрі результати. І, на підтвердження цього, розв'яжемо хоча б одну в певному класі типову шкільну задачу, де явно нерезонно виконувати наочне зображення комбінації двох стереометричних тіл, оскільки всі потрібні взаємозалежності легко пізнаються без спотворень на виді спереду. У школі такі зображення кваліфікують як "осьові перерізи", що можна вважати умовністю, тому що з точки зору технічної грамоти цей вислів некоректний. Однак чи варто користуватися такими умовностями за наявності простих і зрозумілих учням термінів: "вид спереду", "вид зверху", "вид зліва"? Суттєво, що лише одне звертання до них активно сприяє розвитку просторової уяви учня. Адже останні у свідомості дітей асоціюються з уявною просторовою фігурою чи комплексом таких фігур, які "стоять" на столі в класній кімнаті й ортогонально відтворюються в плоску фігуру на дошці, підлозі, стіні справа.

Задача. В конус (рис.4) вписано кулю з радіусом R. Знайдіть об'єм конуса, якщо відомо, що площина, дотична до кулі і перпендикулярна одній із твірних конуса, віддалена від вершини конуса

на відстань d.

Рис. 4

Площин, перпендикулярних SA (рис.4) і дотичних до поверхні кулі, можна провести дві (Е1 і Е2). Отже, і розв'язків у задачі два. Однак їх відшукання не різниться по суті як геометрично, так і в аналітичних викладках. Тому зупинимося на одній із площин і, при цьому, аналітичний метод мислення стосовно площини Е1 матиме таке представлення.

Дано:   (O,R) - куля, вписана в конус;

Е1 - площина, дотична до кулі, Е1 _LSA ;

Е, n SA = M, SM = d

Знайти: V конуса.

Алгоритмічна схема.

h = SO + R <-> SO = 4(SM + MP)2 + OP2 о<{

1    2 / 3 nr h(r -

AQ, h = SQ)<*

(aSPO - прямокутний)

\SM:

MP OP

-d,

R,

R.

r

OP

SQ SP

(ASQA подібний до ASPO)

о-

{OP--

SQ

SP =

R, h,

d + R.

Очевидно, що нескладна алгоритмічна схема не потребує будь-яких пояснень. Тому залишилося лише зворотним ходом записати відповідь:

2

+ R)

nR2 (J(d + R)2 + R2 + R) 3(d + R)2

1. Ленчук І.Г. Методологічні засади зображень в аксонометрії. Многогранники // Вісник Житомирського педагогічного інституту. - і998.-№1.-С.13-і9.

2. Ленчук І.Г. Методологічні засади зображень в аксонометрії. Тіла обертання // Вісник Житомирського педагогічного інституту. - і998.-№2.-С.48-54.

Ленчук Іван Григорович - кандидат технічних наук, доцент, завідувач кафедри математики та інформатики Житомирського державного педагогічного університету ім. І.Франка. Наукові інтереси:

- методика викладання у вищій школі;

- прикладна і конструктивна геометрія.

V

V

Страницы:
1 


Похожие статьи

І Г Ленчук - Алгоритмічний підхід у побудові проекційних креслень комбінацій двох тіл

І Г Ленчук - Графоаналітичний метод алгоритмізації побудови зображень комбінацій куля-описана піраміда

І Г Ленчук - Методичні аспекти погодження в наочній стереометрії з практикою теорії комбінацій двох тіл

І Г Ленчук - Методологічні засади зображень в аксонометрії многогранники

І Г Ленчук - Продуктивно-уявні узагальнення в задачах стереометрії