А А Стоянов - Анализ деформационного поведения пористого сферического слоя при гидростатическом сжатии - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 621.762.1

Стоянов А.А.

АНАЛИЗ ДЕФОРМАЦИОННОГО ПОВЕДЕНИЯ ПОРИСТОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ

ПРИ ГИДРОСТАТИЧЕСКОМ СЖАТИИ

Выполнен анализ пластического течения и уплотнения пористого полого сферического тела в условиях всестороннего сжатия в сравнении с течением беспористого полого несжимаемого сферического тела в аналогичных условиях.

Ключевые слова: деформация, пластическое течение, сферический слой, гидростатическое давление.

Актуальность исследования. Технология изготовления широкой номенклатуры конструкционных полых изделий из пористых материалов сферической и близкой к ней формы часто связана с приложением к наружной поверхности всестороннего давящего усилия. При этом внутренняя поверхность остается свободной от напряжений, что предопределяет пластическое течение пористого материала внутрь полости с одновременным его уплотнением. Наружный размер сферы и внутренний размер полости уменьшаются, а толщина деформированного сферического слоя может уменьшаться, увеличиваться или оставаться неименной в зависимости от соотношения исходных величин толщины и пористости.

Такие технологии применяются при изостатическом прессовании полых сферических деталей для пористых фильтров и пламегасителей, специальных магнитов, шаровых кранов, эндопротезов. К этим технологиям можно отнести также производство композитных материалов, армированных полыми микросферами из стекла, керамики, алюмосиликатных соединений, где при формовании изделий используется давление.

Постановка проблемы. Учитывая, что пластическое течение беспористых сферических тел, в том числе и полых, в теории обработки давлением и механике сплошных сред изучено достаточно полно [1, 2], представляет интерес сравнительный анализ течения пористого материала с беспоритым в тех же условиях.

Наличие свободной поверхности (внутренней полости) в пористой сфере делает напряженное состояние в деформируемом сферическом пористом слое неоднородным. Поверхность подвержена действию максимальных нормальных напряжений, в то время как на внутренней поверхности они равны нулю.

Теоретический анализ. Рассмотрим кинетику пластического течения пористого сферического слоя в сферической системе координат (рис. 1).

Опишем постановку задачи. Имеют место следующие уравнения [3, 4]: - уравнение равновесия

- кинематические соотношения, определяющие компоненты тензора скоростей деформаций

о;

(1)

уравнение неразрывности течения

(2)

5Vr dr

(3)

Рис. 1. Схема пластического течения пористого сферического слоя под гидростатическим давлением

- скалярные определяющие соотношения

РІ + ІІ = (1 _е)х2, (4) ц ф

еціт = уфр , (5)

последнее из которых, с учетом того, что

Т^/||СТ r _СТф|    и У= _ Є ф\ ,

можно записать в виде

a      a        ф   (eФ_ Єг )   Єг _ф (6)

ar _стф=---z---z-. (6)

ш   er _ 2eф 3

В последние соотношения входят функции пористости, определяемые как [5]:

ф(е)=(1 _е)2,    ц(е) = f. (7)

Рассмотрим сферический слой. Здесь при r = a имеет место следующее граничное условие:

ar = 0 . (8) Предполагается далее, что весь материал сферы находится в состоянии пластического течения, поэтому уравнения (1) - (6) справедливы для всех r є [a,b].

Упростим дальнейшие рассуждения предположением о независимости пористости от

радиуса. Таким образом, — = 0.

9r

Подставив выражение (3) в (2), получим: Поскольку

5V   „ Vr —— + 2— = e . 9r r

9r       r     r 9r

последнее равенство можно перезаписать в виде:

d_

Интегрируя его с учетом независимости e от r , получим:

виде.

-(r2Vr )= er2

Vr = 3er + 4 , (9)

3 r2

где D - параметр интегрирования.

Определим компоненты тензора скоростей деформаций. Воспользовавшись (3), запишем:

1    „ D 1 D

er = 3e _ 2— ,    e ф= -e + —. (10)

Для того чтобы определить D , воспользуемся уравнением (6). При r = a с учетом граничного условия (8) получим:

f ^(єф_ Єг У1 = 1 . (11)

3 ш e

Подставим   в   это  уравнение   выражения   (10)   при   r = a .   Тогда   после несложных преобразований получим:

D = . (12)

2 ц

На основании этого равенства выражению для скорости можно придать вид:

Vr

1   І Ц £_

+ 2 V r2

(13)

Перейдем к определению поля напряжений. Для этого из выражений (10) с помощью (11) найдем:

3    ш a

e ф_ er = ~e----г .

2    ф r3

Подставим это выражение в уравнение (6):

Ч а3 /      „ \ аФг = 2 -- (а г + 2аф).

Решим это уравнение относительно аф. Тогда:

3

а + 2r3 ..

°у=—3-таr. (14)

Ф   2r3 - 2а3

Полученное выражение используем в уравнении равновесия (1). В результате очевидных преобразований, получим:

dr r

Приведем это соотношение к виду:

да r

даr + 2а_^    а3 + 2r3 ^

1-

2r3 - 2а3

:0 .

3

а ra

dr    3r(r3 - a3)  0 .

Решение полученного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными имеет следующий простой вид:

3 3

r3 - а3

а r = c~rr-,

где c - независящий от r множитель, подлежащий определению.

Из выражения (14) находим:

2r3 + а3

Множитель c определим следующим образом. При а = 0 рассматриваемая задача вырождается в задачу о всестороннем обжатии сферы без внутренней полости. В этом случае имеет   место   однородное   поле   напряжений.   Поэтому   а r = c   может   быть определено

непосредственно из уравнения (4) с учетом того, что p = аr, т = 0 . Тогда:

а r =ут0 ^VT-e= Pr Гб). (15) С учетом последнего, общее решение для напряжений может быть представлено в виде:

а r = Pr ФУ—-^-; (16)

r3

аф= Pr (е)2^ . (17)

Теперь можно определить рабочее давление, т.е. давление, прилагаемое к наружной поверхности (r = b) рассматриваемого сферического слоя, при котором возможно достижение пористости Є при данной начальной пористости е0:

<    а3 ^

аr = Pr (Є)

1 - І3"

(18)

Для сравнения приведем выражение радиального напряжения на поверхности полой сферы из неуплотняемого идеально пластичного материала, когда весь материал находится в пластическом состоянии [1]:

а r = k in-, (19)

а

где k - предел текучести.

Это выражение не имеет смысла при а = 0, т.е. в условиях отсутствия внутренней свободной поверхности. Указанное обстоятельство обусловлено тем, что (19) получено при использовании условия пластичности, не зависящего от гидростатического давления, которое не допускает возможность пластического течения под воздействием сжимающих напряжений в отсутствие свободной поверхности.

В то же время при а = 0 выражение (18) определено. Это свойство полученного решения является следствием сжимаемости материала. Поэтому пластическое течение возможно и при отсутствии свободной поверхности.

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

А А Стоянов - Анализ деформационного поведения пористого сферического слоя при гидростатическом сжатии

А А Стоянов - Анализ деформационного поведения пористого сферического слояпри гидростатическом сжатии