О В Тубольцева, В Ф Раков - Анализ математической модели химического реактора полунепрерывного действия для исследования устойчивости - страница 1

Страницы:
1  2 

Наукові праці ДонНТУ

Випуск 20 (182)

УДК 66.023:681.5

О.В. Тубольцева, В.Ф. Раков

Донецкий национальный технический университет, г. Донецк кафедра автоматики и телекоммуникаций Национальная Академия наук Украины Научно-технологический центр «РЕАКТИВЭЛЕКТРОН», г. Донецк E-mail: olga.tuboltseva@mail.ru, donmashinery@meta.ua

АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ХИМИЧЕСКОГО РЕАКТОРА ПОЛУНЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Аннотация

Тубольцева О.В., Раков В.Ф. Анализ математической модели химического реактора полунепрерывного действия для исследования устойчивости. Для нелинейной модели уравнения преобразованы к безразмерному виду, найдено состояние равновесия и показано, что система имеет единственное стационарное состояние, построены фазовые портреты в окрестности этого состояния, определены области устойчивости. Исследована система с физическими параметрами, показана идентичность ее фазового портрета, определенного по методике для безразмерной системы.

Ключевые слова: математическая модель, фазовый портрет, устойчивость реактора, области постоянства, безразмерные переменные, физические параметры.

Для создания новых технологий производства нанодисперсных порошков функциональных материалов и технологий специальных химических реактивов необходима разработка математических моделей, адекватно описывающих физико-химические процессы,

происходящие на различных стадиях процесса. Эти модели должны включать в себя анализ

устойчивости работы технологического оборудования.

Главной задачей расчета устойчивости работы химических реакторов полунепрерывного действия (в которые непрерывно подаются исходные вещества, а продукты реакции удаляются периодически) является обеспечение условий безопасной эксплуатации и предупреждение аварийных ситуаций. Кроме этого, эксплуатация промышленной установки должна быть не только безопасной, но и обеспечивать требуемое качество продукции.

Исследование математических моделей химических реакторов полунепрерывного действия является особо актуальным для создания гибко переналаживаемых малотоннажных производств нанодисперсных порошков функциональных материалов и специальных химических реактивов.

Постановка задачи.

В качестве математической модели реактора принимается система [1], состоящая из уравнений материального и теплового баланса:

Введение.

f dC

ACne " RT + qC

E

dt

V

(1)

I dT^ _ AH

E hS

RT

(T ~ Tc )

c2 P 2 4

(T ~ Tb )

c1 p1V

c1 p1Vгде время t является независимой переменной, зависимые переменные: Cx - текущая

концентрация реагента и T - температура реакционной системы, а остальные величины будем считать параметрами: A - предэкспоненциальный множитель уравнения Аррениуса, n - порядок реакции, E - энергия активации, R - универсальная газовая постоянная, q -объемная скорость подачи реагента, V - объем реакционной системы, S - поверхность теплопередачи, h - коэффициент теплопередачи, H - энтальпия реакции, c1

теплоемкость

системы, c2 - теплоемкость раствора подаваемого реагента, p1 - плотность реакционной системы, p 2 - плотность раствора подаваемого реагента, TC - температура внутренней стенки реактора, TB - температура раствора подаваемого реагента.

Для аналитических исследований требуется преобразовать уравнения (1) к безразмерному виду, чтобы исследовать модельную систему на устойчивость при любом n , определить наличие стационарных состояний и качественное поведение решений системы.

Преобразование уравнений к безразмерному виду.

После перехода к безразмерным переменным множество параметров, входящих в уравнения, сводится к небольшому числу их безразмерных комбинаций.

Принимается, что c1 _ c2 _ C и p1 _ p 2 _ p . Такое допущение приемлемо, поскольку представленные физические параметры близки по величине, что подтверждено далее в вычислительном эксперименте.

Преобразуем 1-е уравнение системы (1). Для этого произведем замену переменных:

Исходя из того, что

независимой переменной:

dx _ dx dt dx    dt dx

ECp RH

x, T

E

R

y

t _ A"1

ECp

.1

•t

RH

ECp

найдем и

RH,

выразим производную

(2)

по новой

dx dt

RH dCx

ECp dt

dx dx

RH dCx ECp dt

ECp RH

dCx

1

V

dt

V

ECp RH

dt dx

(

A-1

V

N П J

ECp RH

.1-я

ECp RH

dx dx

dCx dt

==

(3)

Подставим (2) и (3) в 1-е уравнение системы (1), получим:

REy

V

ECp RH

dx dx

dx dx

TtTT

я y

+

RH

ECp RH

e

+ qc

V x0

AV xo

Аналогичным образом преобразуем 2-е уравнение системы (1).

dx

E dt

RT ==

E

dy _ dt

R dT E dt "

 

( ECp Y-n

R

f ECp Y-n

dT

V RH J

AE

V RH J

dt

dt

AE R

ECp RH

я-1

dx

(4)

x

y

Подставим (2) и (4) во 2-е уравнение системы (1), получим:

AE R

dy dx

ECp RH

я-1

J -1

я y

x e y

dy dx

dy dx

1 (

AH

Cp

ECp

RH

hS + Cpq E     hSTC + CpqTB CpV   ' Ry + CpV

RH

-1

ECp

hS + Cpq R

-—y+—

CpV AE

( RH_ Л ECp

я-1

hSTC + CpqTB

CpV

E

hS + Cpq AV (Cp ))

Обозначим параметры

q

AV

ECp

C

Cpq + hS AV (Cp

y+

RH

E

R hSTC + CpqTB

E

. n-1

hS + Cpq

R(hSTC + CpqTB)

y

E (hS + Cpq)

(5)

Таким образом, получим модельную систему безразмерного вида:

dx dx

I dy dx _ - x e (6)

где x0, y0 и ц - параметры из (5), а переменные связаны с переменными из системы (1) следующим образом

RH C

ECp

E

ECp RH t

Исследование на устойчивость и типы фазовых портретов.

Исследуем на устойчивость систему (6) при любом я . Для этого определим наличие стационарных состояний. Стационарные состояния или, как их еще называют, особые точки этой системы найдем как решения следующей системы:

' 1

- xn ey + x0 _ 0

і

xn ' ey + ц ' (y0 - y) _ 0

получим координаты стационарного состояния:

^ ' ex0+ц'У0, * + y0

ц

V J

(7)

Несмотря на нелинейность, система имеет единственное стационарное состояние, т.е. моностационарна. Исследование устойчивости реактора сводится к определению устойчивости его стационарного состояния.

Для определения устойчивости положения равновесия (7) введем новые переменные

% _ x - xs и Ц _ y - yS ,

имеющие смысл отклонений от координат исследуемого положения равновесия ( x, y) _ ( xS , yS ) . Тогда подставим в систему (6):

x _ % + xs и y _ Л + ys , в новых координатах % ,r| система (6) примет вид

я

e

y

x0 _

0

dx

dx

:-(% + xs ) я 'exp

1

+x

r + ys J

1

r + y

SJ

Якобиан системы:

-я(% + xs )я-1 exp(

я(% + xS )я 1 exp

1

r + ys J

1 л

r + y

(% + xs )я

2 exp

1

J (0,0)

■ я [1] exp|

SJ

( 1 ^

(r + yS)2

exp

r + yS J

x

S

r+y 1 лл

V   ys J

2 ' exp

V  ys J

я [2] exp|

Vy x

S

1

SJ

2 ' exp

yS[3]

ц

V yS J J

Запишем систему линейного приближения в окрестности стационарного состояния (% ГГ) _ (0,0):

dx

dr

. dx

711% + j12r j21% + j22r (8)

где коэффициенты

/п _-яxS-1 exp

/

x

f

12

S

/ 21

S

ys J

2

yS[4]

ys J

/

22 _ 2

yS[5] ц

Составим характеристическое уравнение для системы (8):

k   - On + j22)k + 7n722 - 712 721 _ 0

Обозначим:

0 _-(7n + Л2). A _ J11J22 - J12J21 ^

Характеристическое уравнение запишется так:

k[6] + ok + A_ 0.

Из условий Рауса-Гурвица, а также исходя из свойств квадратного уравнения, положение равновесия устойчиво, если выполняются неравенства

o > 0 и A > 0 .

Выразим A и o :

A _ sxl [7] exp

ys J

.2 exp

1

ц

ys J J

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

О В Тубольцева, В Ф Раков - Анализ математической модели химического реактора полунепрерывного действия для исследования устойчивости