О В Тубольцева, В Ф Раков - Анализ математической модели химического реактора полунепрерывного действия для исследования устойчивости - страница 2

Страницы:
1  2 

+ яxns [8] exp 1

x

f

S

ys J

2'exp

y2

1

A_ sxS [9] -Sr exp

WS 2

y2

2 + яx 1 exp

V J y2

2

ys J

J

я

я

1

я

1

я

x

S

я

я

x

S

я

А = nxns 1 exp|

ц   и  а = xS

n-1

x

S 2 exp

+ ц

(9)

Характеристические числа системы

k

1,2 -1/2 •(- а ±л/а2 -)

Из (9) следует, что А > 0, поскольку x0 > 0 и, следовательно, xS > 0.

Если а2 >, то положение равновесия - узел, если а2 <, то фокус. Его устойчивость зависит от знака а , когда а > 0 имеем устойчивое положение равновесия. Уравнение границы между узлами и фокусами имеет вид: а2 = 4А. При таких значениях параметров характеристические числа кратные: k1 = k2 =—1/2а . Фазовый портрет представляет собой вырожденный узел.

Если  а = 0, то   k12 = ±гЧ, такое положение равновесия системы линейного

приближения называется центр, оно устойчиво не асимптотически, однако необходимо учитывать нелинейные слагаемые, чтобы сделать вывод об устойчивости исходной нелинейной системы.

Примеры фазовых траекторий для безразмерной системы.

Рассмотрим влияние параметров системы (6) на ее поведение. Как показано выше, при изменении параметров (5) система (6) имеет одно состояние равновесия (7), однако реализуются различные типы фазовых портретов. В таблице 1 показаны возможные фазовые портреты, когда А > 0 , при изменении параметра а , определенного в (9).

Таблица 1 — Типы фазовых портретов

области

Тип фазового портрета

Устойчивость

Значения параметра а

I

Узел

Устойчив асимптотически

а > 0 , а2 >

II

Фокус

Устойчив асимптотически

а > 0 , а 2 <

III

Фокус

Не устойчив

а < 0, а2 >

IV

Узел

Не устойчив

а < 0, а2 >

V

Линейное приближение: центр

Линейное приближение устойчиво асимптотически.

а = 0

VI

Вырожденный узел

Устойчив асимптотически

а2 = , а > 0

VII

Вырожденный узел

Не устойчив

а2 = , а < 0

Отметим, что область V (как и области VI и VII) из таблицы 1, соответствующая кривой а = 0, это множество меры ноль, ему соответствуют иррациональные значения, попасть в него на практике нереально. Кроме того, оно является границей устойчивости системы, а, следовательно, областью, которую следует избегать.

На рис. 1 показано поведение траекторий системы (6) при n = 2, ц = 2 и некоторых

параметрах x0, y0 :

а) x0 = 10,y0 = 1, тогда из (7), получим (xS,yS) = (10• е1/6; б)» (3,437092; б), траектории в окрестности данной точки изображены на рис. 1а). Из (9) получим: А = 11,63774 , а = 7,541, а2 = 56,8681, = 46,55 , т.е. а2 > - параметры соответствуют I области.

б) x0 = 0,5, y0 = 1, тогда из (7), получим (xS, yS) = (1,054879; 1,25), траектории в окрестности данной точки изображены на рис. 1б). Подсчитаем из (9) значения: А = 1,895951,а = 2,627976, тогда а = 6,9, 4А = 7,5838, т.е. а < 4А - параметры соответствуют II области.

а) Поведение траекторий системы для параметров из I области.

б) Поведение траекторий системы для параметров из II области. Рисунок 1 — Фазовые портреты для параметров из области устойчивости, а > 0

Как показано в [2], в зависимости от типа устойчивости реактора выбирается адекватный способ управления. В частности, в окрестности узла требуется жесткое управление, а в случае фокуса - мягкое, с незначительным по величине и непродолжительным по времени изменением параметров системы.

Вычислительный эксперимент.

Проведем исследование системы с физическими параметрами. Один из вариантов значений параметров для системы (1) с физическими параметрами представлен в таблице 2. Такая система соответствует процессу растворения железа в азотной кислоте.

Наукові праці ДонНТУ Випуск 20 (182)

Таблица 2 — Физические параметры реактора и вещества.

Физические параметры

Значения параметров

Предэкспоненциальный множитель уравнения Аррениуса, A

1000 м 3/(кг с)

Порядок реакции, n

1,5

Энергия активации, E

15000 Дж/моль

Универсальная газовая постоянная, R

8,31 Дж/(моль К)

Объемная скорость подачи реагента, q

0,001 м V с

Объем реакционной системы, V

0,229074 м3

Концентрация раствора подаваемого реагента, Cx0

30 кг/м3

Теплоемкость системы, c1

4100 Дж/(кг К)

Теплоемкость раствора подаваемого реагента, c2

4100 Дж/(кг К)

Плотность реакционной системы, р1

1200 кг/м3

Плотность раствора подаваемого реагента, р 2

1020 кг/м3

Энтальпия системы, H

300000 Дж/моль

Коэффициент теплопередачи, h

18 Дж/(м2 с К)

Поверхность теплопередачи, S

1,178097 м2

Температура внутренней стенки реактора, TC

300 K

Температура раствора подаваемого реагента, TB

330 K

Графическое решение, выполненное с помощью пакета Maple, представлено на рис. 2.

350-

 

 

 

 

Э ЛГі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r^-V......

і 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

320:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛІТ

1-.-1—,-1-,—1-,-,—,-1-,—,—,-,—1—

О 0 2        0.4        0.6        0 8 1

Сх

Рисунок 2 — Поведение семейства траекторий системы (1) в плоскости Cx, T

Видно, что в фазовой плоскости концентрация-температура реализуется одно стационарное состояние (CxCT; TCT) » (0,1л/м3; 330К), в окрестности которого фазовые траектории имеют вид устойчивого узла. Стрелками указано поле направлений в фазовой плоскости Cx, T .

Для проверки типа фазового портрета определим его по методике для безразмерной системы. Принимая р = р1, воспользуемся формулами (5) и (7), чтобы получить значения модельной (безразмерной) системы, соответствующие исследуемой системе с физическими параметрами:

x0 = 2,57124 -10Л  y0 = 182,0361203,   ц = 2,54814 • 10 8, xS = 8,74352•Ю Л  yS = 182,0371294.

Из (9) получим

А = 1,12402 • 10 11,  а = 0,000441137 . Поскольку а2 > 4А (1,94602 •Ю 7 > 4,49607 •Ю~п), значит, фазовый портрет такой системы соответствует I области, которая содержит асимптотически устойчивый узел, как это показано в табл.1. Следовательно, качественное поведение безразмерной системы и системы с физическими параметрами совпадает. Выводы.

1. В результате проведенного анализа нелинейной модели химического реактора полунепрерывного действия найдено стационарное состояние системы и показано, что оно является единственным.

2. Определены области устойчивости пространства параметров.

3. Численные иследования системы с физическими параметрами подтвердили, что преобразование модели к безразмерному виду позволяет исследовать систему на устойчивость при любом порядке реакции.

Надійшла до редакції: Рекомендовано до друку:

24.01.2011 д-р техн. наук, проф. Ткаченко В.М.

Литература

1. Вольтер Б. В. Устойчивость режимов работы химических реакторов / Б. В. Вольтер, И.Е. Сальников. - М.: Химия, 1981. - 198с.

2. Дайчман Е.Е. Модель циклически обостряемого реактора / Е.Е. Дайчман, Е.Н. Кондратьев // Вісник Одеськ. держ. ун-ту. - 2001. - Т. 6. - Вип. 3. - С. 134 - 140.

Abstract

Tuboltseva О. V., Rakov V.F. The research of mathematical model of semicontinuous action editor for the stability analysis. The nonlinear model equations are rearranged to the dimensionless form. The stability condition is obtained and the uniqueness of stability state for the system is shown. The phase portraits in the neighbourhood of this state are built; the regions of stability are specified. The system with physical parameters was investigated and it was shown the identity of the system phase portrait defined by model dimensionless system method.

Keywords: mathematical model, phase portrait, editor stability, stability regions, dimensionless variables, physical parameters.

Анотація

Тубольцева О.В., Раков В.Ф. Аналіз математичної моделі хімічного реактору напівбезперервної дії для дослідження стійкості. Для нелінійної моделі рівняння перетворені до безрозмірного виду, знайдений стан рівноваги й показано, що система має єдиний стаціонарний стан, побудовані фазові портрети в околиці цього стану, визначені області стійкості. Досліджено систему з фізичними параметрами, показано ідентичність її фазового портрета, визначеного за методикою для безрозмірної системи. Ключові слова: математина модель, фазовий портрет, стійкість реактору, області постійності, безрозмірні змінні, фізичні параметри.

© Тубольцева О.В., РаковВ.Ф., 2011


[1]

[2]

ц

SJ J

ц

SJ J

[7]

[8]

ц

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

О В Тубольцева, В Ф Раков - Анализ математической модели химического реактора полунепрерывного действия для исследования устойчивости