А А Рыбалко - Анализ эффективности степенных уравнений при описании электронно-волновых - страница 1

Страницы:
1  2 

Ж. нано- та електрон, фіз./ J. Nano-Electron. Phys. 2009.- Т.1, №3. - С. 7-15

©2009 СумДУ (Сумський державний університет)

PACS number: 42.82.Et

АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ СТЕПЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ОПИСАНИИ ЭЛЕКТРОННО-ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В МОДЕЛИ УСИЛИТЕЛЯ НА ЭФФЕКТЕ СМИТА-ПАРСЕЛЛА

А.А. Рыбалко

Сумский государственный университет,

ул. Римского-Корсакова, 2, 40007, Сумы, Украина

E-mail: vp@sumdu.edu.ua

В работе проведен сравнительный анализ различных приближений, используемых при получении дисперсионных уравнений в виде степенных полиномов, позволяющих описать электронно-волновые процессы в системе усилителя открытый волновод с периодической структурой и электронный пучок. Показано, что наиболее наглядной, с физической точки зрения, является модель усилителя, описываемая аналитическими дисперсионными уравнениями седьмой и третьей степени, которые позволяют учесть основные параметры электродинамической системы и пучка электронов при его взаимодействии с объемной волной исследуемой квазиоптической системы.

Ключевые слова: ДИФРАКЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ, ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК, ОТКРЫТЫЙ   ВОЛНОВОД,   МАГНИТНОЕ   ПОЛЕ, ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ

ВОЛНА.

(Получено 27.10.2009, в отредактированной форме - 12.11.2009) 1. ВВЕДЕНИЕ

В последнее время активно обсуждаются вопросы усиления и генерирования электромагнитных колебаний на пространственных гармониках когерентного дифракционного излучения (излучения Смита-Парселла) [1], возбуждаемого при движении нерелятивистского электронного потока (ЭП) вдоль дифракционных решеток, располо­женных в квазиоптических системах различных модификаций [2]. При этом, наиболее актуальными являются вопросы широкополосного усиления электромагнитных колебаний в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах волн, которые могут быть реализованы по схеме усилителя на эффекте Смита-Парселла [3]. К настоящему времени разработка данного вопроса ведется по двум направлениям: теоретическому анализу электронно-волновых процессов [4] и экспериментальному моделированию волновых процессов в различных модификациях электродинамических систем усилителя [3]. В частности, результаты работы [5] для линейного приближения взаимодействия ЭП с дифрагированным на решетке электромагнитным полем, позволили в самосогласованной постановке задачи получить дисперсионное уравнение усилителя в виде полинома третьей степени и объяснить в первом приближении физику электронно-волновых процессов на конечной стадии возбуждения электромагнитной волны. Дальнейшее развитие теории [4] позволило получить общее трансцендентное дисперсионноеуравнение, которое учитывает влияние фокусирующего магнитного поля и других параметров системы на начальную стадию возбуждения волн в усилителе. Однако, громоздкость и сложность численного анализа трансцендентного уравнения потребовали перехода, путем введения корректных упрощений, к степенным аналитическим дисперсионным уравнениям, которые являются более компактными и эффективными при описании физических процессов в усилителе на эффекте Смита-Парселла. В данной работе, на примере рассмотрения электронно-волновых процессов проведен сравнительный анализ эффективности использования нескольких видов приближенных дисперсионных уравнений усилителя на эффекте Смита-Парселла, позволяющих решить ряд конкретных задач по анализу электронно-волновых механизмов взаимодействия волн.

2. СТЕПЕННЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ

В общем случае, при взаимодействии электронного потока с электромагнитным полем в приборах СВЧ, образуется пространственно-временной спектр продольных и поперечных электронных волн [1,6]. К продольным волнам относятся медленные волны пространственного заряда (МВПЗ) и быстрые волны пространственного заряда (БВПЗ), распространяющиеся с разными фазовыми скоростями. К поперечным относятся медленные циклотронные волны (МЦВ) и быстрые циклотронные (БЦВ), которые возбуждаются в ЭП при фокусировке его магнитным полем. В отличии от продольных волн поперечные обладают поляризационными свойствами: БЦВ являются правополяризованными, а МЦВ - левополяризованными. В классических СВЧ приборах с длительным взаимодействием эффективность энергообмена определяется условием квазисинхронизма одной или нескольких электронных волн с полем поверхностной волны замедляющей системы [6]. В приборах дифракционной электроники, кроме условия квазисинхронизма электронов с полем дифракционного излучения, должно выполняться условие когерентного излучения [1].

Теоретическая модель усилителя в общем случае [4] представляет собой открытый волновод (ОВ) образованный параллельно расположенными, на расстоянии H, металлическим зеркалом и дифракционной решеткой типа «гребенка» с периодом 21, шириной и глубиной   щелей,   соответственно,   2d   и   h.   Над   решеткой движется

фокусируемый магнитным полем B0, плоский ЭП. Принцип действия усилителя, как и других устройств дифракционной электроники, основан на эффекте излучения когерентных сгустков плотностей заряда электронов, которые образуют продольную (поперечную или суперпозицию продольной и поперечной) электронную волну конвекционного тока, распространяющуюся вдоль системы решетка - ЭП, с постоянной фазовой скоростью, удовлетворяющей условию возбуждения дифракционного излучения. Такие волны возбуждаются в потоке электронов, при взаимодействии их с полем медленной пространственной дифракционной гармоники, которая образуется при дифракции электромагнитной волны на периодической структуре. Максимальную плотность энергии дифракционного излучения ЭП возбуждает при синхронизме МВПЗ с полем   медленной   дифракционной   гармоники.   В   этом   случае привзаимодействии с дифрагированным на решетке падающим полем можно реализовать режим усиления электромагнитных волн.

Для описанной выше модели, в самосогласованной постановке задачи, получено общее трансцендентное дисперсионное уравнение [4], которое может быть решено только численными методами, например, итерационным методом, позволяющим эффективно оперировать комплексными числами и достигать хорошей сходимости решений. При переходе от трансцендентного дисперсионного уравнения к степенным уравнениям необходимо ввести ряд упрощающих предположений, существенно не затрагивающих физику электронно-волновых процессов:

- связь поля решетки и ЭП - максимальная;

- взаимодействие    ЭП    происходит    с    первой пространственной гармоникой, а, излучение объемных волн - на нулевой гармонике.

Учитывая малый порядок величины пространственного заряда q и циклотронного параметра Qc = coc/co (coc = 77B0 - циклотронная частота; со -частота колебаний; B0 - индукция фокусирующего магнитного поля; 77 = e/me; e, me - заряд и масса электрона), обезразмеривая волновые числа и геометрические параметры системы получаем упрощенное трансцендентное дисперсионное уравнение, которое преобразуется в степенное уравнение седьмой степени путем разложения в ряд Тейлора и применения метода графической аппроксимации.

Данное уравнение в компактной форме записи имеет следующий вид:

Гс21(^0, И0 +8ц)

ІЛ0ЛХ ■ cos ecлхл[к

Ad2 +

М0

ctg п%^к

l4

(к2 - ^

-8и, (1)

где:

(1 + (q2(^-^0(^ + 1))^3 )

ц2к2

\1/2

(к-fa С" + 1))

1 -^2)1 к

А,(м +1) 1L  А>(м +1)

(1 ""с)

(1 + ^с)

ц2к2

1/2

\1/2

(1 -^)к

+1) 1L  А>0" +1)

(1 ""с)

(1 +^ с)

^ = H/l, 8 = h/l - безразмерные геометрические параметры системы, = /і0 + Sju - волновое число, которое по абсолютному значению не превышает 0.5, причем 0 >> Sju, Д) = t^/c, Цэ - постоянная составляющая скорости невозмущенных электронов, c - скорость света, к= kl/л, k = 2п/Х -волновые числа, X - длинна волны излучения.

Без учета влияния магнитного поля на волновые процессы (B0 —» °о) уравнение (1) преобразуется в уравнение третьей степени, относительно добавки к волновому числу д/и [3,7]:

-/да3 + 2& (к-Р0 (А, + q2K2A

/З0       + 1)lf      А> + 1)

1 + q

1 - q

(2)

где:

0,

Г   1       , Re (Г1 Im (Г1); Г1

I 1

Л = \

\ 1

Г1 = 0; є Г1 < 1 / 2;

q2K2

sin^eГ1 ), .єГ1>1/2.

Г1 q2K2

1 + q

к   A>( M + 1) )L   A>0" + 1)

1 - q

є - проницаемость электронного потока,

п%cos ec2 [пх^ек2 - rt2 ) +  ,   21    2 ctg [nx^sK2 - rt2 )

ел:2 -

є - диэлектрическая проницаемость.

Уравнение (2) от полученного ранее [5] отличается наличием множителя в виде Л, а также функции  Д0і1і(/і0) , которые учитывают

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

А А Рыбалко - Анализ эффективности степенных уравнений при описании электронно-волновых