Э М Саак - Аналитическая мера и возможность регулярной аппроксимации решений эллиптических уравнений - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ г=с\ск И 1970

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕРА И ВОЗМОЖНОСТЬ РЕГУЛЯРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Э. М. Саак

В работе изучается возможность равномерного приближения регуляр­ными решениями уравнения

ограниченном замкнутом множестве точек комплексной плоскости г — = х + іу.

Решения этого уравнения при k = 1, 1 — 0 есть аналитические функ-при й = /=1 гармонические функции, при k l полигармони-=еские порядка k функции.

Основной результат работы состоит в доказательстве того, что условие А. Г. Витушкина [1] возможности равномерного приближения аналитиче­скими функциями (k = 1, / = 0) остается достаточным и в более общем случае k > 0, / > 0. Доказательство проводится для k > 1, / > 1. При "- > 1, 1 = 0 доказательство мало чем отличается от доказательства Витуш-;;:іна и поэтому опущено.

Рассмотрим ограниченное открытое множество е и будем обозначать -~іез d(e) диаметр множества е, через аналитическую емкость налитическую меру, см. [2, стр. 103], через С (е) гармоническую емкость множества е. Имеют место неравенства

Через mm [а; Ь] обозначается наименьшая из величин а, Ъ.

Лемма 1. Каково бы ни было ограниченное, множество е, существует аналитическая функция q> (г) комплексного переменного г вне е такая, что для любой точки С, отстоящей от множества е менее, чем на d(e), и любого г вне е имеет место неравенство

|1-(г-С)Ф(г)|<(і+2^|)тіп{і;^§]}. (1)

Доказательство. Искомой функцией ср (г) является функция Альфорса [1], [4] множества е, деленная на число ~[(е). В самом деле, из определения функции Альфорса вытекает, что

ІФ(г)І<^. г^ё.

Кроме того,

ф(оо) = 0.

Поэтому

1-(2-С)ф(г)|< supj 1 _(т С).ф(-=)[ < 1 + 2d (е) (2)

где Г любая кривая вне е, достаточно близкая к е. Далее,

|(г_С)(1_ф(2)(2_С))|< sup ;t-q|l-(T-Qcp(T)|<

<МЩ \ +2.­)1 '

г £ е.

(3)

Неравенства (2) и (3) в совокупности равносильны (1). Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Каковы бы ни были ограниченное множество е, натураль­ные числа т, k, X и точка С, удаленная от, е менее, чем на Ы(е), суще­ствует функция tyk,m(z)*, аналитическая вне ей такая, что для любого г вне е справедливо неравенство

d(e)

-Це)

  л d™(e)

(4)

|1— (z С)*фЙ1, m (г) ( <

где Аь постоянная, зависящая только от т, k, А;

s = y k (k + т) (k -f т 1) + k.

Доказательство. Пусть a1=Y(e), а2) а3, ... коэффициенты разложения функции Альфорса ае (г) множества е в окрестности бесконечно удаленной точки:

(г) = г—т +

+

(г-С)2 ' (г-?)

+ ... , | ай (г) | < 1, г і е.

Положим

о,— і

А1 *?■

- ks = q   1 1

s=l     ft, + ■ • • +

(5) (6)

„Так как (см. [2, стр. 104, 106])

< (4X)"~1«d"~1 (е),   л = 2, 3,

то

п =

Поэтому

\aq[<(q-l)2^2

4),

die)

1(e)

q-l

max

1 < s < г? — 1

; аі = т(е), 2, з, ...

! as I,   ^ = 1.

Функция фйі m (г) является также непрерывной функцией от £.

".едовательно,

<7 (<7 - I)

|а,!<[(<7-1)!р-2(4Х) 2

Таким образом,

d(e)

die)

7(e) ,   q = 1, 2, З,

|а«І<А,

Lt (є)

р to—і)

rze Лр — постоянная, зависящая только от р и X. Так как

K(z)|<l г^ё, то из (6) и предыдущего следует, что

-IP <р-1)

|фР(г)!<^7

d(£)

7(в)

где А'

постоянная, зависящая только от р и X.

г-.-нкция ц>р (г) в силу (5) и (6) в окрестности бесконечно удаленной точки ^ :еет разложение:

ФР (г) °Р+1_        ,        °р+2 і

и потому в силу принципа максимума

1 - - С)*ф (г) | < sup J 1 - - С)*фр 00 I <

<'+<[f|j ,   z<^<?,   p = k+ m,   s = k + kp {p~l),

Здесь Г любая кривая вне е, достаточно близкая к е. Поэтому

1-(г)Ч+т(г)|<Д

■А, т

7(e) (7)

где A'k, т постоянная, зависящая только от k, т и X. Далее,

|(г_ гГ(1 _(2_ С)*ф;+т(г)! < sup|, - С Г| 1 - - C)4t+mС01 <

<А.

■k, т

Щ dm(e), г fe, 7 (е)\       у " і s = k+ k(k + m)(k + m-l) (g)

Совокупность неравенств (7) и (8) равносильна (4). Лемма 2 доказана. Лемма 3. Каковы бы ни были открытое ограниченное множество е, натуральные числа т, X и точка С, отстоящая от е менее чем на

'id(e), существует функция h<L™) (г), гармоническая вне е и такая, что для любого г вне е справедливо неравенство

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

Э М Саак - Аналитическая мера и возможность регулярной аппроксимации решений эллиптических уравнений