С Н Воловельская - Аналитические функции в неполупростых ассоциативных линейных алгебрах - страница 1

Страницы:
1  2  3 

Аналитические функции в неполупростых ассоциативных линейных алгебрах

С. Н. Воловельская

Проблема определения аналитической функции в ассоциативных линейных алгебрах интересовала и продолжает интересовать иссле­дователей (Scheffers, Hausdorff, Kethum, В. Л. Гончаров, Ringleb; Spamplnato, Ward [1—5] J[1]), по-разному преодолевающих трудности, которые возникают на пути её разрешения в связи с несоблю­дением в этих системах коммутативного закона умножения, наличия нулевых делителей и нильпотентов.

Наименее ограничительным является определение Haus-dorf fa [1], называющего функцию аналитической, если dy является

п— 1

однородным линейным полиномом от dx: dy=<p1(dx)= Е <рн ef dx Єї (Н).

i,j=0 [2]

Это определение, (повторённое Ringleb'oM в [3], положившим его в основу построения теории функций и облечённое в матричную форму Ward'oM в [4]) позволяет получать аналитические функции в некоммутативных ассоциативных системах, которые, однако, обнару­живают свойства, аналогичные элементарным свойствам аналитиче­ских функций от комплексной переменной только в алгебрах простых и полупростых. В неполупростых некоммутативных системах, наиболее полно отражающих специфику гиперкомплексных алгебр, диференциалы высших порядков от аналитических функций, определённые условием (Н), вообще не являются однородными поли­номами соответствующих степеней от dx, аналитические функции не разлагаются в сходящиеся бесконечные ряды однородных поли­номов, оказываются не интегрируемыми и т. п. Для указанных си­стем точка зрения Hausdorff'a должна быть развита и углублена.

В настоящей статье дано определение аналитической функции в неполупростых ассоциативных алгебрах первой категории над телом вещественных чисел[3]).

Как известно, всякая ассоциативная алгебра ■«-порядка первой категории может быть приведена к нормальному базису, где основ­ными единицами служат t-j первообразных иа,емпотентов е0е!, ... et> попарно ортогональных, и m=n—(t+1) нильпотентов ец-i, ец~2 • • • Єц_і = еп_і, каждый определенного характера (а1( рх) (а2, р2). .. (>ь ft),

С. Н. Воло&ельская

произведение которых попарно et_jij et_]_j является линейной комби­нацией нильпотентных единиц es> где s превышает t + i и t + j1).

Укааганный нормальный базис налагает на константы умно­жения следующие ограничения:

(  1 i=j=s Tijs      = (1) 0<i,j<tlіф] или

f  1   i =      s = t + j. Ті t+j s = (2) l<j<ml 0   i<t, oi./ocj  или s ф t+j.

і  1   і — Pj, s = t + j Tt+i.is - (3) 1<]<ш1 0  i<t,   і # pj или s # t + j.

Yt+jt+is=0 s<t + i или t + j. (4) l<i,i<m

Назовем функцию y = f(x), компоненты которой fs (?0, ^. Sn_j)

вещественные функции переменных 50 Sx... ?n_i, имеющие диферен-

циалы любого порядка в области D, аналитической в этой области, если в каждой точке а из D диференциал любого порядка dky яв­ляется однородным полиномом от dx степени к:

dky = ?k(dx). (а)

Так как

п-1   /п—1

dky - 2 ( 2§Г        f«es> W

s=o \р=о    Р /

в то время как:

?k(dx) = S <pJoi,...jk eiodx еіг dx ... dx eifc"=

i0 h... ik = 0 ... n—1 ,

~ 2 Ti0 Pi j,  Tjj i, h Ч> P2 j3~ "0_2 Pk Ьк-1  ТІ2к- 1 Jk S ^Рї - d?Pk '

i, j, p, s=0 ... n—1

то, считая (a) справедливым при любом dx, и принимая во внимание

линейную независимость единиц е„, ех... en_j, приравниваем члены

•(ai) и (а2), содержащие одинаковые произведения d?Pi d£p3... dSPk, от­куда получаем систему диференциальных уравнений различных по­рядков для компонент функции:

<Э+

Рі   Рг. Рг а, + а2 + ... +_ar == к

р1( p2...pr, s = 0, 1 ... п—1.

l) Dickson, Algebren und ihre Zahentheorie, S. 119, Диксон. Линейные алгебры стр. 43, 44, 46, 50).

= <xi|a2!-ttr '^"^?і0і1шшЛк fi0Pl -h fj, i, j,...Tj2ei_i laijBl Ті, prJ2ea+1.. тІ2к-1 iks kl      i, j=0... n—1

(по всем перестановкам рь p2... pr) (5)

Пользуясь уравнениями (5) при различных значениях к и учиты­вая уравнения (1—4) для констант умножения, установим структу­ру компонент аналитической в области D функции. Будем условно называть ^ (?0 \\... £n_i) при 1 = 0,1... t идемпотент-ными, а при i = t+l, t   2...t —{— 1 нильпотентными компонентами

функции, соответственно,&0, \х..Лх идемпотентными, tiJri> ?ц_2-нильпотентными координатами независимой переменной. Полагая к = 1, получим на основании (1):

5,

t+r

0

P = S

p^s (6)

функ-

откуда идемпотентные компонентны аналитической ции определяются в виде: fs=fg (?s) для s = 0,l ...t (6), где і произвольная вещественная функция одной вещественной переменной, имеющая производные любого порядка в области D. На основании (2), (3) и (4) при k = 1 получим:

ді

t+i

Яр .

KjKra

Sc?Mi TioPji fJiiit+J

0   p>t + j (7)

fa) pj   P = t + j

t + j<P<t+j-l

Jo. h. ii^.O...t + j0   p<t, но p ^aj( Pi (i<j).

Отсюда заключаем: нильпотентная компонента ft_j_j не может зависеть от нильпотентных координат £Р) порядковые номера которых р превышают t + j.

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

С Н Воловельская - Аналитические функции в неполупростых ассоциативных линейных алгебрах