С Н Воловельская - Аналитические функции в неполупростых ассоциативных линейных алгебрах - страница 2

Страницы:
1  2  3 

Выпишем некоторые уравнения второго порядка, получаемые из (5) при к = 2:

t+j _

О Pi = f+] p2>t (8) <p«j_l pj_i pj Tt+j_! t+j_! , + j    pj = p2 = t+ j- 1

? «Pl PP1 PJ TPiP2 f+j + ?aP2 Pp2 PJ  TP2Pl t+j }

t+l<Pl,p2<t + j-2 Pi = t + j   p2<t, но pj^-o^pj.

2! 0

Из (7) и (8) заключаем: нильпотентная компонента it_^_j является полиномом невыше первой степени отно­сительно координаты 5t_|_j с коэфициентами, зависящими от идемпотентных координат Ц £pj

Присоединяя и некоторые уравнения третьего порядка

О Pi = t + j-l р8, Рз > t (9) О ft = t+j -1 p2>t, Рз < t, но ф aj_f> Pj_b pp3_ti ap3_ti

Pi2 pi 7t+j-2t+j-2t+j-l ^t+j-l t+j-2 t+j

Pt=p3=P3=t+j—2

t+jприходим к выводу, что ft_j_j является полиномом не выше второй степени относительно $t+j—і с коэфициентами, зависящими от определённых идемпотентных коор­динат и констант умножения системы.

Продолжая таким образом далее, приходим к общему заключе­нию: при   любом   k fq_j  является  полиномом  не выше

-j- 1) - о й степени от нильпотентной координаты St_J_j_к

с коэфициентами, зависящими от и д е м п от ентн ы х координат и констант умножения системы.

Последняя нильпотентная компонента f t_j_m является полиномом не выше ш-й степени от       с идемпотентными коэфициентами.

Отсюда получаем общий вид аналитической в области D функции во всякой неполупростой алгебре первой' категории

t

- (A) m  M-l s j

J=l\ s=0 •  ц=0 J

X1,X,...XS = s + 1, s + 2,...]-l (\+j_,=l,?jXo=<pjs),_

гДе У\\0 \... Xjj. вещественные функции от определённых идемпотент-ных координат, зависящие от констант умножения системы, имеющие диференциалы любого порядка в D.

Применённый метод исследования и установленная структура аналитической функции (А) доказывает теорему:

Для того, чтобы функция y=»f(х), компоненты которой вещественные функции переменных S0 ?!... Sn_i, имеющие диферен­циалы любого порядка в области D, была аналитической в D, достаточно выполнения условия dky = cpk (dx), для k = 1, 2 ... m +1 в каждой точке а из D.

Примечание. Диференциальные уравнения первого порядка, вытекающие из требования dy = cpj (dx) (Н), вообще выражадт доста­точные условия аналитичности лишь при т = 0, т. е. в системах полупростых.

Пусть v наименьший показатель, для которого е^ = 0; при

этом у = 0 для любого нильпотента системы, но найдутся нильпо-тенты ч], для которых tjv 1 0, т. е. v индекс нильпотентной суб­алгебры. (Из условия нормального базиса следует, что v<m + l).

Отсюда легко заключаем, что нильпотентные компоненты являются полиномами степени, равной или меньшей v от нильпотентных коор; динат, а следовательно верна теорема, устанавливающая более тонкий критерий аналитичности.

167

Для того чтобы функция y = f(x), компоненты которой веще­ственные функции от S0 ?!... Sn—1, имеющие диференциалы любого порядка в каждой точке из D, была аналитической в Dj необходимо и достаточно, чтобы dky = cpk(dx) для k = l, 2..,v, где v индекс нильпотентной субалгебры, в каждой точке а из D.

Вышеуказанные условия сводятся к диференциаль-„ным уравнениям I, II... v-ro порядков, получаемым из (5) при соответствующих значениях к и являющимся обобщён­ными уравнениями Коши—Римана в неполупрост ых алгебрах 1 категории (по типу уравнений 6 —9).

Нетрудно явно выразить зависимость функций %0...х^, входящих в (А), от констант умножения системы, получая таким образом формулы, позволяющие по заданной таблице умноже­ния алгебры определять в ней аналитические функции.

Так, первая нильпотентная компонента имеет вид

ft+l = ^I^)^t+i + ^1^)' (Ді> в частности, при a^pj —s

ft+i = \W+i + Ф(У- (А)

Вторая компонента представляется в форме: ft+2 *Ра) Ц-2 + + Tt+1 t+l t+2 { <Р„ Sp3) ?t+l +

+? + } (А.)

2!

И Т. Д. .

Так, например, система IV третьего порядка (по Study), детально рассмотренная в [5], имеет при нормализации единиц таблицу умно­жения:

0 ej е2 е2 0 0

Здесь: t—1, m = l, v = 2, 04=1, Рі=0, откуда аналитическая функция принимает вид:

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

С Н Воловельская - Аналитические функции в неполупростых ассоциативных линейных алгебрах