С Н Воловельская - Аналитические функции в неполупростых ассоциативных линейных алгебрах - страница 3

Страницы:
1  2  3 

f(x) = f0 (S0) е0 + f! (S:) Єі + {<p (S0, S,) ta 4-j> (So, Sj)} e2i

что совпадает с (10) из [5].

Обобщённые уравнения Коши—Римана здесь первого и второго .порядка вида:

Я,   <?S2   Я0   а\г        #2 '

как и (9) из [5].

Для системы VII четвертого порядка (по Study), при нормализа­ции базисных единиц, таблица умножения:

е0 О О О О ej е2 е3 е2 О  О О О е3 О О

Здесь t = 1, m = 2, v = 2, «1== 1,    = 0, а2    t82 = 1, Тз23 = О, откуда

f(x) = f0(50)e0 + Ше, + {«р^, + «ДОоЬ)) е2 +

+ }е3.

Если алгебра содержит единственный идемпотент е0, то все функции ср^х       из  (А)  зависят от единственной

переменной £0. При этом

fi=V(gii+fio(?o) (вх)

h - fo'(Se) б2 + Ті» fffl ^ + fю (бо) *і } + fM (?о) (В2)

= to (бо) б3 + {Тггз й +(Тіи + Тгіз) бі б2 + Тпз *!} + б* Таг Тгіз ~f"

J, \ о !

- {^ ^ г ; (В,)

+ -~— бі Тт Тгіз + { (б0) Тш + <Рз(б0) "bis +    (бо) Тта)б2 +

2!

+ { 4(б0) Тпз + Ті (бо) Тім + Фі (бо) Тгіз} &і+ fao(5o).

Так, например, система XIV четвертого порядка (по Study), рас­смотренная в [5], имеет таблицу умножения:

е0 ех е2 е3 е, 0. е, О е2 е3 е3 О е8 О О О

Здесь

t = 0,   m*=3,   v=*2,   Тп2 = Tns = Тш = °»   Тт —'

Тї18 —1>

Откуда

f (X) = f0($0)e0 + 2 ffo ($о) бі + f, (бо)}е і+Ш бі + Ф (бо) б2} Є8 . 1 = 1,2,3 .

Дополнительные упрощения вносятся при переходе к сие коммутативным, где аналитичность (в смысле данного определения) влечёт за собой существование произв.^ в каждой точке а из D и обратно.

Аналитические функции

Как и на примерах, рассмотренных в [5], можно назвать инде­ксом моногенности функции наименьшее число N, для кото-

N

рого dy= £ Uj dx vit где tij и Vj   аналитические  функции от х,

і=і

названные нами сопряжённо-моногенными функциями ин­декса N.

При этом условия сопряжённой моногенности выражаются систе­мой п диференциальных уравнений для компонент-функций щ и Vj. Наряду с аналитическими функциями, можно рассмотреть более уз­кий класс деривабильных функций, имеющих производную (правую, левую и двустороннюю), и определить уравнения дерива-бильности; при этом в системах коммутативных указанные определе­ния аналитичности и деривабильности совпадают.

Так же, как и'в [5], можно ввести понятие о бесконечном ряде

полиномов £ <рк(х—а) и доказать разложимость функции, а на-к=0

литической внутри некоторой сферы радиуса R с центром в а,

в бесконечный ряд 2 срк(х—а), сходящийся для |х—a|<R.

к=0

Интеграл можно определить, как и в [5]:

Г £ ii/ dx vj = lim  2   S Ui (xk)^xk v (xu), J i=i Axk-»o i=1 k=l

с m * oo

(где С кривая Жордана в односвязной области D непрерывности функций ut и Vi) и притти к аналогичным результатам  о незави-

Р N

симости  от путиинтегралаЛ £ ^ dx v, для совокупно-

с i=l

с ти сопряжённо-моногенных функций индекса N, уста­навливая, таким образом, эквивалентность классов сопряжённо-моно­генных и сопряжённо-регулярных функций данного индекса ').

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. Hausdorff. Zur Theorie der Systeme complexer Zahlen. Leipz. Ber. Bd 52. 1900. S. 43.

2. Гончаров В. Л. Об интеграле Коши в гиперкомплексных областях. Изве­стия Академии Наук СССР. Серия математ. 1932. № 10. Стр. 1405.

3. Rlngleb. Beltrage zur Funktionen theorie In hypercomplexen Systemen 1. Rendiconti di Palermo. 1933. S. 311.

*4. Ward. Theorie of analytic functions in linear associative Algebras. Duke Mathe­matical Journal. Vol. 7. 1940. P. 233.

• 5. В о л о в е л ь с к а я С. Опыт построения элементов теории функций в неком­мутативной ассоциативной системе с 3-мя единицами. Записки Научно-Исслед. ин-та математики ХГУ. Т. XVI. 1939. Стр. 143.

6. Wagner. Differentials and analytic continuation in non - commutative, algebras. Duke Math. Journal. Vol. 9, N 4. 1942. P-677.

7. Федоров В. CO моногенности. ДАН СССР. 1945, т. XLVIII № 6, стр.414.

!) В статье [6] высказывается соображение, эквивалентное примечанию на стр. 156. Примеч автора. Статья представлена в 1940 г. Ред.


Цифры в квадратных скобках относятся к указателю литературы в конце статьи. Результаты упомянутых авторов прореферированы мной в статье „Теория функций от гиперкомплексной переменной*. (Обзор литературы). Труды Хапьк. Инж.-Экон. инст., т. II, стр. 347—365, 1940.

Цифры в квадратных скобках относятся к указателю литературы в конце статьи. Результаты упомянутых авторов прореферированы мной в статье „Теория функций от гиперкомплексной переменной*. (Обзор литературы). Труды Хапьк. Инж.-Экон. инст., т. II, стр. 347—365, 1940.

[3]) К указанной категории принадлежат системы IV 3-го порядка и XIV 4-го порядка по Study, построение элементов теории функций в которых проведено в статье [5].

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

С Н Воловельская - Аналитические функции в неполупростых ассоциативных линейных алгебрах