А В Винник - Аналитическое решение трехмерной задачи о равновесии ортотропного параллелепипеда - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2011, № 2

УДК 539.3

А. В. Винник

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ОРТОТРОПНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Рассмотрена трехмерная задача об упругом равновесии ортотропного прямоугольного параллелепипеда. На плоских гранях, а также на двух противоположных сторонах параллелепипеда нормальная составляющая вектора перемещения и касательные напряжения равны нулю. На основании ранее полученных систем трехмерных уравне­ний равновесия ортотропного слоя предложена методика построения однородных решений рассматриваемой крае­вой задачи. Найдено явное аналитическое решение задачи в случае действия изменяющейся по толщине нагрузки.

Ключевые слова: ортотропная прямоугольная пластина, смешанные граничные условия, однородные реше­ния, точное аналитическое решение.

Введение. В обзорных статьях [1, 2] с достаточной полнотой представлена история проблемы ис­следования закономерностей напряженного состояния в анизотропных телах. В частности, в работе [2] обращается внимание на актуальность развития аналитических методов решения трехмерных задач тео­рии упругости анизотропного тела. Для решения двумерных задач о равновесии ортотропных пластин в работах [3, 4] используется метод однородных решений. Однородные решения уравнений трехмерной теории упругости анизотропных пластин в случае смешанных граничных условий получены в работах [5-9]. На их основе в работе [6] получено аналитическое решение о напряженном состоянии прямоуголь­ной пластины.

Настоящая статья является развитием исследований [6]. В ней в трехмерной постановке рассмат­ривается задача об упругом равновесии ортотропного прямоугольного параллелепипеда.

Постановка задачи и построение однородных решений. Рассматривается прямоугольный орто-тропный параллелепипед, занимающий в декартовой системе координат Ох^2Х3 область

V = {хц| < а, |х2І < b, 3І < h}

Для решения задачи о напряженном состоянии рассматриваемого параллелепипеда необходимо проинтегрировать уравнения равновесия в перемещениях, которые в данном случае имеют вид [10]:

L11 + A55d2 )u1 + L12u2 + L13d 3u3 = 0. L21u1 + (L22 + A44d2 ) u2 + L23d3u3 = °.

(1)

L31d3u1 + L32d3u2 +(L33 + A33d2 ) u3 = 0. Здесь

L11 = A11d2 + L12 = L21 =( A12 + Лб6 )d1d2> L13 = L31 = (A13 + A55 )дЪ

L22 = 4>65? + A22d2 , ^3 = L32 = (A23 + A44 )d2 , L33 = A55d2 + A44d2 . di = дІдхі ; Ay - модули упругости.

Решение системы (1) необходимо осуществить с учетом граничных условий на плоских гранях пластины (х3 h)

U3 1, х2, ±h) = 0, ai3 (±h) = 0 , і = {1,2}; (2) и на боковых поверхностях (х1 =±а, х2 b)

U2 (хЬ±b3) = 0,      (х1,±b3) = 0, j = {1,3}; (3)

Оц (±а,х2,х3) = Q f 2,х3), 0^12 (±а,х3) = о"13 (±а,х2,х3) = 0, (4) где Q - произвольная постоянная. Здесь и далее для напряжений будут использованы два вида обозначений

°1 =°1Ь 02 =022; 03 =033; 04 =023; °5 =°13; °6 =°12. В случае симметричного деформирования относительно срединной плоскости пластины х3 = 0 компоненты вектора перемещения представляются в виде [10]

СО 00 _

ui = Z Uik (x1, х2 )cos (5кх3 ). u3 = 2 u3k (хЪ х2 )sin (Зкх3 ). (i = 1,2) . 5к = кп1 h . (5)

k=0 к=0

© При этом граничные условия (2) будут удовлетворены, а из уравнений (1) при к = 0 следует

l11u10 + l12u20 = 0 ; l21u10 + l22u20 = 0. (6) Для построения решений уравнений (6) в многосвязных гладких областях в случае действия постоянной по толщине нагрузки применяется метод функций комплексного переменного [9], а в прямоугольной области - метод однородных решений [2]. Методика построения однородных решений уравнений (6) описана в [2] для прямоугольной ортотропной пластинки, на боковых гранях которой заданы условия (3). В случае к > 1 из уравнений (1) получается следующая система уравнений в частных производных

X  W=0 (i=й). (7)

n=1

Здесь      ) - дифференциальные операторы:

= Ln-4A55; D = L12; ^3к) = 3^3;      = L12; d22) = L22-SA44;

D$ =8kL23; d31{) = -^3; D32) = -^3; ^3k) = L33 A33. Для построения решений уравнений (7) в случае симметричного деформирования относительно плоско­сти пластины х2 = 0 компоненты вектора перемещения представляются в виде

СО СО

u1k (хЪ х2 ) = X u1kr (х1) c0s (гх2 )' u2k (хЬ х2 ) = X u2kr (х1) sin (£-х2 )'

Г=0 Г=0 (8)

GO

u3k (x1,х2) = X u3b- (х1 )cos(£-х2).       = rn/b r=0

При этом граничные условия (3) будут удовлетворены, а из уравнений (7) следует

a11u1kr -(a66#r2 + a55Sk)u1kr + (a12 + a66Kru2kr +(a13 + a55)Sku3kr = 0

-(A66 + A12Kru1kr + A66u'!lkr -(A22#r2 + A44Sk)u2kr - (A23 + A44)Sr5ku3kr = 0 , (9)

-(A13 + A55 )Sku1kr -(A23 + A44 )tAu2kr + A55u3kr - (A44^ + A33S ) = 0 Для построения решений уравнений (9), удовлетворяющих граничному условию (4), функции u1kr (х^, u2kr (х1), u3kr (х1) представляются в виде

u1kr (х1 ) = HkreXkrX1, u2kr (х1 ) = QkreXkrX1, u3kr (х1 ) = SkreXkrX1, где Afo. , Hkr, Qkr, $>kr - неизвестные величины, подлежащие определению. Тогда из уравнений (9) с учетом (11) следует

Hkr (a11 Akr - A66^T2 - a55^k2 ) + Qkr (а12 + A66 )AkAr + Skr (a13 + a55 )AkrSk = 0 ,

-Hkr (A66 + a12 )Akrtr + Qkr (A66Akr - a22#r - a44^k2 )-Skr (a23 + a44 )їЛ = °, (12)

-Hkr (A55 + A13 ) AkA - Qkr (A44 + A23 )їЛ + Skr (A55Al - A44^ - A33Sk ) = 0. Приравнивая определитель системы (12) нулю, получаем характеристическое уравнение

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

А В Винник - Аналитическое решение трехмерной задачи о равновесии ортотропного параллелепипеда