А В Винник - Аналитическое решение трехмерной задачи о равновесии ортотропного параллелепипеда - страница 2

Страницы:
1  2  3  4 

Air +{d1^ +        Ц +{d3^r + d4&i + d5^k4)4 +(^6+ + d8^r^k + ^9^кб) = 0 . (13)

Здесь

d1 = -a1 [ a11a6 - a12 a55 a2 ]. d2 = -a1 [ a11a7 - a13a66 a3 ], d3 = a1 [ a22a5 - a12a44a2 ]. d4 = A1 [2(a2 - A66 )(A3 - A55 )(a4 - A44 ) - A12A33A2 - A13A22A3 - A11A23A4 +

+ (A11A22 A33 + 2A44A55 A66 )] , d5 =a1 [ a33 a5 - a13a44 a3 ], d6 =-a1 (a22 a44A66 )~l, d7 =-a1 [a22a7 - a23A,6a4 ]. d8 =a1 [a33a6 - a23a55a4 ], d9 = -a1a33a44a55 ,

a1 =(a11 a55A66        a2 =(a12 + 2A66 ) , a3 =(a13 + 2a55 ) , a4 =(a23 + 2a44 ) . a5 =(a11 a44 + a55a66 ). a6 =(a22a55 + a44a66 ). a7 =(a33a66 + a44a55 ) .

Обозначая

Ykr = Akr + h> 3Pkr = Ь2 - 3bl2, 2qkr = 2b\ - ¥>2 + Ь3, Ь = (d\£ + d2Sk )/3,

4 2 2 4 6 42 24 6

b2 = d3#r + d4^r-S1i + d55k , b3 = d6#r + dl^r-S1i + d8^r-S1i + d9Sk ,

получаем для уравнения (13) следующее представление

7kr + 3pkr7kr + 2qkr = 0 • (14) Параметры Pkr , qkr зависят от характеристик материала (A\\, A\2, A\3, A22 , A23, A33, A44 , A55,      ), а также от значений 5k, %r, что влечет за собой различные формы записи решений уравне­ния (\4), а соответственно и системы (\2). Все возможные значения Pkr , qkr, а также соответствующие им Ykr и      представлены в табл. L

Таблица \

Значения Ykr уравнения (\4) и Aj^. уравнения (\3)

значения

pkr , qkr

значения

значения Akr

 

q2r + Pkr > 0

Y\kr = ukr + vkr , Y(2,3)kr =         2      ±' 2 (ukr   vkr),

где ukr = 3-qkr + >/q2r + Pkr , vkr = 3-qkr - Vq2r + Ar

A(\,2)kr =±4ukr + vkr - b\' \3,4)kr    ±J    kr + kr +' ^(ukr   vkr) b\, A5,6)kr \-               -'      (ukr - vkr )~b\

2

q2r + Pkr < 0

Y\kr = 2Re ukr , Y(2,3)kr =-Reukr ± V33Imukr , где

A(\,2)kr =±42Reukr - h , A3,4)kr =\i,6)kr =±V-Re ukr ±л/ЗЬп ukr -b\ ,

 

 

ukr = 3-qkr + ї\

1 -

2 3 qkr + Pkr

,

где ukr = 3-qkr + ^ qkr + Ar ,

 

 

vkr = 3-qkr - 

23

 

vkr =3 -qkr -   qkr +Pkr .

3

q2r + Ar = 0

и

qkr = Pkr = 0

7\kr = Y2kr = Y3kr = 0

\\,2)kr = ,4)kr = \b,6)kr = ±л/-Ьї ^

4

q2r + Pkr = 0

и

qkr =-Pkr * 0

Y\kr = 2ukr , Y(2,3)kr = -ukr ,

A(\,2)kr =±\l2ukr -Ь\ , A3,4)kr =\%6)kr =±4-ukr -Ь\ , ukr =--[4kr

В общем случае корни характеристического уравнения (\3) имеют вид

\\,2)kr (a\ +'P\). A(3,4)kr =±(a2 +'в2 ) . A(5,6)kr =±(a3 +'в3) . (\5) где ccj, Pj (j = \,3) є M и зависят от k , r . Вид функций (x\), u2kr (^\), u3kr (x\) с учетом (\5) в случае различных и кратных корней уравнения (\3) представлен в табл. 2. Произвольные постоянные kr, Qmkr , Smkr (m = \,3) в функциях в^іражаются друг через друга. В качестве независимых кон­стант приняты     kr. Тогда из уравнений равновесия (1) получаются зависимости

Qmkr = qm (Hmkr ) ' Smkr = sm (Hmkr ) ^ (\6) Подставляя выражения ц, сг^, <Т\3 из (Ю) в граничные условия (4) и представляя f(Х2,Х3) в виде двойного ряда Фурье через системы ортогональных функций (008(^X2), sir^^^), q>P =п(2 p - \)/(2b), P = \,2,...} и (cos(^fX3), sin(^fX3), ц/г = n(2t - \)/(2h), t = \,2,...}, прихо­дим к системе линейн^іх алгебраических уравнений относительно HPt (j = \,3) ({P,t} = \,2,...)

\~5ku\kr + u3kr ,1)        - 0 >  (-%ru\kr + u2kr,1)

\x\=a

x\=a

(A11u1kr,1 + A12%ru2kr + A13Sku3k )   =   = Q&

(17)

X1=a

где

1

bh

значения

^ + iej

aj + iP] -различные

a2 + i/?2 = a3 + ів3

dpt =      jj f (X2'X3 )C0S((PpX2 )cos(4/tX3 )dx2dx3

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

А В Винник - Аналитическое решение трехмерной задачи о равновесии ортотропного параллелепипеда