А В Винник - Аналитическое решение трехмерной задачи о равновесии ортотропного параллелепипеда - страница 3

Страницы:
1  2  3  4 

-b -h

Общий вид функций u1kr (x1 ) , u2kr (x1 ) , u3kr (x1 ) .

фуЛКЩШ u1kr ( x1) , u2kr ( x1) ' u3kr ( x1)

Таблица 2

u1kr (x1)

3

 

< u2±kr (x1)

 

Qikr >

u±kr (x1)

j=1

Sjkr

x1 (aJ + ieJ)

u1kr (x1)

2

H Jkr

< u±kr (x1)

 

Qjkr >

u3kr (x1)

j=1

Sjkr

x1 (aJ+

 

a1 + i[\ =

 

u1kr (x1)

 

 

H1kr

 

H ikr

Л

3

a2 + i/?2 =

u±kr (x1)

 

Q1kr

 

Q3kr

2 x1

 

a3 + ie3

 

u3kr (x1)

 

V

S1kr

 

S3~kr

J

ch

H3kr Q3kr S3~kr

sh ' X1ch

 

 

 

Q2kr

 

S2kr

x1sh x1 (a1+)

Коэффициенты Hjpt явным образом выражаются из системы (17). Таким образом, построено точ­ное аналитическое решение задачи (2), (3), (4).

Результаты численных исследований. Численные исследования напряженного состояния в па­раллелепипеде проведены для материалов из табл. 3.

Таблица 3

Ортотропные материалы

Материалы

E1IE

E2IE

E3IE

Щ E

<W E

G31/ E

v12

v23

v31

 

13,200

1,080

1,080

0,565

0,338

0,565

0,240

0,490

0,240

M 2

14,370

7,555

8,199

2,135

2,060

1,280

0,231

0,195

-0,035

Здесь значения модулей упругости и модулей сдвига отнесены к величине E = 104 МПа, M1 - однона­правленный эпоксидный углепластик [11], M2 - арагонит [12].

Для выбранных материалов корни характеристического уравнения (13) принимают действитель­ные значения. Тогда характеристики напряженно-деформированного состояния с учетом выражений (5), (8) и представлений для функций u1kr (X1), u2kr (X1), u3kr (X1) из табл. 2 примут вид

COCO 3

u1 = ZZ Z (H +krsh (ajx1) + H-krch (ajx1)) cos (#rx2 )cos (^kx3 ) . k=0 r=0 j=1

003

u2 = ZZ Z (Q+krch (ajx1) + Q-krsh (a/x1)) sin (#rx2 )cos (^kx3 ) .

k=0r=0 =1

coco 3

u3 = ZZZ(S+krch(aiX1) + S-krsh(a/x1 ))cos(^rx2)sin(^kx3) ; k=0 r=0 j=1

1

2

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2011, № 2 г+ = Z Z Z (A'1a    +kr + Ai 2%rQ%r + Ai3SkS+kr ) ) } cos (^rx2 ) cos (Skx3 )  (/ = 1,3),

coco 3

k=0 r=0 j=1

sh(«yXi)J (ch(a,Xi)]

= A44 ZZZ(~5kQ+jkr ~%rS+kr )f ch(aJ x1) l sin (#rx2 )sin (Skx3 ). k=0 r=0 j=1 I   V j V J

CT5+ = A55 Z Z Z(SkHjkr +ajS%r)<fCh(ajX1)l(^rX2)sin(^kx3) > k=0 r=0 j=1 І   У j V J

A66 Z Z Z ("#rH+kr + ajQjkr )^Ch(O^aj-xll)J     (^rx2 )COs (5kx3 )

k=0r=0j=1

Зависимости (16) в этом случае имеют вид

Q +    = р + H +    S +    = P + H + р+ = a12a33 + a13a23 р+   = a13a22 + a12a23

ydmkr    r1krn m > Jmkr    -r2kr/7 mkr > -4kr                       о     > r2kr n

a22a33 - a23

a22a33 - a23

где

(18)

a12 =(A12 + A66 )*to4r , a13 =( A13 + A55 )Vk , a23 =( A23 + A44 )#A.

(2 2 2 \ / 2 2 2 \

A66^kr - A22#r - A44^k ) > a33 = (A55^kr - A44#r - A33^k ) ^

Тогда разрешающая система (17) примет вид

3 3 3

Z H)ptB)pt=°' Z H ,+^tc =°' Z HjptDjpt=Q6V ^

j=1 j=1 j=1

Здесь

Bjpt ={~SP +ajP2+pt)sh(aja), C++pt = (-& +ajPxpt)sh(aja),

D)pt =(A11aj + A12#tp1+Pt + A13^pP2+pt) ch(aja). Решение системы (18) представляет собой

H+pt j / А ,

где А - определитель системы (18), а А j получается из А заменой j -ого столбца на столбец свобод­ных членов.

Результаты численных исследований приведены на рис. 1-5 для нормальных нагрузок на сторонах параллелепипеда

(19)

Оц (+a,    x3 ) = cos ffb x21 cos      x31, n <

(20)

в случае n = 1, если не оговорено другое. Решение данной задачи находится по формуле (19), где p = n,

t = 1.

0,8

0,4

- 0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а22

0,8

0,4

- 0,4

ст33

0,8

0, 4

-0,4

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0      0,125       0,25 0,375

x1

0      0,125       0,25 0,375 б

Рис. 1

0      0,125       0,25 0,375

0

0

0

x

x

1

1

а

вст12| 0,08

0,04

-0,04

С13

0,06

0

-0,06 -0,12

 

 

 

 

 

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

А В Винник - Аналитическое решение трехмерной задачи о равновесии ортотропного параллелепипеда