А В Винник - Аналитическое решение трехмерной задачи о равновесии ортотропного параллелепипеда - страница 4

Страницы:
1  2  3  4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,08 0, 04

0      0,125       0,25      0,375 x1

 

 

5s

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-0, 04

0,06 0

-0,06 -0,12

 

 

 

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ст23|

0,08 0,04

-0,04

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2Л

0    0,125     0,25 0,375 б

Рис. 2

x1

0    0,125     0,25    0,375 x1

 

1

\

2

 

 

*****

 

 

 

 

—^--

 

 

 

 

 

 

 

 

0,06 0

-0,06 -0,12

 

 

1

у

 

 

 

 

/

--

 

 

 

 

 

 

 

0      0,125       0,25      0,375      x3 0      0,125       0,25      0,375      x3 0      0,125       0,25      0,375 x3

а б в

Рис. 3

-ст22| 0,75

0,5

0, 25

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

у

 

__,

 

2

33

0, 75 0,5

0,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

2

12

0,75 0, 5 0, 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

N

 

 

 

 

 

 

 

0,125     0,25 0,375

0,125     0,25    0,375 x1 б

Рис. 4

0,125

0, 25 в

0,375 x1

С22 0

-0,3

-0,6| -0,9

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

С33

0

-0,3

-0,6 -0, 9

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

С12

0

-0,3

-0,6 -0,9

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

____-ї

 

 

 

7

 

 

 

/

 

 

 

 

0    0,125     0,25    0,375    x1       0    0,125     0,25    0,375    x1       0    0,125     0,25    0,375 x1 а б в

Рис. 5

Так на рис. 1, 2 отражено влияние упругих свойств материала на характеристики НДС на границе и в области куба с ребром 1. Кривые 1, 2 соответствуют материалам М1, М2 . На рис. 1 изображено измене­ние напряжений Сц, о"22 , С33 на границе x3 = h в области значения x2 = b . Аналогично и на рис. 2 -о"12 , о"13 , о"23 в сечении x3 = 0,8 h в области значения x2 = b .

0

0

0

а

в

0

x0

0

а

Влияние геометрии области показано на рис. 3 для напряжений , , С33, действующих в се­чении пластинки x1 = 0,75a из материала М1. Кривые 1, 2, 3, 4 соответствуют величинам 0,5, 1, 2, 4 из­меняемых параметров a и b . Значение неизменяемого параметра h равно 0,5. Следует отметить, что при увеличении параметров a и b приведенные на рис. 3 напряжения затухают.

Изменение нагрузки на характеристики НДС изображено на рис. 4, 5 для куба с ребром 1 из мате­риала М1. Кривые 1, 2, 3 соответствуют граничным условиям (20), где n принимает значения 0, 1, 2 соот­ветственно. Так рис. 4 отражает зависимость напряжений , С33, в сечении x3 = 0 в области зна­чения x2 = 0, 6b . На рис. 5 приведены зависимости для тех же напряжений, но на границе x3 = h в об­ласти того же значения x2 .

Заключение. С помощью метода однородных решений получено точное аналитическое решение трехмерной задачи об упругом равновесии ортотропного параллелепипеда, у которого на плоских гра­нях, а также на двух противоположных сторонах нормальная составляющая вектора перемещения и ка­сательные напряжения равны нулю. Исследовано влияние упругих свойств материала, геометрии облас­ти, а также граничных условий на двух оставшихся гранях параллелепипеда на характеристики напря­женно-деформированного состояния.

РЕЗЮМЕ

Розглянуто тривимірну задачу про пружну рівновагу орторопного прямокутного паралелепіпеда. На пласких гранях, а також на двох протилежних сторонах паралелепіпеда нормальна складова вектора переміщень та дотичні напруги дорівнюють нулю. На базі отриманої раніше системи тримірних рівнянь рівноваги ортотропного слою про­понована методика побудування однорідних розв'язків крайової задачі, що розглядається. Отримано точне аналітич­не рішення задачі у випадку дії по товщині зусиль, що змінюються.

Ключові слова: ортотропна прямокутна пластина, змішані граничні умови, однорідні розв'язки, точний аналі­тичний розв' язок.

SUMMARY

A three-dimensional problem of the elastic equilibrium of orthotopic rectangular parallelepiped is considered. On plane edges and two opposite edges of the plate take place the mixed boundary conditions of plane butt-end area. By means of the systems obtained earlier of three-dimensional equations of elastic equilibrium the technique are proposed for considered bound­ary problems homogeneous solutions construction. The exact analytical solution of the problem is obtained in case variable ef­forts are set on the thickness of parallelepiped.

Keywords: orthotopic rectangular plate, mixed boundary conditions, homogeneous solutions, exact analytical solution.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Космодамианский А.С. Концентрация внутренней энергии в многосвязных телах / А.С. Космодамианский // При­кладная механика. - 2002. - Т. 38, № 4. - С. 21-48.

2. Немиш Ю.Н. Развитие аналитических методов в трехмерных задачах статики анизотропных тел (обзор) / Ю.Н. Немиш // Прикл. механика. - 2000. - Т. 36, № 2. - С. 3-38.

3. Лурье С.А. Изгиб прямоугольной ортотропной пластинки, защемленной по контуру / С.А. Лурье // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1982. - № 1. - С. 159-168.

4. Лурье С.А. Метод однородных решений в задачах о плоском напряженном состоянии и изгибе ортотропных пла­стин / С.А. Лурье // Изв. АН Арм. ССР. - 1984. - Т. 37, № 6. - С. 27-38.

5. Алтухов Е.В. Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой / Е.В. Алтухов, А.В. Винник // Труды ИПММ НАН Украины. - 2010. - Т. 20. - С. 3-13.

6. Алтухов Е.В. Напряженное состояние ортотропной прямоугольной пластины / Е.В. Алтухов, А.В. Винник // Вісн. Донец. нац. ун-ту. Сер. А: Природн. науки. - 2010. - № 2. - С. 29-37.

7. Алтухов Е. В. Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условия­ми на торцах типа диафрагмы / Е. В. Алтухов, Н. М. Некородев, Р. Н. Нескородев // Прикладні проблеми механіки і

математики. - 2008. - Вип. 6. - С. 139-145.

8. Шевченко В.П. Однородные решения задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой симметрии / В.П. Шевченко, Е.В. Алтухов, Р.Н. Нескородев // Доповіді НАН України - 2008. - № 2. - С. 73-79.

9. Altukhov E.V. Solving three-dimensional static problems for orthotopic plates with sliding edge conditions / E.V. Al-tukhov, R.N. Neskorodev // International Applied Mechanics. - 2008. - Vol. 44, № 8. - P. 927-937.

10. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 416 с.

11. Рейфснайдер К. Повреждение конструкций из композитов в процессе эксплуатации / Прикладная механика компо­зитов. - 1989. - Вып. 44. - С. 108-145.

12. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов / Г. Хантингтон // Успехи физ. наук. - 1961. - Вып. 3. - С. 461-520.

Поступила в редакцию 15.08.2011 г.

Винник А. В.

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

А В Винник - Аналитическое решение трехмерной задачи о равновесии ортотропного параллелепипеда