В І Бесараб, Г О Воропаєва - Аналітична модель дискретно-безперервної системи з застосуванням апарата max-plus алгебри - страница 1

Страницы:
1  2 

УДК 681.51.015.4

B.I. БЕСАРАБ, Г.О. ВОРОПАЄВА

АНАЛІТИЧНА МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНО-БЕЗПЕРЕРВНОЇ СИСТЕМИ З ЗАСТОСУВАННЯМ АПАРАТА MAX-PLUS АЛГЕБРИ

Розглядається один з варіантів розв'язку задачі побудови моделей дискретно-безпе­рервних систем з використанням апарата MAX-PLUS алгебри. Наводиться типова структу­ра переходу графа синхронізації ДБС. Усі твердження розглядаються на абстрактному прикладі мережі Петрі.

Вступ

Теорія дискретно-безперервних систем (ДБС) - відносно новий напрямок застосування сучасної теорії систем для широкого кола задач управління, що мають місце в технологіч­них виробничих процесах, телекомунікаційних мережах, транспортних і логістичних систе­мах. Характерною особливістю таких процесів є те, що їх динаміка залежить не тільки від часу, а й зумовлена внутрішніми дискретними подіями, які супроводжують розвиток проце­су [1]. Деякі автори використовують акроніт ДБДС - дискретно безперервні динамічні системи, тим самим підкреслюючи фактор розвитку дискретних станів, що характеризу­ють систему у часі [3].

Для синтезу систем управління дискретно-безперервними процесами актуальною є за­дача розробки аналітичних моделей ДБС, які дозволяють застосовувати при синтезі підхо­ди, характерні для сучасної теорії управління. В рамках цієї статті розглянуто один з можливих варіантів розв'язку задачі побудови моделей таких систем з використанням апарата одного з різновидів ідемпотентної алгебри - Max-Plus алгебри [2] для графа синхронізації ДБС.

Постановка задачі досліджень

Поняття графа синхронізації дискретно-безперервних систем стосовно управління проце­сами в таких системах вперше було введене в теорії моделювання динаміки ДБС за допомо­гою апарату мереж Петрі [1]. Але формальний опис дискретно-безперервних процесів за правилами мереж Петрі не є прийнятним в рамках підходів, які використовуються в сучасній теорії управління. При застосуванні апарата Max-Plus-алгебри можна використовувати век­торно-матричні рівняння, які дозволяють формалізувати представлення ДБС у формі, подібній до моделей динаміки в просторі змінних стану [4].

Типова структура окремого переходу графа синхронізації ДБС в загальному випадку представлена на рис.1.

Рис. 1. Структура переходу графа синхронізації ДБС В даному випадку розглядається перехід між станами, який має назву некерованого. Перехід в інший стан або спрацювання некерованого переключення відбувається лише тоді, коли всі стани від Sj до Sq в передобласті переходу будуть зайняті умовним маркером, як це задається часовими оцінками сповільнення процесу aj.

Якщо в графі розглядається керований ззовні перехід, то прийнято вважати, що він відбувається при додатковій логічній умові переходу, заданій апріорі. Часова відмітка, в якій логічна умова є дійсною, позначається u і тоді для маркованих часових точок стану ДБС в післяобласті керованого переходу маємо:

q

xj = [Є ajXj] © u,j = q + 1,...,q + г. (1) i=1

Опис переміщень в графі синхронізаціі ДБС

Для кожного переміщення в графі синхронізації ДБС таким чином можна встановити часові точки переходу і марковані часові відмітки заняття стану в післяобласті. Розгляну­тий підхід для окремого переходу може бути узагальненим на всю послідовність переходів

графа синхронізації ДБС. Нехай заданий деякий граф синхронізації системи з |S| положення­ми і P логічними зовнішніми умовами переключення переходів. Використовуючи підхід для окремого переходу (1) в цілому для графа синхронізації, можна отримати систему з n рівнянь:

X1 = anX1 ©... © ainxn © bnu1 ©... © b^up

......................................................................... , (2)

xn = an1x1 © k © annxn © bn1u1 © k © bnpup або у векторно-матричній формі:

x = Ax © Bu. (3) При цьому: x = [x1... xn ] - вектор стану, кожний елемент xj якого фіксує момент часу маркування (включення) переходу Si . Вплив зовнішніх логічних умов маркування (пере­ключення) задається за допомогою вектора керування: u = [u1... un ].

Кожна логічна умова маркування (переключення) переходу Sj стає дійною в деякій часовій точці розвитку процесу, яка також враховується в рівняннях (2). В цьому сенсі кожний окремий елемент uj ,i = 1,..., p вектора управління розглядається як управляючий вплив на і-й перехід.

Значення кожного елемента ajj матриці A рівняння (3) відповідає часовій оцінці передо-бласті переходу Tj(Sjtk) з положення Sj в положення Sj, тобто характеризує часову інерційність переходу.

Якщо на переміщення tk додатково впливає логічна умова переключення, наприклад ur , то елемент матриці B дорівнює 0, в іншому випадку bjr =о .

Елементи матриці B таким чином вказують на ті переходи ДБС, які є керованими ззовні. В графах синхронізації переходи з одного положення в інше створюють замкнені цикли. Для того щоб відрізняти окремі цикли поведінки ДБС, всі змінні вектора стану x і вектора управління u мають індекс k, який показує, з якою частотою буде маркуватися відповідне

положення в графі синхронізації, тобто xj (k) - це часова точка, в якій положення Sj . займається (маркується) k раз.

Для встановлення початку нового переміщення по циклу має бути визначено положення Sj; зайняття (маркування) якого означає, що закінчено цикл k і починається k+1 цикл переміщення по графу синхронізації. Зазвичай для вибору границі початку нового циклу на графі задають початкову (стартову) позицію, відносно якої і ведуть відлік початку нового циклу. В цьому випадку в термінах змінних стану говорять про розрахунок стану x(k +1) через xj(k). Якщо ж положення Sj не є стартовою позицією циклу, то xj(k +1) знаходить­ся через xj(k +1), тобто відносно часової відмітки в поточному циклі. Наведені стверд­ження для окремої стартової позиції графа синхронізації, що розглядається на рис. 1, матимуть таке представлення з урахуванням впливу зовнішнього логічного управління u:

q-1

xj(k +1) = a1x1(k) © (© ajxj(k +1)) © aqxq(k) © u(k +1).

Індекс зовнішнього управління прийнятий таким самим, як індекс змінних стану відпові­дного циклу.

Як приклад розглядається граф синхронізації, що має структуру, представлену на рис. 2.

Рис. 2. Простий граф синхронізації

Як стартова позиція початку циклу умовно взята позиція S2 . Тоді система рівнянь зі змінними стану в загальному випадку матиме вигляд:

x(k +1) = A0x(k +1) © A1x(k) © Bu(k +1). (4)

Залежно від початкового маркування позиції Sj матриця A розбивається на дві Ao і A1 , причому:

A = A0 © A1. (5) Матриці A0 і A1 визначаються із матриці A за допомогою матриць трансформації і       . Через матриці трансформації враховуються можливі різні початкові маркуван­ня позиції Sj так:

fe, якщо i = j і положення Sj не марковане,

(TA0)ij =1 .   . (6)

0 [є - в усіх інших випадках; v ' f e, якщо j = j і положення Sj марковане,

(TA1)ij =1 .    . (7)

1 [є- в усіх інших випадках. v '

Тут e = 0, є = -да - загальноприйняті поняття в MAX-PLUS алгебрі.

З визначення матриць (6) і (7) витікає, що тільки елементи головної діагоналі матриць трансформації можуть бути відмінними від e. Сума обох матриць завжди дає одиничну матрицю.

Система рівнянь (4) може бути розв'язана відомими методами: x(k +1) = A0x(k +1) © A1x(k) © Bu(k +1) = = A2 x(k +1) © A0A1x(k) © A0Bu(k +1) © A1x(k) © Bu(k +1) =

(8)

= Anx(k +1) © [An-1 ©... © A0 © I]A1x(k) © [An-1 © ... © A0 © I]Bu(k +1).

Введемо позначення: A0 = I © A0 © A0 © ... © A0 , M = A0A1; рівняння (8) спро­щується:

x(k +1) = Mx(k) © A0Bu(k +1). (9) В цьому випадку матриця м може розглядатися як матриця динаміки системи без зовнішнього керування - динамічна характеристика вільної поведінки системи:

x(k +1) = Mx(k).

Динамічні характеристики ДБС залежать від структури і властивостей матриці м. Початково марковані позиції графа синхронізації завжди розглядаються як вершини графа G(M), які мають тільки вихідні ребра, і тому очевидно, що для кожного початково маркованого положення Sj графа синхронізації в матриці A1 є хоча б один елемент в стовпці (A1),j, відмінний від є , що говорить про те, що існує наступне положення Sk, в яке обов'язково переходить система з положення Sj. Якщо ж положення Sj не є початково маркованим, то j -й стовпець матриці (A1), j має тільки елементи є .

Поведінку в часі некерованого графа синхронізації можна дослідити за допомогою

рівняння (9), якщо задані початкові умови x(0). З урахуванням того, що циклічність

C

критичного графа G  (M) дорівнює 1, існує число K, таке що:

Vk > K : Mk = A,kQ,

звідки випливає x(k) = A,kQx(0) = A,k v .

На основі цього співвідношення можна стверджувати, що поведінка графа синхронізації для будь-яких початкових умов визначається сталим станом через деяку кількість пробігів по циклу залежно від власного вектора V матриці М.

В загальному випадку:

Vk > K:Mk = ЯрMk,

x(k + р) = Mk x(0) = Яр x(k), тобто залежно від циклічності р графа GC(M) заняття відповідних позицій графа синхрон­но повторюється після А,р одиниць часу.

Прийнято вважати, що для k < K відповідні позиції займаються в нерегулярні часові проміжки, і цей період може розглядатись як перехідний процес в системі (рис.3):

Рис. 3. Граф синхронізації мережі Петрі для абстрактного прикладу Для ілюстрації наведених тверджень розглянемо абстрактний приклад. Нехай ДБС має

шість операційних позицій S1,...,S6 , три з яких S2 , S4 , S6 - є початково маркованими. Спочатку часовий параметр затримки a покладаємо рівним 0. В цьому випадку матриця

динаміки A матиме вигляд:

A

Гє 2 є 2 є є

2

є є є є

2 єі є 7 є

7

є

З урахуванням відсутності додаткових логічних умов переключення немає необхідності в матриці B . З урахуванням (9) знаходимо A0 і M :

А *

A0

Г0 2

є

2

є є є2єє 0 4 є 6 є0єє

є406

єєє0 є2єє єі

є є є є

0

Структура графа G(M) матиме вигляд (рис.4):

Рис. 4. Граф G(M)

Критичний граф GC(M) представлений на рис. 5.

7

9

є

9

є

7

13

7 13 7

9

C

Рис. 5. Критичний граф G (M)

Середня вага критичного циклу є власне число матриці M - X = (13 + 7)/ 2 = 10 одиниць часу.

Можна перевірити достовірність цього результату і за допомогою будь-якого з алго­ритмів формального знаходження X для матриці M . Для власного числа матриці M існує

власний вектор: v = [3 6 0 6 0 3]T.

При цьому перехідний процес закінчується для будь-яких початкових умов власним станом ДБС.

Поведінку графа синхронізації ДБС можна більш наочно пояснити за допомогою графіків, представлених на рис. 6.

З рис.6 видно, що проміжок часу між k -м і (k +1) -м маркуваннями в період перехідного

процесу може бути більшим, ніж власне число X матриці М. Після закінчення перехідного режиму маркування позиції відбувається почергово через 9 і 11 одиниць часу. Середнє значення цього часового проміжку точно дорівнює власному числу матриці М.

xj(k +1) - xj(k) 14 12 10

8

6

4 2 0

S2,S4

k

1       2       3       4       5       6 7 Рис. 6. Перехідний процес в ДБС при циклічності р = 2 Якщо змінити динаміку графа синхронізації, умовно прийнявши, що параметр a

Страницы:
1  2 


Похожие статьи

В І Бесараб, Г О Воропаєва - Аналітична модель дискретно-безперервної системи з застосуванням апарата max-plus алгебри