Ю Ю Пилпани - Асимптотически-прецессионные движения сферического гиростата в случае прецессии общего вида - страница 1

Страницы:
1  2  3  4  5 

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2013, № 1

УДК 531. 38

АСИМПТОТИЧЕСКИ-ПРЕЦЕССИОННЫЕ ДВИЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОГО ГИРОСТАТА

В СЛУЧАЕ ПРЕЦЕССИИ ОБЩЕГО ВИДА

Ю.Ю. Пилпани

Получены условия существования асимтотически-прецессионньк движений сферического гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае, когда предельное движение описывается прецессией общего вида, указанной А. В. Мазневым.

Ключевые слова: гиростат, асимптотически-прецессионные движения, метод Ляпунова.

Введение. В статье [1] на основании первого метода Ляпунова [2] разработана методика изучения асимптотически-периодических движений гиростата, описываемых уравнениями Кирхгофа-Пуассона [3]. С помощью этой методики в статье [4] указан способ получения уравнений Хилла в задаче исследования асимптотически - прецессионных движений гиростата. Знаки характеристичных чисел решений уравне­ния Хилла полностью определяют достаточные условия существования асимптотических движений. К настоящему времени достаточно полно изучены: асимптотически-равномерные движения [5], которые можно отнести к особому классу асимптотически-прецессионных движений; асимптотически-прецессионные движения; асимптотически-прецессионные движения, предельными движениями кото­рых служат либо регулярные прецессии [6], либо полурегулярные прецессии первого типа относительно вертикали [7, 8].

© Рассмотрим решение А.В. Мазнева [8, стр. 283], которое описывает прецессию общего вида. При­чем для наглядности окончательных условий асимптотичности движения примем ряд дополнительных ограничений на параметры задачи. То есть полагаем, что выполнены следующие условия

= 0   (i Ф j),   Bu = В22,   Cl2 = 0,   Cu = C22,

Sl = ~a; H" °o2), 52 = -a; (зао2 - а02), /2=о, \=0, (?)

k = 2%A; -1,5 (а02Bu + а2В;; ) , 2E = 0/іі) 1 |р^з (l - 0 ) + а0 (- l)pC;; +

+(Л;- а0[1]зз) а0^з -(а02В11 + азз) } .

Тогда решение [8] можно представить в виде

v = м~1(0 -а0М<р) є0 = а0ih 0[2]зз)-а02Bll, (8)

q? = а-1/и~2 |^(^0 - 2а0cosq + С^іп<р))     , (9)

^0 Ьз + а0 11 - Сзз )1+а0^, +h [3]11 (2а0 -1)- 2азз

+

+ а0

'а0в2з -(2а2 - 1)В11[4]зз - а0а02В11

(10)

Из соотношений (7) следует, что вектор X и а коллинеарны и ортогональны круговым сечениям эллип-

22 2 22 2

соидов Вц(x + y ) + Взз z = const, Сц(x + y ) + Сзз 2 + 2x + y)z = const. Последние два равенства системы (7) определяют значения постоянных первых интегралов (2) на решении (8) - (10).

Обозначим через со* (t), v * (t) - решение (5) , (6) из (4), в котором зависимости q(t) и t//(t) находятся путем интегрирования уравнений из (8), (9).

Поставим задачу исследования движения сферического гиростата, которое при t -—да стремится к

движению, описываемому функциями о* (t), v* (t). То есть, если ввести возмущения Q и у

о = + Q, v = v*(() + у , (11) то данная задача может быть сформулирована так: определить условия на параметры задачи (1) и пара­метр а0 , при выполнении которых Q » 0,   у » 0 , когда t -—да.

Представление решения (8) - (10) посредством эллиптических функций. Запишем форму­лу (9), введя новую переменную q* =? + Y0 , где

<5ШГ0 = С2з/>/С12з + С,   cosf0 = С1з/л/С12з + С2з (12)

и параметра

к      h=-з^^КІз. (1з)

Тогда

q* = +f2sinq* . (14) Поскольку первый метод Ляпунова применим в случае, когда решение (5), (6) является периодическим по времени, то в уравнении (14) параметры (1з) должны удовлетворять условиям: /?2 < 0 , h > -f2 . Эти неравенства в силу (10), (1з) выполняются, параметр при tg00 > 0 и достаточно больших значениях величин Аз (выражение для f 2 не зависит от Аз). Обозначим

k*2 =-2fV(A -f2). (15)

2

На основании указанных выше предположений выражение (15) удовлетворяет неравенству 0 < к* < 1. Используя при интегрировании уравнения (14) метод теории эллиптических функций Якоби, получим

q** = 2ато01 - 0,5 я-,   sinq* = 2sn2 (ст^, к*)-1, (16)

cosq* = 2sn(p0t, k*)cn(p0t, k*),   q** = 2<J0dn(p0t, k*),где о"0 = 0,5-у/f1 - f 2 , k* - модуль эллиптических функций Якоби, имеет значение из (15); атод1, sn(oqt,k*), cn(<7()t,k*), dn(oqt,k*) - эллиптические функции. Подставим ф из системы (16) в выражение для у/ из (8)

ц/ = (є0 - 2a0jU<J0 dn((T0t, k*)) / p. (17) Таким образом решение (5), (6) приведено к периодическому решению

V1 = а0 sin (ф* - 70 )   V2 = а0 cos(q* - 70 )   V = а0 , Щ = a0Vsin (ф*-70 ),   (02 = а'0у cos(q* - 70 ),   Щ + а0У, где параметр 70 выражается по формулам (12), функции q*(t), q*(t), \j/(t) определяются соотноше­ниями из (16), (17). Период решения (18) равен значению

(18)

T

2   г dq*

^0 0 ф - k*2sin2 ф*

(19)

Уравнения в вариациях. Подставим выражения (11) в уравнения (1)

Q = /г-1 Т5 х Q + Т4 х у + (о* + Q) х By + (v * + у) х Су

у = (v* + у) х Q - со* х у. Первый метод Ляпунова основан на уравнениях в вариациях, вытекающих из (20)

/г-1 т5 х Q + Т4 х у + со* х Ву + v Су

Страницы:
1  2  3  4  5 


Похожие статьи

Ю Ю Пилпани - Асимптотически-прецессионные движения сферического гиростата в случае прецессии общего вида