М Н Шеремета - Асимптотическое поведение функций типа миттаг—леффлера и их приложение - страница 1

Страницы:
1  2  3  4 

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Выпуск 11 1970

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТИПА МИТТАГ—ЛЕФФЛЕРА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ. ii

М. Н. Шеремета

Настоящая статья является непосредственным продолжением работы [1].

§ 3. Основная теорема

Iе. Исследование асимптотического поведения интегралов (х). Опре­делим асимптотику интеграла

при условии, что

М<^-8 (3.2)

где 8 > 0 — произвольно малое число. Так как

V

V2 + l S

Г (1 + z« (г)) j

где і?! > 0 — некоторая постоянная величина (это легко показать, как и при доказательстве леммы 2), то мы можем записать

Еа (х) = ехр {со (v) (| In ш (v) | + ln4 v) О (j^)} + j' r(i+t,(2)) (3-3)

Положим г = рег'9 и обозначим

—ІпГ(I 4-го)(г)) lnx = /г(г, х). (3.4)

Тогда интеграл, стоящий в правой части (3.3), можно представить следую­щим образом:

'J2

£f (х) = J ехр {/г (г, х)} dz. (3.5)

[Асимптотику интеграла £І0) (х) будем искать методом перевала. Точками [перевала (см. [2, стр. 44]) будем называть точки, для которых

/гг'(г, х) = 0. (3.6)

Мы найдем теперь точку перевала г = z% (х), лежащую в области D4, ,г, т|=К<| z\< va> 181 < u — т)}, 0 < ц < . Прежде всего отметим, что если 2 = ре/6 6 Д.,, v2, г(, то

ш (2) =w (р)+0 (штЬ) =w (v) +'° (штУ =ffl <v>+0 Ш

Далее, докажем, что уравнение (3.6) в области Д,„ ,г, ^ имеет решение, причем единственное. Для этого обозначим

f (2, х) ~ h'z{z, х), {г, х) = In х со (v) In (гсо (v)),

/2(2, х) = /(2, X) —/х(2, X).

Как и при доказательстве леммы 1, получаем, что в области D4t4i4 и на ее границе Г,,, Vj, rj выполняются следующие соотношения:

Поэтому ввиду того, что co(v) = 0(l), ^фу = 0(1), на Г,„ ,2, п выполняется

|/2(2, Х)[ =0(1) ПрИ Г-^ со.

Далее, если | 8 j < it ц, to

fi (Ч<?\ х) = Ыг—<а (v) In (v,«) (v)) -f г (<p со (v) 6), и ввиду равенства (2) и (1.3) получаем

I fx (V6, х) I = I со (v) ln4 v (1 + о (1)) + і (Ф - со (v) 9) I > ^ ln4..

Аналогично при | 0 | <; тг -q выполняется | ft (v2e*'e, х) | > ^-j^ ln4 v. Если же vx < р < v2, то

(ре'(!М)>, *) = In л — co(v) ln(pco(v)) -f г (ф uco (v) + tjco (v)), и ввиду неравенства (3.2) выполняется

ІФ i«o(v) + 7]w(v)| >^l' + 8.

Поэтому jfi(pe/(i:-i', х) > 4-о, если vi < Р < V Аналогично при vx < < р < v2 выполняется | f1 (ре~'<-~~т>\ х) | > 4- 8. Значит, на контуре Г»,, is, п ПРИ достаточно больших г ввиду условия 4) выполняется

\ГЛг,х)\ >|/2(2,х)|. (3.9)

Поэтому по теореме Руше функция f(z, x) = h'z(z, x) = f1{z, x) + f2(z, x) имеет столько нулей в области D4i ,21 сколько функция fx (2, х), а так как функция f1 (г, х) имеет один нуль в области DVl, ,2, ,,, то уравнение (3.6)имеет единственное решение. Приравняв f(z, х) нулю, из равенства (3.7) получаем, что точка перевала г = z% (х) удовлетворяет следующему соотно­шению:

_і__

z* {х) = рле** =-!-- / (v)+° ') -

Так как из равенства (1.3) следует, что

і_ ■

j_ - оо+о (ЇЇГ7І—)     J_ J^ O (j^) _ 1 + 0(1)

«(v) co(v)'       Є —    <o(v) Г

TO

^/'n3v)       ,   , 1

P* =

(3.10)

(v,e° lln2 vj = 1 + 0(1) /40 („ = v (J + 0

, , , „,    In, ->   \ 01 (v)

0) (v) -f 0

[In ч Іщ v ,

и поэтому при достаточно больших г выполняется чх < р^ < v2;

9*=^+(M(v)r2°(I^)- <ЗЛ1)

В дальнейшем вг.іесто z* (х) будем писать z^.

Проведем через начало координат и точку г# прямую, которая пересе­чет окружности C1 = {|z| = и C2 = {|z| = v2] в точках zx и z2, и обо­значим через ji меньшую часть окружности Си лежащую между точками vt и г1; через т2 меньшую часть окружности С2, лежащую между v2 и г2, и через Г отрезок, соединяющий точки zt и z2. Тогда, если считать на­правление интегрирования вдоль дуг у/, / = 1, 2, таким, что область, огра­ниченная этими дугами и отрезками [v^ v2] и Г, находится слева, то по теореме Коши

£І0) (х) = j ехр [h (г, х)} dz j ехр {h (z, х)} dz j ехр {/г (z, х)} dz. (3.12)

Г 7l Ї2

Перейдем к оценке интегралов, стоящих в правой части (3.12). Так как Iu = j' ехр {h (z, х)} dz = j ехр {—In Г (1 + гш (z)) + 2 In x] dz =

її Ті

= [ exp {—In Г (1 + Vlert© (v^'9)) -f vxert (In r + up)} ti КС9),

то, учитывая (1.3) и соотношение со Кег'9) = со (у) + О (ln N '[п  ). получаем

^2

А» I   <  У1 j ЄХР Vl C0S 9 (Ш (V)   + 0 і

v In v ln2 v

0

In К со (v) -4>

+ 0 (b&Jt))} - 1 + О (йа)1 + , sin . (.. (,) + О И» +

+    lnr cos 6 — фУ^Іпв? cf6 <

< ехр {со (v{ О (чг)} ^ ехр{Nxcos 8 [со (v) In Kco (v) \nr]\d6 =

0

Ів.І .

= ЄХР [co (v) О Ю}  j" explViCOSO 0

-co(v) ln(vco(v)) + 0(ln2. = ехр {со (n) 0 (v,)} j' ехр cos 6}■ d6 =

0

= exp{mW0(^) + 0(^)j.

со (v) In (vco (v)) Jn4 V-1  1 1 d8 =

(3.13)

Аналогично

! Л, I =  ] exP [h(z, x)} dz \ <

ln3 v ІПо

In (v2 (со (v) +

j" ехр{->2созб(со(,) + о(г^

0

0 (вЙЫ)) - ' + О       +   *.»(. M + 0 (j^)), +

-j- v2 cos 8 In /- v2 ф sin 81 d9 <

< ехр {со (v) О (v2)} j exp {—v2 cos 8co (v) In -^j dS = 0

Страницы:
1  2  3  4 


Похожие статьи

М Н Шеремета - Асимптотическое поведение функций типа миттаг—леффлера и их приложение

М Н Шеремета - О скорости сходимости частных сум