Г В Завізіон, І Г Ключник - Асимптотичний метод дослідження коливної системи з імпульсами - страница 1
ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2011, № 2
УДК 517.928
АСИМПТОТИЧНИЙ МЕТОД ДОСЛІДЖЕННЯ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ З ІМПУЛЬСАМИ
Г. В. Завізіон, І. Г. Ключник
Кіровоградський державний педагогічний університет ім. Володимира Винниченка, м. Кіровоград
Пропонується асимптотичний метод дослідження коливних систем диференціальних рівнянь. Ключові слова: асимптотичний метод, коливна система, імпульс, система диференціальних рівнянь.
Вступ. В статті [1] пропонується асимптотичний метод інтегрування m -частотної коливної системи, а також встановлена математична відповідність між положенням рівноваги амплітудних усереднених рівнянь коливної системи і інваріантними торами. В роботах [2, 3] доведено, що положення рівноваги усередненого рівняння для імпульсного диференціального рівняння другого порядку викликає існування інваріантної множини.
В даній статті розглядається m -частотна коливна система диференціальних рівнянь з імпульсами на поверхні. Пропонується асимптотичний метод дослідження і виведено формули для визначення коефіцієнтів розвинення з імпульсних умов усередненого рівняння. Встановлена асимптотична властивість.
Асимптотичний метод дослідження. Нехай задана поверхня у вигляді
f (x) = (r,arctgBB++Hx + nl) - 2nk = 0, k є Z, l є Zm,
B+x
(1)
де
/ B +HX m , B+HjX; п2и r.2
(r, arctg —+— + nl) = 2_r ri (arctg 1 11 + nlt), x є R , xi є R ,
B x r=1 Bi xi
r = (r1 -rm \ l = (l1---lm X ri є R.
Тут B, B +, H визначені в [1].
Розглянемо систему рівнянь, яка зовні поверхні f (x) = 0 задана рівнянням
dx dt
= AHx + sX (x,s),
а на поверхні f( x) = 0 задовольняє імпульсні умови
Ax I f (x)=0 = (AHx + sI (x,s)) I f (x)^
де мають місце розвинення (2) (3)
QO QO
X (x, s) = £ sv-1Xv (x), I (x, s) = £ sv-1Iv (x).
v=1 v=1 Замість евклідових координат x є R2n введемо полярні координати ((, h) є Fn х R +n,
x = Ф(ф) BH = (H sin ф + E cos ф) Bh = diag ((H1 sin ф +
+E cos ф )Bh1,(Hn sin Фп + E cos Фп )Bhn),
де R + = (0;+co), R+n = (R+ )n; Fn - n -вимірний тор.
За допомогою формул (4) поверхня f (x) = 0 прийме вигляд поклавши (4)
m
(г,Ф) = 2nk, k є Z, (r,() = ^ rj(pj.
j=1
Згідно [1] система рівнянь (2), (3) в полярній системі координат прийме вигляд
— = sB+Ф(-() X (Ф(() BH ,s), d^ = X + sB +HФ(-() X (Ф(() Bh,s)/h dt dt
Ah|(
r,q>)=2nk •
З доведення теореми 20.3 із [4] випливає наступна лема.
(5)
© a,- < 0, rj > 0, (со,r) > 0, j = 1,m,
dy = AHy + sY1(y) +... + spYp(y) + t Ф ti, (8)
Лема 1. Нехай виконуються умови:
lj m
в яких ^rj = p - ціле число; a = -B+HФ(-ф)X(Ф(ф)Bh,0)/ h = ^ ...am). Нехай tk (ф) - моменти j=1
часу, в яких траєкторія (р=% (ф) перетинає поверхню (г,ф) = 2nk, тобто tk (ф) є розв'язками рівняння
(r,(tk (ф)) = 2nk. (6) Тоді функції tk (ф) задовольняють наступні умови:
1) при кожному цілому k існує єдиний розв' язок рівняння (6);
2) для функцій tk (ф) виконується співвідношення tk (ф) = tk-p (ф) + 2п і справедлива нерівність
tk+1(ф) - tk (ф) 0. Асимптотичний розв'язок системи (2) шукаємо у вигляді
x = y + su1(y) + ... + spUp (y) + (7)
в якому y = y(t, s) є розв'язком усередненого рівняння
dy
dt
де u j, (j = 1,2... - розв'язок гомологічного рівняння
I^j = Xj (y) - Yj (y), (9)
який задовольняє умову
Suj (y) = 0. (10)
д
Тут L =— (AHy) -AH - гомологічний оператор, S - усереднюючий оператор; функції Yj (y) і фор-
dy
мули обернення оператора Z0 визначаються в [1]. Імпульсні умови для усередненого рівняння (8) шукаємо у вигляді
Ay 1 f (x)=0 = (AHy + sI( y, s)) 1 f (x)=0
де I ( y,s) має розвинення
OO
~(y,s) = ^sV-1~v (y). v=1
Виходячи з імпульсних умов (11) усередненого рівняння (8), виведемо формули для визначення коефіцієнтів Iv (y) розвинення I (y, s). З (7) знайдемо, що
O
Ax 1 f (x)=0 = (Ay + Auv(y)) 1 f ( x)=0^ (12)
v=1
Підставляючи (12), (7) в (5) на поверхні f (x) = 0 , отримаємо рівність
O 00 00
Ay + Auv (y) = AH (y + Y,sVuv (y)) + sI (y + ^sVuv (y),s). (13)
v=1v=1v=1
0
Розвинемо sI(y + ^^svuv(y),s) за степенями параметра s:
v=1
00
sI(y+
v=1 v=1
Перетворивши вираз
00
sI (y + (y),s) = ^svI (v)(y). (14)
00
Ay + ^svAuv(y) = (E + AuAM)Ay
Ay
v=1 v=1і підставивши (14) в (13) маємо
0
(E + Ysv~~vyy' )ay = AHy + \svAHuv (y) +
OO д / ч OO CO
AuA(y))Ay = AHy + YssV*Huy (y) + ^svI(v)(y). (15)
v=1 ay v=1 v v=1
Підставивши (11) в (15), на поверхні f (x) = 0 маємо рівняння
Au (y) AHy-svAHux(y) = I(1)(y)-~(у), (16)
Ay
^AHy - AHuv(y) = I(v)(y) - ~v-s(y) - ~v(y).
Скориставшись тим, що
y (ti + 0) = y (ti) + ay, auv (y) = uv (y (ti + 0)) - uv (y (ti)) = uv (y (tf) + ay) - uv (y (tf)) і перейшовши в (16) до границі при ay — 0, маємо, що на поверхні f (x) = 0 вірними є рівності
Похожие статьи
Г В Завізіон, І Г Ключник - Асимптотичний метод дослідження коливної системи з імпульсами
Г В Завізіон, І Г Ключник - Задача коші нелінійної системи диференціальних рівнянь із запізненням