Г В Завізіон, І Г Ключник - Асимптотичний метод дослідження коливної системи з імпульсами - страница 1

Страницы:
1  2  3 

ВІСНИК ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ, Сер. А: Природничі науки, 2011, № 2

УДК 517.928

АСИМПТОТИЧНИЙ МЕТОД ДОСЛІДЖЕННЯ КОЛИВНОЇ СИСТЕМИ З ІМПУЛЬСАМИ

Г. В. Завізіон, І. Г. Ключник

Кіровоградський державний педагогічний університет ім. Володимира Винниченка, м. Кіровоград

Пропонується асимптотичний метод дослідження коливних систем диференціальних рівнянь. Ключові слова: асимптотичний метод, коливна система, імпульс, система диференціальних рівнянь.

Вступ. В статті [1] пропонується асимптотичний метод інтегрування m -частотної коливної сис­теми, а також встановлена математична відповідність між положенням рівноваги амплітудних усередне­них рівнянь коливної системи і інваріантними торами. В роботах [2, 3] доведено, що положення рівнова­ги усередненого рівняння для імпульсного диференціального рівняння другого порядку викликає існу­вання інваріантної множини.

В даній статті розглядається m -частотна коливна система диференціальних рівнянь з імпульсами на поверхні. Пропонується асимптотичний метод дослідження і виведено формули для визначення кое­фіцієнтів розвинення з імпульсних умов усередненого рівняння. Встановлена асимптотична властивість.

Асимптотичний метод дослідження. Нехай задана поверхня у вигляді

f (x) = (r,arctgBB++Hx + nl) - 2nk = 0, k є Z, l є Zm,

B+x

(1)

де

/ B +HX m     , B+HjX; п2и r.2

(r, arctg —+— + nl) = 2_r ri (arctg  1    11 + nlt), x є R   , xi є R ,

B x r=1 Bi xi

r = (r1 -rm \ l = (l1---lm X ri є R.

Тут B, B +, H визначені в [1].

Розглянемо систему рівнянь, яка зовні поверхні f (x) = 0 задана рівнянням

dx dt

= AHx + sX (x,s),

а на поверхні f( x) = 0 задовольняє імпульсні умови

Ax I f (x)=0 = (AHx + sI (x,s)) I f (x)^

де мають місце розвинення (2) (3)

QO QO

X (x, s) = £ sv-1Xv (x), I (x, s) = £ sv-1Iv (x).

v=1 v=1 Замість евклідових координат x є R2n введемо полярні координати ((, h) є Fn х R +n,

x = Ф(ф) BH = (H sin ф + E cos ф) Bh = diag ((H1 sin ф +

+E cos ф )Bh1,(Hn sin Фп + E cos Фп )Bhn),

де R + = (0;+co), R+n = (R+ )n; Fn - n -вимірний тор.

За допомогою формул (4) поверхня f (x) = 0 прийме вигляд поклавши (4)

m

(г,Ф) = 2nk, k є Z, (r,() = ^ rj(pj.

j=1

Згідно [1] система рівнянь (2), (3) в полярній системі координат прийме вигляд

= sB+Ф(-() X (Ф(() BH ,s), d^ = X + sB +HФ(-() X (Ф(() Bh,s)/h dt dt

Ah|(

r,q>)=2nk

З доведення теореми 20.3 із [4] випливає наступна лема.

(5)

© a,- < 0, rj > 0, (со,r) > 0, j = 1,m,

dy = AHy + sY1(y) +... + spYp(y) +     t Ф ti, (8)

Лема 1. Нехай виконуються умови:

lj m

в яких ^rj = p - ціле число; a = -B+HФ(-ф)X(Ф(ф)Bh,0)/ h = ^ ...am). Нехай tk (ф) - моменти j=1

часу, в яких траєкторія (р=% (ф) перетинає поверхню (г,ф) = 2nk, тобто tk (ф) є розв'язками рівняння

(r,(tk (ф)) = 2nk. (6) Тоді функції tk (ф) задовольняють наступні умови:

1) при кожному цілому k існує єдиний розв' язок рівняння (6);

2) для функцій tk (ф) виконується співвідношення tk (ф) = tk-p (ф) + 2п і справедлива нерівність

tk+1(ф) - tk (ф) 0. Асимптотичний розв'язок системи (2) шукаємо у вигляді

x = y + su1(y) + ... + spUp (y) + (7)

в якому y = y(t, s) є розв'язком усередненого рівняння

dy

dt

де u j, (j = 1,2... - розв'язок гомологічного рівняння

I^j = Xj (y) - Yj (y), (9)

який задовольняє умову

Suj (y) = 0. (10)

д

Тут L = (AHy) -AH - гомологічний оператор, S - усереднюючий оператор; функції Yj (y) і фор-

dy

мули обернення оператора Z0 визначаються в [1]. Імпульсні умови для усередненого рівняння (8) шука­ємо у вигляді

Ay 1 f (x)=0 = (AHy + sI( y, s)) 1 f (x)=0

де I ( y,s) має розвинення

OO

~(y,s) = ^sV-1~v (y). v=1

Виходячи з імпульсних умов (11) усередненого рівняння (8), виведемо формули для визначення коефіці­єнтів Iv (y) розвинення I (y, s). З (7) знайдемо, що

O

Ax 1 f (x)=0 = (Ay +        Auv(y)) 1 f ( x)=0^ (12)

v=1

Підставляючи (12), (7) в (5) на поверхні f (x) = 0 , отримаємо рівність

O 00 00

Ay +       Auv (y) = AH (y + Y,sVuv (y)) + sI (y + ^sVuv (y),s). (13)

v=1v=1v=1

0

Розвинемо sI(y + ^^svuv(y),s) за степенями параметра s:

v=1

00

sI(y+

v=1 v=1

Перетворивши вираз

00

sI (y + (y),s) = ^svI (v)(y). (14)

00

Ay + ^svAuv(y) = (E + AuAM)Ay

Ay

v=1 v=1і підставивши (14) в (13) маємо

0

(E + Ysv~~vyy' )ay = AHy + \svAHuv (y) +

OO д        /    ч OO CO

AuA(y))Ay = AHy + YssV*Huy (y) + ^svI(v)(y). (15)

v=1   ay v=1    v v=1

Підставивши (11) в (15), на поверхні f (x) = 0 маємо рівняння

Au (y) AHy-svAHux(y) = I(1)(y)-~(у), (16)

Ay

^AHy - AHuv(y) = I(v)(y) - ~v-s(y) - ~v(y).

Скориставшись тим, що

y (ti + 0) = y (ti) + ay, auv (y) = uv (y (ti + 0)) - uv (y (ti)) = uv (y (tf) + ay) - uv (y (tf)) і перейшовши в (16) до границі при ay 0, маємо, що на поверхні f (x) = 0 вірними є рівності

Страницы:
1  2  3 


Похожие статьи

Г В Завізіон, І Г Ключник - Асимптотичний метод дослідження коливної системи з імпульсами

Г В Завізіон, І Г Ключник - Задача коші нелінійної системи диференціальних рівнянь із запізненням