B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period - страница 39

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 

. -1

Іа0

■ + ­

(6)

Уравнение (5) теплового баланса на фронте кристаллизации используется для определения є (г). Из уравнений (1) - (2) и граничных условий (3) - (6) найдем функции Т1(г, ф, г) и є (г).Уравнение (1) перепишем в следующем виде

дТ1 + v. дТ- = а!1(т ^ 1 д2Т1

дt     т дт     11 т дт І   дт 1 ' "2 а"2

дф2

а1 =

PlCv 1

Найдем точное решение по Т , полагая дТ1 = 0 д 271

дt      ' дф2 0, V = 0 . Учитывая

(7)

(8)

введенные упрощения, получим

1 дТ   д 271

--+^

т дт дт

0.

(9)

1

где

Решением является функция: Т1 = С11п г + С2

Используя граничные условия: Т1 = Тн при Г =        и (3), найдем константы С1 и С2:т - т

с _   н 1К

*~ їй^

с2 _

•ф гф

Таким образом, точное решение по г уравнения (9) имеет вид:

їй ^.

(10)

Далее приближенное решение по ф уравнения (7) ищем вариационным методом, постепенно усложняя задачу. Вначале

найдем зависимость по   для стационарного случая дТ

0 . Получим

г дг

_ а.

1 д ( дТ Л    1 д2Т

г

дф2

(11)

571        д 2Т1        д 2Т1 _

Введем новые обозначения производных -= , -— = 7    , -— = 7    , тогда уравнение (11) примет вид

дГ        дГ2 дф2 фф

V 1 -^-гТ - Т - гТ Т  _ 0

г г гг фф

а г

(12)

Чтобы найти решение (12) поставленной математической задачи воспользуемся вариационным принципом локального потенциала. Он позволяет представить дифференциальное уравнение в виде интеграла, представляющего собой какой-то локальный физический потенциал, вариация от которого по неизвестным функциям дает исходное дифференциальное уравнение. Пределы интегрирования определяются границами рассматриваемой области, а также начальными и конечными условиями для нестационарных процессов. Поиск сложной функции, зависящей от нескольких переменных, осуществляется методом частичного интегрирования по одной переменной с нахождением неизвестной зависимости по другой переменной.

Запишем функционал, соответствующий уравнению (12) в виде:

где ТГ

К2 фф гф 0

0 дТ0

V 0

2^-гТг Т+гТ; +-

а.

1   21

(13)

дг

, а индекс ноль при

ТГ обозначает неварьируемую производную от температуры. Проверим, что вариация от Ь

по Т функционала (13) дает уравнение (12). Для этого запишем уравнение Эйлера

дЬ   д дЬ    д дЬ

дТ   дг дТг   дф дТ

(14)

Вычислим соответствующие производные:

дЬ

дТ     а,    г ' дТг

2гТг

дЬ

"1

и подставим их в (14).Сокращая на 2, получим:

Тф _^дЬ_ _      + гТ ) _ 2Тффф

г гг

г   дг дТг дф дТ г

V     0 1

-^гТ -Т -гТ — Т  = 0.

Г Г ГГ фф

а1 г

Опуская нулевой индекс при   ТГ ,  получим (12).  Значит функционал (13) соответствует уравнению (12) и функция,

минимизирующая его, будет наилучшим приближением решения уравнения (12). Функцию, минимизирующую функционал (13), ищем в виде

Т _ Т(г )/(ф)

їй ^

I (ф).

(15)

г

г

Ф

Найдем производные

T  -T T -T

r ln —

r ln —

f 0(ф), тф

ф ф Подставив полученные производные в (11) и проинтегрировав по Г , получим

l

фФ

{kf 0 w (ф)+2(ф)+с, (f '(ф))2 і

ф ,

ln Rl

(16)

4

2Vr TH -T

ai ln2

(ThR2 - Тк )ln- (R2 - Гф )(Тн - Тк )

в, =

н - Тк )2

1   ((Тн   Тк)_(іп2 *2 +1п*2іпГф +ln2 Тф ) + к ln*2 - Тн піГфХТн ln*2 - Тк ln^)l

3

Функцию У (ф) выбираем так, чтобы интеграл (16) был минимальным, что соответствует выполнению уравнения Эйлера

дЬ      д дЬ

д/ ф)   дфд/\<р)   ° .

Возьмем производные от (16) и подставим в уравнение (17). В результате получим

(17)

f \ф) - Kif (ф) = 0,

(18)

r

Ф

0

где

r

Ф

r

r

Ф

Ф

2

r

Ф

где

к _ A1 + 2B1

Л1 _-. Решением (18) будет

2C1

/ф) _ Qch(Кф) + С2 sh(Кф). (19)

дТ

Найдем константы Су и C2 , используя следующие граничные условия: Т _ Тк, ф _ Фф при Г _ Гф и - _ ° при

дф

ф_ °: С1 _-1-, С2 _ °.

сККфф ) Тогда из уравнения (19) имеем:

ch( К1фф)

Итак, решением уравнения (12) по Г и по ф является функция Т1(г,ф)

(TH - ТК )ln Т + ТК ln R2 - TH ln ТФ   ^^l^ (21)

1п ^2 К1фФ )

Поиск    полного нестационарного

решения уравнения теплопроводности в жидкой фазе осуществляется аналогично нахождению зависимости по . Функционал, соответствующий уравнению (8), имеет вид:

Ь    Ф   Г Г^гТг °Т + 7 °Т + гТг 2 + - Тф \гс1фсИ. (22)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 


Похожие статьи

B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period