B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period - страница 46

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 

Предполагается, что прибор может выйти из строя только находясь в рабочем состоянии. Обслуживание и восстановление оборудования проводят две бригады. Первая бригада является ремонтной и занимается только ремонтом вышедшего из строя оборудования. Вторая бригада, независимо от первой, проводит только профилактическое обслуживание. При этом профилактика проводится сразу после того, как система освобождается от требований. Предполагаем, что длительность

профилактики и восстановления имеют показательные законы распределения соответственно с параметрами и . Если в момент окончания ремонта оборудования в системе нет требований, то прибор переходит в состояние профилактики.

Для решения указанной задачи предположим, что производственно-экономическая система описывается одноканальной

системой массового обслуживания разомкнутого типа с простейшим входным потоком интенсивности > 0 . Длительность производственного цикла на изготовление каждой единицы изделий (в дальнейшем будем называть его временем обработки

изделия или временем обслуживания   TJ) имеет показательное распределение с параметром Обрабатывающее

устройство обладает особенностью, состоящей в том, что в свободном, нерабочем состоянии, т.е. когда на предприятии нет заказов, оборудование немедленно отключается. При поступлении новых заказов оно сначала производит переналадку на выпуск новой партии изделий, а затем начинает выполнять поступившие заказы. Длительность переналадки имеет показательный закон

распределения с параметром V > 0 . © Медведева М.И., 2О11

Предположим также, что оборудование может выходить из строя и восстанавливаться, причем выход из строя возможен только во время обработки деталей. Рассматривается случай, когда система после выхода оборудования из строя и восстановления функционирует следующим образом: если оборудование выходит из строя во время работы, то изделие, находящееся на обработке, теряется. Если после восстановления прибора в системе нет требований, то прибор переходит в состояние профилактического

ремонта. Будем считать, что поток отказов обрабатывающего устройства - пуассоновский, с параметром % ^ 0 , а время

ремонта или время восстановления прибора имеет показательный закон распределения с параметром        ^ 0 .

Наряду с ремонтом оборудования, выполняемым ремонтной бригадой, есть еще одна бригада, которая независимо от первой бригады, проводит профилактику оборудования, которая начинается сразу же после того, как система освобождается от

¥л

требований, причем длительность профилактики имеет показательный закон распределения с параметром     1 .

Решение задачи. Для нахождения характеристик системы - распределения совместных вероятностей того, что оборудование находится в определенном состоянии (переналадка, профилактика, восстановление или работа) и в системе имеется

определенное количество требований, рассмотрим стационарный случайный процесс     (X) , заданный на множестве состояний

Е = {(0,к),(1,к),(2,к), к>0; (0*,к),(2,0*,к), к>г} , причем состояния интерпретируются как:

(0, к) - прибор вышел из строя и восстанавливается, в системе к > 0 требований;

(1, 0) - прибор в состоянии свободен - не готов;

(1, к) - прибор работает и в системе к > 1 требований;

(0 , к) - прибор находится в состоянии переналадки и в системе к >1 требования;

(2, 0 , к) - одновременно проводятся профилактика и переналадка оборудования, и в системе находится к >1 требований;

(2, к) - проводится только профилактика оборудования и в системе находится к > 0 требований. Пусть:

Рк =Р{£(()=(/,к)},,=0,1,2, к20,^*к =?{<((<) = (0*,к)},  к>1;

Р20* к =РИ' ) = (2,0*, к)} ,   к >1

стационарные вероятности состояний рассматриваемого процесса X) . Тогда размеченный граф рассматриваемой системы имеет вид, представленный на рис. 1.

(1,1)

-<—

(1,2 )

■<:-

(1,3 )

У2

X.

У/2

Ти

( 2,1)

 

( 2,2 )

 

( 2,3)

и

X.

Ти

(2,0)

( 2,0*,1)

Л

( 2,0*,2 )

Л

( 2,0*,3)

 

1

 

 

і

 

 

 

 

 

 

и

ГУ

(1,0 )

 

-4

(0*,2)

(о*,з)

и

4

X

и

(1,1

-<

(1,2

-

(1,3 )

X.

 

(0,0)

4

(0,1)

X

( 0,2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. Граф состояний

(1)

Для состояний, представленных на размеченном графе (см. рис. l), составляем бесконечные системы алгебраических уравнений следующего вида:

-(Л+и)    +APio +WiP2,l = 0

~(Л + и) Po*2 +APo*i +^iP2o*2 = 0, -(Л + и)      к +ло* к + ^20* к = 0       k > 3.

-(А + Щ) Poo + xP = 0,

"(А+щ) Po к +^Po,k-i +xP,k+i = 0,   к >1.

-(А + ц+х) Pi 1 + vP0*1 +^iP,i P01 +MP = 0, -(А+ц+х)Pik + vPo*к P2к +ViP,k +MP,k+i +AP,k-i = 0, к>2.

(2)

(3)

"(А + Щ)        +UPii +Щ2 P00 = 0, " + Щі) P21 + vP20*1 = 0,

-(А+щ)    + vP2o* к +AP2,k-i = 0,   к > 2.

(4)

-(А+V+¥х) р20*1 р20 = 0, -(А+VЛР * Р * = 0,

V 20 2 20 1 '

(А+VЛР *, Р *,  = 0,   к>3.

V Т1 )   20 к 20 , к-1 '

Для решения систем уравнений (1)-(5) введем следующие производящие функции:

«0 (2) = £Р1к1к , а* (2) = £   к , « (2) = £ Р^1к , а2 (2) = £ Р2к , а2 (2) = £ /

(5)

к>0

к>1

к>1

к>0

к >1

Система уравнений (1) позволяет найти уравнение для производящих функций      (2) и а* (2) , а именно:

(р+д-р2) а*(2)- Дат*(2) = р10,

р=А, д=л, & =а.

Из системы (2) находим уравнение для производящих функций «0 ( 2) и «1 ( 2) :

2 (р+А-р2) а0 (2)-га1 (2)=0,

(б)

(7)

где 2

Система (3) дает уравнение, связывающее производящие функции «0 (2) , «1 (2) ,      (2) и «2 (2) , вида

(pz2 - z(1 + p + у) + z) + ^ (z) + Д z«2(z) + Д Z«0(Z) = Z(A P20 + P11 + AP00)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 


Похожие статьи

B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period