B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period - страница 48

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 

обслуживания одним транспортным средством. Будем предполагать П = lh . Вторая и последующие за ней заявки требуют (или

используют) для своего обслуживания l транспортных средств. Заказ, поступивший в систему и заставший все приборы занятыми, получает отказ.

Состояния описанной системы совпадают с состояниями системы, описанной в. Размеченный граф состояний данной системы имеет вид процесса гибели и размножения

Пусть E,(t) - случайный процесс, характеризующий число заказов, поступивших в систему за время t , который может находиться в состояниях iS'o , S1 ,..., Sh , причем P |^(t) = Sk | = Pfc (t), i = 0,1,2,..., h . Для данного процесса <^(t)    существует  стационарное   распределение   вероятностей,   т.е.   существуют   lim P (t) = P,  k = 0,1,2,..., h .

t —CO

Стационарные вероятности удовлетворяют следующей системе алгебраических уравнений:

'-+ l/P = 0,

-((N - 1 + l/jP + ^P0 + 2l/P2 = 0, <:

- + (h -1) l/U) Ph-1 + 2ЯPh-2 + hl/Ph = 0,

^/iPh +(N - h +1) ЯPh-1 = 0. (1)

Решение системы (1) может быть получено как решение процесса гибели и размножения, а именно:

P = —11-P = nP P P =-- P =^--PP = C PP      P = Ch PhP

іц 21ц 2

или в общем виде

© Мизевич Р.С., 2О11

(2)

Отметим, что система (1) описывает некоторый процесс гибели и размножения. Вероятность Р0 того, что система

Ь

свободна, можно определить из условия нормировки £ ' Р 1. Если в условие нормировки подставить значения вероятностей

г—0

Р , определяемых формулами (2), то вероятность Р0 определяется соотношением: Г   ь у1

Р0 =11 скы р)

Р

V к=0 У

(3)

Найденные вероятностные состояния позволяют определить основные характеристики системы, а именно:

1) если заявка, пришедшая в систему, застает все приборы занятыми, то она получает отказ, вероятность которого равна

готк      ГЬК~'ЛУ0 .

(4)

Зная вероятность (4), в принципе уже можно найти оптимальное число приборов (транспортных средств). Для этого можно использовать достаточно простое условие, ограничивающее величину полученной вероятности отказа, т.е. из условия

Р

отк I

(5)

Найти такое значение Ь , при котором вероятность отказа Ротк будет меньше заданной величины & , можно или методом перебора, или другими численными методами (например, методом деления отрезка пополам). Если величина Ьопт

найдена, то можно достаточно просто определить величину Попт : Попт = I' Ьопт .

2) Наиболее важной характеристикой системы массового обслуживания является абсолютная пропускная способность, равная числу заказов, обслуженных системой в единицу времени. Так как в рассматриваемой модели интенсивность входного

потока есть величина переменная, то для вычисления А0 получим новое соотношение следующего вида:

А0 (ЫАР0 - 1 + А(N - 2)Р2 +... + А(N - Ь +1)РЬ-1)

А(/УР +^ - 1 +^ - 22 +... + ^ - Ь + 1ь-1)

АN (1 - Рь )-А£ кРк.

к1

(6)

3) Теперь можно найти среднее число занятых транспортных средств из общего их оптимального числа:

ЬЬ

к = £ кїРк = I ^ С р)Р{)

- 0 ■

к=0 к=0

(7)

Из формулы (7) можно определить вероятность занятости одного отдельно взятого транспортного средства:

Р I, п

(8)

при этом вероятность того, что заняты все транспортные средства равна

(9)

Замечание. Подставим в формулу (6) выражение (7), определяющее среднее значения к занятых транспортных средств. В результате будет получено следующее соотношение

И-! к

X кРк = к - ИР,.

к=1 1

Подставив последнее выражение в (6), наконец получаем выражение, определяющее 0 :

Ло =Л^-(N + h )Ph )-Лк.

в (10)

Вероятности, определяемые соотношениями (8) и (9) позволяют найти среднее время занятости транспортного средства течение времени X (например, в течение рабочего дня), т.к. величина X' Р     определяет среднее время работы отдельно

взятого транспортного средства.

Для того чтобы найти оптимальное число транспортных средств в логистической транспортной системе можно использовать и стоимостной критерий эффективности функционирования данной системы. Для этого опять введем стоимостные величины.

Пусть

С - прибыль, которую получает транспортная система при обслуживании одного заказа;

С*2 - стоимость создания (закупки) одного транспортного средства;

С*3 - расходы на эксплуатацию одного транспортного средства в единицу времени.

Тогда за время t эксплуатации данной системы она принесет прибыль равную . За время t на покупку данного

количества транспортных средств и на поддержание их в рабочем состоянии в среднем будет израсходовано ресурсов в объеме

C2 п + C3nt.

Подсчитаем доход, полученный транспортно-логистической системой за время t , он будет равен

Z1 (t, п) = Я0С^ - C2 п - C3nt. (11)

Несложно заметить, что доход, определяемый формулой (2.41) в точности совпадает с (2.18). Аналогично находим значение момента времени ^ , через которое система начинает приносить прибыль:

пС2

t0 =-2-.

Я0С1 - пС3

Тогда, очевидно, получаем первое условие рентабельности функционирования системы примет вид неравенства

Я0С1 - пС3 > 0 , или

Л. > С3

(12)

Таким образом, если выполняется условие (12), то доход, получаемый транспортно-логистической системой за время t , будет равен

Z1(t,h) = (Я0С1 -ПС3)(t-10), t > t0.

Опять вопрос нахождения максимального значения      (t, h) сводится к нахождению следующего максимума

Z2 (h) = Я0С1 - пС3 => max.

Если в последнее равенство подставить значение Я0 , определяемое равенством (2.40), то получим

12(Л) = я

, N-(М + к)Рк

С1 - ІИЄ3 => тах.

(13)

Найти максимальное значение функции ^2 (Л) , заданной соотношением (13) можно с помощью численных методов.

Целесообразно рассмотреть более общий случай, когда каждый заказ требует для своего обслуживания случайное число приборов. Закон распределения числа приборов определяется дискретной случайной величиной 7} . Для анализа

замкнутой системы массового обслуживания при заданном условии можно использовать различные методы и модели.

Рассмотрим сначала метод средней величины. Для этого вычислим математическое ожидание  М}} случайной

7} и подставим найденное значение вместо I в полученные ранее формулы.

величины

Введем обозначение

Мг)-1л

необходимых для обслуживания каждого заказа, определяются по формулам

Рк = С$Рмл, к = 0,1,2,...,Л,

Вероятности   состояний   системы   со   случайным   числом приборов,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 


Похожие статьи

B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period