B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period - страница 55

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 

этапа

Название

Границы

Дополнительная информация

1

Внедрение

[0; Xl]

+\[Ь - меньшая точка перегиба линии тренда

а

2

Рост

г; X+X, ]

Г 1; 2 ]

Ь + Ь0 - середина отрезка     ; ^ ] 2

3

Зрелость

Г   2   Л ]

Ь - точка максимума кривой ЖЦТ

а

4

Насыщение

[

Ь -    - большая точка перегиба линии тренда

а

5

Спад

^

Т - корень неравенства £   Ь   <      , где С0 - нижний

лимит объёма продажи товара (устанавливается производителем)

Обсудим теперь методику нахождения оценок параметров С1 и Ъ . Попытаемся применить метод наименьших квадратов (далее МНК) [3, гл. 3].

Приводим нелинейную модель Уі Є ' їі   • £.  к линейному виду. Для этих целей прологарифмируем обе части уравнения регрессии и введём новые обозначения

У сііг + ьт + є ,

где У, 1п(У'), Т ^ ), Є

Составим сумму квадратов отклонений

пп

Р(а, Ъ, вг) = Х ^2 =1 Я " с*, - ЪТг )2.

г=1 г=1

Согласно МНК, Р(а, Ъ, в.) —^ ш1п . Используем необходимое условие экстремума. Находим частные производные по неизвестным параметрам и приравнивая их к нулю, получим систему нормальных уравнений

г—1 г—і г—і

* Е й)+Ет 2Е (ту ).

Решая данную систему двух линейных уравнений, найдём оценки неизвестных параметров а и Ъ . Приведём пример, на конкретных данных которого можно было бы рассмотреть особенности моделирования ЖЦТ.

Предположим, что производитель бытовой химии начинает выпуск нового стирального порошка. Данные о продажах за первые 14 месяцев приведены в табл. 2.

Таблица 2.

Номер месяца

і

Объём продаж товара, млн. грн.

2               3               4 5

6

7

Объём продаж

10

15              17             20 24

26

30

Номер месяца

8

9              10              11 12

13

14

Объём продаж

35

39              50              54 61

70

73

Поставим перед собой цель - определить трендовую кривую У( = в   X   с помощью МНК. Вспомогательные расчёты поместим в табл. 3.

Таблица 3

 

1

2

3

 

13

14

 

 

10

15

17

 

70

73

У 1п( уг)

2,302585

2,70805

2,833213

 

4,248495

4,290459

Т )

0

0,693147

1,098612

 

2,564949

2,639057

2

1

4

9

 

169

196

1015

Т 2

0

0,480453

1,206949

 

6,578965

6,964624

53,1185

 

0

1,386294

3,295837

 

33,34434

36,9468

228,5697

 

2,302585

5,4161

8,49964

 

55,23044

60,06643

396,4897

ТУ

0

1,877077

3,112603

 

10,89718

11,32277

93,1645

Система нормальных уравнений имеет вид:

Г1015 а + 228,5697 Ъ = 396,4897; [228,5697 а + 53,1185- Ъ = 93,1645.

Её корни и будут оценками неизвестных параметров по МНК, а именно а = -0,1398 и Ъ = 2,3555. Т. о. линейное уравнение регрессии имеет вид у г =-0,1398-г + 2,3555.

З У   = в-0,1398 • г   г 2,3555  С й й

значит, Уг в г . Сумма квадратов отклонений для данной модели:

І(у - є-0Д398 - t'-ti23555 )2 - б75,8474.

г—1

На первый взгляд может показаться, что найденная сумма квадратов отклонений будет наименьшей. Ведь считается, что в эконометрических исследованиях МНК является лучшим.

Вывод оказался поспешным. Автор применил метод Ньютона (метод касательных) [4, с. 145] с таким же критерием оптимальности, т.е.

S(A, B) - єм>^? )2 min

Заметим, что метод Ньютона реализован в Microsoft Excel надстройкой «Поиск решения». Поэтому подробности расчётов не приводятся.

Оценки неизвестных параметров были найдены: А = -0,0824 и В = 2,0584 . Модель тренда ЖЦТ, найденная по

Г,   _   -0,0824^ г .2,0584 методу Ньютона, имеет вид Уг г . Для неё сумма квадратов отклонений равна:

X -е-0,0824^2,0584)2 = 441,4329.

=1

т.к. £ (А, В) < £ (а, Ъ) , то МНК привёл к худшим оценкам параметров, чем метод Ньютона. Почему так произошло?

Автор предположил наличие автокорреляции в остатках модели  уг =-0,1398• г + 2,3555 Т, что могло нарушить условия применения МНК. Для проверки был применён статистический критерий Дарбина-Уотсона [5]. После

вычислений остатков модели

= 7, - у г = + 0,1398 • гг - 2,3555^ Т О = 1,14), наблюдаемое значение критерия

оказалось равным

І - є-i)2

DW --г-2-Г7-- 2,2405.

i4

І  )2

По количеству наблюдений П ­

-i

количеству регрессоров

m-2, при уровне значимости

а - 0,05 найдём

вычислим 4- dL - 3,09 и 4-dU -2,45. Т.к.

табличные значения йь — 0,91 и ёи —1,55. Дополнительно

, то гипотеза о наличии автокорреляции в остатках не подтвердилась.

Более важной является другая причина. Линейное уравнение регрессии У г —-0,1398 • г + 2,3555 Т , найденное по МНК, имеет особенность. В нём отсутствует свободный член. Этот нюанс влияет на весь ход моделирования.

14

Для МНК известно, что сумма отклонений должна равняться нулю. В нашем же примере Е , Є — 3,7887. Это говорит

г—1

о том, что МНК для таких моделей применять не желательно. Метод Ньютона является более предпочтительным.

Все дальнейшие рассуждения касаются только линии тренда ЖЦТ, найденной по методу Ньютона. Построим на одном графике корреляционное поле (см. табл. 2) и сглаживающую кривую (рис. 2).

100

_   -0,0824-t ,2,0584 Рис. 2. Фактические данные и линия тренда yt - Є -1

-i

i4

2i7

Как видно, модель кривой объёма продаж достаточно хорошо аппроксимирует исходные данные. График функции имеет вид несимметричного колокола.

Для того чтобы получить прогноз длительности присутствия товара на рынке, проведём следующие вычисления.

Допустим, что производитель установил нижний лимит месячного объёма продажи стирального порошка в размере Сд = 2 млн.

-0,0824-*    ,2,0584   , 0 т _1пп

грн. Решаем неравенство  е -1 < 2   приближёнными методами. Т.о.  1д — 108  месяцев - прогноз «жизни»

данного товара. Определим границы этапов ЖЦТ, пользуясь сведениями из табл. 1.

Вычисляем абсциссы точки максимума и точек перегиба и округляем до целых значений:

В      2,0584 пе 0     А -0,0824

+ у[В  п      -4ъ лп и =---« 7; *2 =---« 42.

1        А А

Кроме того, находим

^ = 16.

2

В табл. 4 поместим основные сведения, касающиеся нашего примера.

Таблица 4

_ „-0,0824-t .2,0584 Модель y  Є І ЖЦ стирального порошка

этапа

Название

Границы (мес.)

Очечный прогноз объёма продажи (млн. грн.)

1

Внедрение

[0;7]

У(0) = 0; У(7) = 30,81817

2

Рост

[7;1б]

У(1б) = 80,4291б

3

Зрелость

[1б;25]

У max = У(25) = 95,93209

4

Насыщение

[25;42]

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 


Похожие статьи

B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period