B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period - страница 57

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 

Задача, таким образом, свелась к решению бесконечной системы уравнений (1),(5) относительно вероятностей р(/), / — 0,1,... Для решения этой системы можно воспользоваться обычно применяемым в таких случаях методом производящих функций.

ад

Обозначим  Р( 1) —   XX рО1 , Ц < 1,   и преобразуем с помощью этой производящей функции систему (1). После

/ — 0

стандартных преобразований найдем

Р( 1) [Л       1) Л Xагz11гр(/)1 [Л(         ггК ) + Л (1 1)]1 (6) /—1        /—0 /—1

Поскольку при 1    1 знаменатель дроби в формуле (6) обращается в нуль, то в силу аналитичности функции Р( 1) в круге

1 < 1 числитель этой дроби также должен обращаться в нуль, что приводит к равенству

Л ^(1) л     X р('). ( 7)

/ 1 0

Учитывая тождество К

 X     1 (1 1)[аК + (аК + аК1) 1... + (аК + аК1 +... + а2) 2 + 1],

а также формулу (7), перепишем формулу (6) следующим образом:

Р( 1)  X а/ X (^ — 2К—+)р(/)](2 1)1 Л [*к + (*к + ак х) 1 +... +  1 ] Л^К}1, Ц < 1 .(8)

/—1 /—0

Вычислим 11т0 Р( 1)воспользовавшись формулой (8) и применив правило Лопиталя:к/1

лXа/ X(/ор(/)

р(1)— /1к0- (9)

/—1

Поскольку числитель дроби в (9) положителен, то и знаменатель ее также должен быть положительным, так как Р(1) > 0 (см.

(5)). Отсюда вытекает необходимость выполнения условия

к

л N X (10)

/1

Физический смысл неравенства (10) состоит в следующем: интенсивность потока автомашин должна быть меньше, чем интенсивность потока погружаемых на судно со склада контейнеров. Нарушение этого условия приводит к чрезмерному скоплению контейнеров на складе (возможность этого является следствием принятого выше в целях упрощения исследования предположения о неограниченной вместимости склада).

Для нахождения оставшихся неизвестными вероятностей р(/), / — 0,1,..., К 1, необходимо вновь воспользоваться

свойством        аналитичности        функции        (6)        в единичном                 круге,        где многочлен

к

   + Л ^ Л к+1 л X        1 имеет ровно К нулей. Для того чтобы показать это, представим

/—1

указанный многочлен в виде /)(1)       (1)         1), где

Д(1)  (Л+Л ^К , А( 1)  Л ^К+1 +alXLаlzl

К - г

г—1

Поскольку на окружности 1 выполняется условие

г—1

г—1

то, согласно теореме Руше, функции /( 1) и /1( 1) имеют одинаковое число нулей внутри и на границе единичного круга ^1 < 1, т.е. К нулей. Обозначим эти нули через 10 1,12,..., 1к1. Тогда из (8) вытекает следующая система уравнений для нахождения р( ),       0,1,... , К—1 :

X а, X (1  ^ + ) р(/)  0, т  1,2,..., К  1.

/—1 /—0

Эта система должна решаться вместе с уравнением (5) с учетом равенства (9).

С помощью формулы (8) можно найти также выражение для среднего числа хранящихся на складе контейнеров, т.е. Р '(1). Опуская элементарные вычисления, приведем лишь конечный результат:

Р(1)^ / (/ + 1  X а!^(/  /)(/  / +1) р(/)

р'(1)л —1-1-к /—0-.

2X Ц —л N)

/—1

где Р(1) задается формулой (9).

Более простой, с вычислительной точки зрения, путь решения системы (1)-(3) заключается в учете ограниченности вместимости склада. Будем считать, что при у) — Е, где Е вместимость склада, автомашины, прибывающие для выгрузки контейнеров, становятся в очередь, ожидая свободного места на складе. При этом допущении множество состояний процесса       ) становится конечным, т.е. фазовое пространство будет таким:

О {/: / — —К,—К + 1,...,0,1,...,Е + N}.

Система уравнений (1)-(3) в этом случае трансформируется в следующую систему:

К +/

л2^(/) + л2^(К + /)р(/ 1) + л x *у гр(/) 0,/ — — К,К + 1,..., 1, (11)

/'0

тт( К +/,Е + N )

(л+л^ )р(/) + ЛЩ (/ 1) + л       x ам р (/') 0,/ 0,1,..., Е, (12)

тт( К +/,Е + N )

+ л( Е + N /)] р (/) + л( Е + N / + 1) р (/ 1) + л       x а/—/ р (/') 0,

/'—/+1

/ Е + 1,Е + 2,..., Е + N 1, (13) - лр(Е + N) + л2р(Е + N 1) 0, (14)

Е+N

x р(/) 1. (15)

/——К

Поскольку уравнения (11) совпадают с уравнениями (2), то для вероятностей р( ), — — К, К + 1,... , —1, также справедливо соотношение (4). Что касается вероятностей р(/), / — 0,1,..., Е, то они могут быть выражены рекуррентно через вероятность р(0) с помощью уравнений (12)-(14). Вероятность р(0) затем определяется с помощью условия нормировки

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 


Похожие статьи

B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period