B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period - страница 57
Задача, таким образом, свелась к решению бесконечной системы уравнений (1),(5) относительно вероятностей р(/), / — 0,1,... Для решения этой системы можно воспользоваться обычно применяемым в таких случаях методом производящих функций.
ад
Обозначим Р( 1) — XX рО1 , Ц < 1, и преобразуем с помощью этой производящей функции систему (1). После
/ — 0
стандартных преобразований найдем
Р( 1) — [Л 1) — Л Xагz—11гр(/)1 [Л( 1К ггК — ) + Л ^К (1 — 1)]—1 (6) /—1 /—0 /—1
Поскольку при 1 1 знаменатель дроби в формуле (6) обращается в нуль, то в силу аналитичности функции Р( 1) в круге
1 < 1 числитель этой дроби также должен обращаться в нуль, что приводит к равенству
Л ^(—1) — л X р('). ( 7)
/ 1 0
Учитывая тождество К
1К — X —1 — (1 — 1)[аК + (аК + аК—1) 1... + (аК + аК—1 +... + а2) 1К—2 + 1К—1],
а также формулу (7), перепишем формулу (6) следующим образом:
Р( 1) — [Л X а/ X (^ — 2К—+)р(/)](2 — 1)—1 Л [*к + (*к + ак х) 1 +... + 1К 1 ] — Л^К}—1, Ц < 1 .(8)
/—1 /—0
Вычислим 11т0 Р( 1), воспользовавшись формулой (8) и применив правило Лопиталя:к/—1
лXа/ X(/—ор(/)
р(1)— /—1к—0- (9)
/—1
Поскольку числитель дроби в (9) положителен, то и знаменатель ее также должен быть положительным, так как Р(1) > 0 (см.
(5)). Отсюда вытекает необходимость выполнения условия
к
л N <ЛX (10)
/—1
Физический смысл неравенства (10) состоит в следующем: интенсивность потока автомашин должна быть меньше, чем интенсивность потока погружаемых на судно со склада контейнеров. Нарушение этого условия приводит к чрезмерному скоплению контейнеров на складе (возможность этого является следствием принятого выше в целях упрощения исследования предположения о неограниченной вместимости склада).
Для нахождения оставшихся неизвестными вероятностей р(/), / — 0,1,..., К — 1, необходимо вновь воспользоваться
свойством аналитичности функции (6) в единичном круге, где многочлен
к
— (Л + Л ^ 1К — Л №к+1 — л X 1 имеет ровно К нулей. Для того чтобы показать это, представим
/—1
указанный многочлен в виде /)(1) — (1) — 1), где
Д(1) — (Л+Л ^К , А( 1) — Л ^К+1 +alXLаlzl
К - г
г—1
Поскольку на окружности \Щ — 1 выполняется условие
г—1
г—1
то, согласно теореме Руше, функции /( 1) и /1( 1) имеют одинаковое число нулей внутри и на границе единичного круга ^1 < 1, т.е. К нулей. Обозначим эти нули через 10 — 1,12,..., 1к—1. Тогда из (8) вытекает следующая система уравнений для нахождения р( ), 0,1,... , К—1 :
X а, X (1 — ^ + ) р(/) — 0, т — 1,2,..., К — 1.
/—1 /—0
Эта система должна решаться вместе с уравнением (5) с учетом равенства (9).
С помощью формулы (8) можно найти также выражение для среднего числа хранящихся на складе контейнеров, т.е. Р '(1). Опуская элементарные вычисления, приведем лишь конечный результат:
Р(1)^ / (/ + 1)а — X а!^(/ — /)(/ — / +1) р(/)
р'(1)—л —1-1-к /—0-.
2(Л X Ц —л N)
/—1
где Р(1) задается формулой (9).
Более простой, с вычислительной точки зрения, путь решения системы (1)-(3) заключается в учете ограниченности вместимости склада. Будем считать, что при у(г) — Е, где Е — вместимость склада, автомашины, прибывающие для выгрузки контейнеров, становятся в очередь, ожидая свободного места на складе. При этом допущении множество состояний процесса ) становится конечным, т.е. фазовое пространство будет таким:
О — {/: / — —К,—К + 1,...,0,1,...,Е + N}.
Система уравнений (1)-(3) в этом случае трансформируется в следующую систему:
К +/
л2^(/) + л2^(К + /)р(/ — 1) + л x *у гр(/) — 0,/ — — К,—К + 1,..., — 1, (11)
/'—0
тт( К +/,Е + N )
— (л+л^ )р(/) + ЛЩ (/ — 1) + л x ам р (/') — 0,/ — 0,1,..., Е, (12)
тт( К +/,Е + N )
— [л + л( Е + N — /)] р (/) + л( Е + N — / + 1) р (/ — 1) + л x а/—/ р (/') — 0,
/'—/+1
/ — Е + 1,Е + 2,..., Е + N — 1, (13) - лр(Е + N) + л2р(Е + N — 1) — 0, (14)
Е+N
x р(/) — 1. (15)
/——К
Поскольку уравнения (11) совпадают с уравнениями (2), то для вероятностей р( ), — — К, — К + 1,... , —1, также справедливо соотношение (4). Что касается вероятностей р(/), / — 0,1,..., Е, то они могут быть выражены рекуррентно через вероятность р(0) с помощью уравнений (12)-(14). Вероятность р(0) затем определяется с помощью условия нормировки