B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period - страница 64

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 

Ь21а21а23т3 Ь31а21а32т2

а21 (1^23т3    т1а23а32    Ь31а21а32)

т

Х2 — '

а

Х3 —

32

а32т1т2 + а21Ь21т3 - а21т2т3

12 23т3   т1 23 32   Ь31 21 32

(4)

Из правой части второго уравнения системы (3), в стационарной точке £>2 имеем:

X

1

21

т2+ 23Х3

(5)

С

С

С

2

3при Л3 системы.

Условие (5) говорит о том, что стационарная невырожденная точка будет иметь положительные координаты только Х- !> 0 . С экономической точки зрения это означает, что участник X- является гарантом стабильного функционирования

Рассмотрим более подробно невырожденный случай устойчивости функционирования системы, т. е. устойчивость в

12 ■ иеренося начало координат в эту точку, путем замены координат по условию       = X*     ( І = 1, 2,3 ) ,

получаем новую систему (6), для которой исследуем теперь уже нулевую точку на устойчивость.

точке В2 . Перенося :

у2 = а21 у1 у2 + а21 у1Х2 - а23у2у3 - а23у3Х2,

(6)

Система (6) будет устойчивой, если действительные части корней характеристического уравнения, полученного из линеаризованной системы (6) отрицательны (условие оптимальности по критерию Гурвица). Характеристическое уравнение для системы (6) записывается в виде

а21Х2 Я

0

а32 Х3

"31

*

~а23 Х2

= о,

(7)

-а32а23Х2Х3т1 + а32а23а21а23Х2 Х3 - а32а21Ь31Х2Х3 = 0.

(8)

Согласно критерия Гурвица необходимым и достаточным условием отрицательности действительных частей корней уравнения + О^Я ' + а2Я + а3 = 0 является положительность главных определителей матрицы вида:

 

' а1

1

о 1

А =

 

 

 

 

1 0

0

«3 у

(9)

а1 = а1 > 0, а 2 =

а.

Для уравнения (8) матрица А имеет вид:

>о, А3=

а3 а2

аг

0    0 а3

3а2 .

(10)

или

то есть

А =

[-т1 + аі2 Х* ^

+ 2    *2 *

+" аз2а ааХ2 Х3

—аз2а21^31Х2Х3

^^^21^21X2 +~ аі2аХі Х2 +~

а^з2Х3 +~

2    *2 *

~+аз2аааХ2 Х3

а32а2іЬзіХ2Х3 У

(іі)

Отсюда видно, что в общем случае довольно сложно указывать в явном виде интервалы изменения параметров системы для определения состояния устойчивости, при которых определители Гурвица положительны. Почти невозможно также дать четкую экономическую интерпретацию получаемым соотношениям параметров модели. Поэтому упростим модель (3) таким

образом, чтобы построенные по матрице   А зависимости параметров имели экономический аналог. Для этого положим

= 0 . С экономической точки зрения это означает, что участник  Хі   не должен тратить ресурсы нерационально.

Необходимо, чтобы его собственные возможности по крайней мере могли компенсировать возможные нерациональные затраты и

тогда Й?і = Сі . Это вполне логичное предположение не меняет сути дальнейших рассуждений, но упрощает вид системы (3).

Таким образом, преобразованная система будет иметь вид:

Хі = Ь2іХ2 + Ь3іХ3

аі2ХіХ2,

*2 —     Х2 ~+ а21 Хі Х2   а2 3Х2Х 3,

тХз ~+ аз2Х2Хз.

(і2)

Стационарными  точками  системы  (12)  являются: ^£?,0,0^

координатами в фазовом пространстве:

при

а > 0

С^Хі ,Х2,Хз i

Хі —

Х2 =

Х3 =

Ь2іа23а32

Ь3іа32т2

аі2а23т3

Ь3іа2іа32

тз

 

а32

 

а2іЬ2іт3

а23т2т3

аі2а23т3

Ь3іа2іа32

(і3)

Проанализируем систему (і3) с точки зрения её устойчивости. Экономическая целесообразность требует, чтобы все координаты этой стационарной точки должны быть положительными.

Стационарная точка (і3) будет иметь положительные координаты, если будут выполняться следующие две пары

условий:

Ь2і >

Ь3і <

т2аі2

а2і аі2а23т3 а2іа32

(і4)

и

с

Ь2і <

Ь3і >

т2аі2

а2і аі2а23т3 а2іа32

(і5)

С экономической точки зрения это означает, что вышестоящий орган Х3 должен выполнять регулирующие функции

относительно всей системы, включая и участника X2 , так как его мощностей (ресурсов) должно хватать не только на

собственные нужды, но и на помощь всем подвластным участникам. То же самое необходимо сказать и относительно участника

Х2 . Суть их функционирования объясняется необходимостью поддержки основного участника        , что не противоречит

логике экономической целесообразности иерархической системы. Этим подтверждается также кибернетический принцип управляющей системы, что она должна обладать разнообразием, не меньшим, чем управляемая.

По аналогии с вышеприведенным анализом стационарной точки В2 проведём анализ вновь полученной стационарной точки С2 . Характеристический многочлен для системы (12) будет иметь следующий вид:

аі2 2

аі2 2 0

я ь

аі2 і

—я

а23 3

*

а23 2

я

= 0 (і6)

А   + аиХ2Л        а21Х1 Х2 ~ а21Ь21 + а32 а23Х2Х3) А + а32 а12 а23а23Х2 Х3 ~ Ь31а32 а21Х2Х3 = 0 Исходя из критерия Гурвица, матрица А, соответствующая (16) запишется в виде:

А =

аі2Х2

2    *2 * а32аі2а23а23Х2 Х3

**

Ь3іа32а2іХ2Х3

*2\и2\

**

0 0

і

2*2** а32аі2а23а23Х2 Х3 Ь3іа32а2іХ2Х3 У

(і7)

или

Отсюда

аі2Х2 і

^0з2С'і2^С23^С^3Х3 іСС322іХХ3     СС12СС21ХХ1 СС21Ь^2і +~ СС32СС23Х2Х3

А з = азА 2,

где а3 = а32а12а23а23Х2 Х3 — Ь3іа32а21Х2Х3 = а32Х2Х3 ^а12а23Х2 Ь3іа21 ^

Для положительности определителей надо, чтобы выполнялось условие а12а23Х2 _ Ь31а21 > 0 т.е.

ь < а12а23Х2 = а12а23т3 "31 ^ _

а

а2іа32

(18)а

Это условие совпадает с условием (14). Проанализируем условие (18). Отношения

12

а

23

а

означают, что их произведение

является установлением общего результата иерархической целесообразности отношений, так как каждое из них определяет коэффициент качества взаимоотношений в многоуровневой системе. Это опять подтверждает тот факт, что вышестоящий участник

Хдолжен выполнять регулирующие функции относительно всей системы. Его ресурсов должно хватать не только на

собственные нужды, но и на помощь и X2 . Второй участник должен уделять внимание первому участнику так как суть его

функционирования объясняется только этим. С экономической точки зрения это означает, что система могла бы быть устойчивой и тогда, когда она будет двухуровневой. Если мощности X2 будет хватать для устойчивого функционирования Х-^ тогда он не

будет конкурировать с Хпо вопросу управления Х-^ , а сможет взять на себя все функции по управлению. В таком

соотношении параметров трехуровневая система будет излишней и, если X2 объединит свои функции по управлению с возможна существенная экономия ресурсов.

Рассмотрим ещё одну особую точку системы (12), т.е. точку С1 ^£?,0,0^ . Линеаризованная система (12) в этой особой точке будет иметь следующий вид:

X

А = Ь21у2 + Ь31 Уз —al2aУ2, у2 = т2 у2 +а21ау2у (19)

Корни характеристического уравнения системы (19) равны: Я = 0, Я2 = т2 + а21а, Я3 = т3.

Поэтому при а <-, точка С (а,0,0) будет устойчивой,

а21

т2

, а при а >--неустойчивой.

а2

"21 "21

Отметим ещё одну важную особенность экономической интерпретации решений рассмотренных иерархических структур. Может возникнуть такая ситуация, когда построенная модель будет неадекватно описывать условия относительно реальной ситуации в экономике. В этом случае необходимо качественно изменить систему уравнений, составляющих модель, то

2

есть перестроить взаимоотношения в реальной системе. Для этого нужно в систему (1) ввести член     СКХ^ , который будет

отражать принцип внутренней конкуренции, то есть уровни Х2 и Х3 должны конкурировать между собой в системе. В этом

случае система будет функционировать рационально, а модель будет адекватно описывать рыночные взаимоотношения участников.

Рассмотрим динамику решений системы (12) в стационарных точках Сі и С2 в зависимости от начальных условий и

параметров системы. Она изображена на рис. 3.

Х3

Х2

Х / *

Рис. 3. Динамика взаимодействий трёх участников рыночных отношений в зависимости от начальных условий в

окрестности стационарных точек С1 и С2.

При соблюдении условий (18), то есть при наличии рациональной точки С2 , система будет стремиться к устойчивости

второго рода (спиралевидная устойчивость). Это видно на рис. 3. Точка С1 ,0,0) при значении а =-~ будет

находиться на сепаратрисе, которая делит множество траекторий системы на две непересекающиеся части. Если начальные условия системы будут выбираться вблизи отрезка ^ОС1 j оси Х1, (см. рис. 3), то система будет функционировать устойчиво, но с вырождением влияния второго и третьего участников на первого, что было отмечено выше. Ели же начальные условия будут выбираться слева от точки С1 , то траектории будут уходить от оси Х1 в сторону точки устойчивости С2 и система будет

находиться в неустойчивом состоянии до тех пор, пока не попадёт в зону притяжения С2 , которая является аттрактором для системы. Отсюда делаем вывод, что для устойчивого функционирования системы начальные условия необходимо выбирать либо вблизи области устойчивости ^ОС1 ], либо вблизи точки С2 . Тогда траектории системы будут направлены или к точкам отрезка

[°Сі ]

1 J и система вырождается или к спиралевидной устойчивости, в которой система может функционировать устойчиво длительное время.

Рассмотрим теоретически проанализированные экономические ситуации на конкретном примере.

Пусть в организованной трёхуровневой структуре экономические отношения между участниками рыночных отношений складываются следующим образом.

Основной производитель продукции (предприятие Х1) до начала исследуемого периода функционирования с учётом будущего развития будет иметь ресурс й^Х!, который дополнительно увеличится за счёт организационной помощи участника на 40% т.е. /?21 = 0,4 , а участника Х3     на 10% ^= 0,1) . Оба участника Х 2 и Х3 истратят по 20% своих     возможностей     для     поддержки      Х"1      на     уровне     устойчивого     функционирования     всей системы

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 


Похожие статьи

B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period