B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period - страница 66

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 

/V : ■■■■ (3)

где символ | | обозначает норму оператора в пространстве Н;

в) семейство линейных операторов Aj(t) является, вообще говоря, семейством неограниченных операторов с той же плотной, независящей от f областью определения , но таким, что семейство операторов

Ujft,s) = U(t,s)A,(s) , Ct £ £г£ £ fit (4)

при каждом f и s £ [ Qr Gt] являются ограниченными операторами и

...'V     :) ■      ■■■ ■■■ (5)

г) число - 1 не принадлежит спектру семейства операторов U1(t,s) f       S [V^tt].

2 f   '). - гауссовский случайный процесс, определенный на отрезке [0,а] со значениями из Н с нулевым математическим ожиданием, M^(t) = 0, с корреляционной операторной функцией R^C^S.I^^ la tr S ia Э причем

и которая допускает факторизацию в виде

где операторная функция R ^    SJ является сопряженной к операторной функции К ^ ^1^ Ll^J.

3. Нелинейная функция f(t,y(t)), определенная на множестве [0,flf] X Н, принимает свои значения из Н, является

интегрируемой функцией со своим квадратом по норме Н для всех у        н и дифференцируема по у, при этом, производная

fy(t,y (t)) для всех f £ [0, а] является оператором Гильберта-Шмидта.

Как известно из теории [7.8], при выполнении вышеперечисленных условий 1, 2, 3 дифференциальное уравнение (1) (в частности и (2)) имеет единственное решение ((modP) y(t) с ограниченным моментом второго порядка по норме Н,

.'-1   у: ~ \   " і;|   ун. При этом очевидно, что решение уравнения (2) х(ї) является гауссовским случайным процессом. Обозначим

через      - О - алгебру измеримых подмножеств гильбертова пространства Н . Тогда пара ( Н ,        ), как мы знаем, образует

измеримое гильбертово пространство. Обозначим через [Лу и уіх меры, порожденные на измеримом гильбертовом пространстве

( Н , ^Зн ) случайными процессами і/(і) и х(і) соответственно. В теории случайных процессов известно следующее утверждение:

Лемма 1. (см. [1]). Пусть в гильбертовом пространстве Нрассматривается некоторая О-алгебра      атакже некоторая случайная величина ^ со значениями из Н и М ^ ! ВС". Если другая случайная величина Т|     - измерима и обладает таким свойством, что величина М £т[~і^   *£! К" и принимает минимальное значение, то величина Т] определяется в виде условного математического ожидания Ц = іуц^/^.ї-

Предположим теперь, что случайный процесс у(і) наблюдается до некоторого момента алгебра событий, определенных поведением случайного процесса і/(і) при і       . Задача построения оптимального прогноза случайного процесса у(і) в точке і= Т+ к, /г?* в^Т+/гЄ [0,а] сводится к нахождению     - измеримого функционала т[ = ^(Т ~Ь Ь^для которого выражение Ы (т\ ( Т Н"        * принимает минимальное значение, а в силу Леммы 1

Как известно в теории не существует общих методов для вычисления условного математического ожидания. Поэтому, формула (8) еще не дает удовлетворительного ответа для решения поставленной задачи. Тем не менее, приведенные ниже рассуждения дают нам возможность в некоторых случаях привести нашу задачу к эффективному решению, т.е. построить алгоритм

для прямого вычисления оптимального прогноза "4" Ъг)- случайного процесса у (і) в точке і = Т + к.

Вначале мы сделаем один шаг для упрощения задачи вычисления оптимальной оценки прогноза 1^ '1'     ^1. Для этого, предположим, что вместе со случайным процессом у(і) мы рассматриваем некоторый другой случайный процесс х(ї), такой что

при наличии условия М | 11*      ОС*, он более просто устроен и хорошо изучен, чем сам процесс у(і) и предположим, что

мера Ц^, эквивалентна или в худшем случае абсолютно непрерывна к мере       порожденной случайным процессом х (і) и существует плотность Радона-Никодима рй(    = ^ ("^ на [0;а] интервале определения процессов у (і) их(і). Через р*р ("^

и Рт-ИіОХ О ^ ТГТ "4" її ^ Э будем обозначать плотности Радона-Никодима для сужения этих мер |іуИ І^для процессов у(і) и х(і), определенных соответственно, на интервалах [0;Т] и [0; Т + к]. Обозначим через

(9)

где знак (*) обозначает интегрирование по мере Ц.^, а ^}    О - алгебра событий, порожденная величинами х (б), б . Доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Пусть в сепарабельном гильбертовом пространстве Н меры      и       порожденные случайными процессами у (і) и х(і) соответственно эквивалентны (^1у~\ЬХ) и существует плотность Радона-Никодима Р4{-> = ^ ОИ 0 £ Т,Т + Ь £ Э Тогда

"л»+«-*--г сг+куш - ^аі'^и^ ..«>

Хотя в формуле (10) условность в математическом ожидании не пропадает, но так как вторая мера \ЬХ является нами выбранной и просто устроенная мера, то, естественно, это обстоятельство позволит выбрать такую меру, чтобы на втором этапееще более упростить вычисление в формуле (8). Действительно, предположим, что случайный процесс х(1) является гауссовским процессом. Из теории линейной экстраполяции известно, (см. [2]), что в интервале [Т, Т + к], где мы строим оптимальный прогноз случайного процесса у(^), гауссовский процесс х(^) можно представить в виде разложения

где

= 1т + Рг ($г   1Є [ 4 її], О £ ТТ + Ь £ а (11)

(12)

является линейным оптимальным прогнозом гауссовского случайного процесса х(ї), а ^("ї),    Є [Т 4 І1 «гауссовская добавка», не зависящая от О - алгебры $?1р. Обозначим через

:;_:7-:: у, :]) = >\' ;.:7-- ;;/;^ ,. = . 7- (13)

Учитывая, что х(і) - гауссовский процесс в интервале [Т,Т + Щ допускает разложение (11), где /г(і) ^йр - измеримая величина, а Рр {Л^. не зависит от О - алгебры р, мы легко приходим к выражению

(14)

и^ЬрСг+^уОЖ

где знак (е) означает интегрирование по мере       которая легко определяется из соотношения (11), а величины и1ги2,и3 - параметры,

вместо которых, после интегрирования подставляются и ^ = 4 1 1Д; = у(01ф   ^1 = ("^УС01й!)

которые содержат часть наблюденных траекторий случайного процесса у(^) на отрезке [0,7]. Как видно из формул (13) и (14) в том случае, когда второй случайный процесс х(^) является гауссовским, вычисление условного математического ожидания в правой части (13) сводится к вычислению безусловного математического ожидания (14), а это уже явное продвижение к эффективному вычислению

оптимального

прогноза ^( -+ 1т/} • Следовательно, имеет место следующая общая теорема.

Теорема 2. Если при условиях Теоремы 1 мера       соответствующая случайному процессу х(1), является гауссовской, то

оптимальная оценка прогноза случайного процесса у (г) в точке t = T + h^[0 ; а] , Ь > 0 при условии, что он наблюдается до момента 1=Т, определяется эффективно по формуле

(15)

где

функционал РТ 4 І1^.у(")1а?

вычисляется по формуле (14), а р.^.у С"]ї |^ - плотность Радона-Никодима

Рт0

: —      1 :.   .: на интервале [0,Т]. Возвратимся теперь к системе дифференциальных уравнений (1) и (2), рассмотренных в начале работы и применим, полученные результаты Теоремы 1 и Теоремы 2 к решениям этих уравнений у(^) и х(^). Будем предполагать, что коэффициенты уравнений (1) и (2) удовлетворяют условиям, перечисленным выше 1, 2, и 3, а также Теоремы 2 из работы [4], тогда существует единственное решение этих уравнений у(1) и х(^) соответственно с конечными моментами второго порядка по норме Н, х(^) -гауссовский процесс и также существует плотность Радона-Никодима и вычисляется в явном виде в терминах коэффициентов указанных уравнений

(16)

где символ <"/> обозначает расширенный стохастический интеграл, а функции Ь(1, г(')), %(1,2(')) и винеровский процесс IV(I) ъ явном виде вычисляются через коэффициенты уравнений (1) и (2), собственные числа и собственные функции корреляционной

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102 


Похожие статьи

B I Las - The public administration of exogenous and endogenous risks of regional development in post-crisis period