Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 10

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

 

 

 

/

 

2п / сор

->

««-р

2п / со

Рисунок 1.23 - Графік напруги на ємності в колі Л, Ь, С за умови со ф сорез, 8 ф 0 при дії прямокутного радіоімпульса

Якщо обертати систему координат із швидкістю с за годинниковою стрілкою, то вектор итС вм буде нерухомим, а вектор итС вл - обертатиметься із швидкістю сорез - с. Вектор результуючого коливання итС дорівнює гео­метричній сумі векторів итС вм і итС вл (рис.1.24, б). Його кінець описує на площині загасаючу спіраль (якщо 8 = 0, то - коло радіуса итС вл), а сам він ка­чається, змінюючись як за величиною, так і за початковою фазою (а отже, і за частотою). Проекція вектора итС на вісь ординат відтворює закон змінювання

обвідної итС ) за часом (рис.1.24, в).

Рисунок 1.24 - Графіки, які пояснюють процес формування обвідної напруги на ємності кола Я, Ь, с при со ф сорез, 8 ф 0: а, б - векторна діаграма; в - залежність итс(і)

1.5 Запитання та завдання для самоперевірки і контролю засвоєння знань

1. За яких умов у колі виникають перехідні процеси?

2. Сформулювати   закони   комутації.   Зобразити   схеми заміщення індуктивності та ємності за нульових початкових умов.

3. Пояснити фізичний зміст сталої часу для Я, Ь і Я, с кіл. Як залежить стала часу від величини Я для кожного з цих кіл?

4. Як визначити порядок кола? Чи залежить вигляд характеристичного рівняння від функції, яка діє на вході кола?

5. Які існують способи складання характеристичного рівняння?

6. Який зв'язок існує між КПФ і диференціальним рівнянням кола?

7. У чому полягає класичний метод аналізу перехідних процесів? Пояс­нити поняття вільної та вимушеної складових струму (напруги).

8. При дії джерела постійної напруги е(ґ) = Е = 120 В у колі (рис.1.4, а)

після замикання перемикача встановився усталений режим. Визначити напругу на конденсаторі через ґ1 = 0,1 с після розмикання перемикача, якщо с = 2 мкФ, Я1 = Я2 = 50 кОм.

Відповідь: ис     = 23 В.

9. Опір Я = 50 Ом та незаряджена ємність с = 5 мкФ, які з'єднані послі­довно, увімкнено при ґ = 0 до джерела ЕРС Е = 20 В. Знайти струм у колі.

Відповідь: і(ґ) = 0,4е"4000ґ А.

10. Послідовно з'єднані індуктивність Ь = 1мГн і опір Я = 100 Ом підключаються     при      ґ = 0      до     джерела     синусоїдної напруги

е(ґ) = 20соб(105 ґ + п /4) В. Знайти напругу иЬ ) та побудувати графік. Відповідь: иЬ(ґ) = 14,1е"100000ґ + 14,1еов(105ґ + п/2)В.

11. Чи може частота коливального розряду ємності в контурі Я, Ь, с дорі­внювати або перевищувати резонансну частоту цього контуру?

12. Обчислити частоту незагасаючих  с рез  та вільних  с вл коливань

послідовного резонансного контуру з параметрами Ь = 25 мГн, с = 25 нФ, Я = 4 кОм.

Відповідь: с рез = 40000 рад/с; с вл = 69382рад/с.

13. Скільки потрібно періодів коливань, щоб у послідовному резонансно­му контурі з логарифмічним декрементом загасання 0 = 0,02 амплітуда струму зменшилася до одного відсотка свого початкового значення?

Відповідь: 230,3.

14. Джерело синусоїдної напруги е(ґ) = 100віп(100ґ + і|/ Е) В увімкнено до електричного кола (рис.1.25, а) з параметрами: Ь = 0,4 Гн, с = 83,33 мкФ, Я1 = Я2 = 30 Ом. В момент проходження струму через додатний максимум за­микається ключ. Визначити струм в індуктивності та напругу на ємності.

Відповідь: іЬ(ґ) = е"75ґА; ис(ґ) = 97біп(100ґ + 230) + 38е"400ґВ.

15. В електричному колі (рис.1.25, б) діє джерело синусоїдної напруги е(ґ) = 200віп(1000ґ +   Е)   В.   У   момент   ґ = 0,   коли   напруга джерела,

збільшуючись, досягає додатного значення, що дорівнює діючому, розми­кається перемикач. Знайти струм в індуктивності та напругу на ємності, якщо :

Ь=50мГн, с = 20мкФ, Я1 = Я2 =50Ом.

Відповідь: іЬ(ґ) = -1,41е"1000ґ + 2,82віп1000ґ А; ис(ґ) = 70,7е"1000ґВ.

16. Вважати, що в схемі (рис.1.4, б) ключ перенесено до індуктивної вітки. Дано: Е = 30 В, Я1 = 10 Ом, Я2 = 5 Ом, Я3 = 30 Ом, Ь = 2 мГн. Знайти після за­микання контакту: початкове значення струму і3 (ґ) , його вільну і вимушену складові. Накреслити графік і3(ґ).

Відповідь: і3(+0) = 0,75 А; і3вл) = 0,45е"6250ґ А; і3вм ) = 0,3 А.

17. Коло (рис.1.26, а) підключається до джерела постійної напруги Е = 30 В. Знайти вирази для всіх струмів і напруги на ємності, якщо Ь = 1 Гн, с =16 мкФ, Я1 =100 Ом. Побудувати графіки часових залежностей цих струмів

і напруги. З' ясувати граничне значення опору, за якого перехідний процес у ко­лі має коливальний характер.

Відповідь: ис(ґ) = 30 + 10е"125ґ - 40е"500ґВ;      = -0,02е"125ґ + 0,32е"500ґ А; і2(ґ) = -0,1е"125ґ + 0,4е"500ґА; і3(ґ) = 0,08е"125ґ -0,08е"500ґ А; Якрит = 125 Ом.

18. До  кола (рис.1.26, б)  підключається  джерело  постійної напруги Е = 48В. Знайти закон змінювання струму і2(ґ) та зобразити його графічно.

Параметри кола: Ь1 =100мГн, Я1 =160 Ом, Ь2 =36мГн, Я2 =90 Ом. Відповідь: і2(ґ) = 0,3 - 0,4е"1000ґ + 0,1е"40ША.

Л1

О

иС )

С

Л2

іь (ґ) Ь

О

Л1

е(ґ)

аб Рисунок 1.25 - Схеми електричних кіл

Я>2

_і - _і і_гууу\

а б Рисунок 1.26 - Схеми електричних кіл

19.   Схему кола (рис.1.6, а) змінено так: Я3 = Я4 = 0, с = с1 = 1 мкФ, а

замість опору Я5 увімкнена ємність с2 = 2мкФ. Знайти при ґ = +0 початкові

значення струму в індуктивності та напруг на ємностях та їх перших похідних.

Вказівка. Напруги на ємностях до комутації визначаються з умови рівності їх зарядів і рівності сумарної напруги на ємностях напрузі на опорі Я2.

Відповідь. і3(+0) = 0,6А; ис1(+0) = 40 В; ис2(+0) = 20 В; и'с 1(+0) = 2 -105 В-с-1; и'с 2(+0) = 0; і3 (+0) = 2 -103 А-с-1.

Часовий метод

□ Перехідна характеристика кола

□ Імпульсна характеристика кола

□ Часові характеристики типових кіл Я, Ь; Я, С; Я, Ь, С

□ Часові характеристики зв'язаних коливальних контурів

□ Визначення відгуку кола на ступінчасту дію за допомогою часових характеристик

□ Визначення відгуку кола на довільну дію за допомогою перехідної характеристики. Інтеграли Дюамеля

□ Визначення відгуку кола на довільну дію за допомогою імпульсної характеристики

е(і) = 1(і) В

І'вих (І)

ивих (і)

і дж ) = 1(і) а

/ дж =1 А

-оч

ивих (І)

івих (І)

1

0,5-

 

 

-

 

0

І

8(і )4

Соболев

0

Дірак

2 ЧАСОВИЙ МЕТОД АНАЛІЗУ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ

Класичний метод застосовують для аналізу перехідних процесів у колах без джерел (вільні процеси) або за наявності джерел, які дозволяють визначати вимушений (усталений) режим кола. Перелік таких джерел вельми обмежений. Крім джерел постійної і синусоїдної напруг і струмів (див. розд. 1), усталений режим можна розраховувати для джерел, у яких миттєві значення ЕРС (зада-вальних струмів) змінюються за експоненційним законом. Цим пояснюється обмежене використання класичного методу в радіотехніці для аналізу проход­ження через кола сигналів, які є складними функціями часу. Однак це не зменшує значення класичного методу, оскільки його подальшим розвитком є часовий метод аналізу перехідних процесів.

Часовий метод грунтується на принципі накладання і дозволяє розрахову­вати перехідні процеси для ЛЕК з вхідними джерелами коливань довільної фор­ми та відгуки на дію складних сигналів. Для цього миттєве значення ЕРС (зада-вального струму) джерела або вхідного сигналу подається як сума так званих типових дій, для яких є чинним класичний метод аналізу. Згідно з принципом накладання відгук кола (вихідні напруга чи струм) визначається підсумовуванням відгуків на кожну з вибраних типових дій. Якщо тривалість типових дій стає нескінченно малою, сума переходить в інтеграл.

Прикладом типової дії є «ступінчаста дія», що формується постійним дже­релом, яке підключається в різні моменти часу. Апроксимація миттєвого зна­чення напруги або струму вхідного джерела, умовно позначеного 5*вх ), за до­помогою ступінчастих дій        ) показана на рис.2.1, а. Рис.2.1, б ілюструє

підвищення якості апроксимації із зменшенням рівня типових дій та збільшенням їх кількості (порівняно з рис.2.1, а кількість «сходинок» зросла більше, ніж у три рази). Перевагою ступінчастих дій є простота визначення відгуків ЛЕК на них класичним методом.

Математичний апарат часового методу аналізу грунтується на аналітичному описі типових дій та часових характеристик кола - перехідної та імпульсної, які є відгуками ЛЕК на ці дії.

2.1 Перехідна характеристика кола

Перехідна характеристика ЛЕК пов'язана із ступінчастою типовою дією (рис.2.1), для аналітичного опису якої застосовується одинична функція, звана також функцією Хевісайда1, або функцією увімкнення.

1 Хевісайд Олівер, Oliver Heaviside (1850-1925) - англійський інженер і фізик, член Лондонської королівської спілки. Основні праці, що належать до теорії електрики та електротехніки, опубліковані у тритомній монографії «Електромагнітна теорія» (1893-1912). У 1902 р. одночасно з А. Е. Кеннелі вказав на існування іонизованого шару атмосфери (іоносфери), який відбиває електромагнітні хвилі. Припустив, що

Рисунок 2.1 - Апроксимація миттєвого значення параметра вхідного джерела 5вх ) за допомогою типових ступінчастих дій Askвх )

Одинична функція позначається 1(ї) або а(ї) і аналітично описується

(рис.2.2) одним з двох способів:

1) 1(ї) = Ііт ^(ї, Аї),

де ^ (ї, Аї) - спеціальні функції часу і параметра Аї, прикладами яких є (рис.2.2, а, б),

цей шар спільно з поверхнєю Землі дозволяє електромагнітним хвилям огинати земну кулю. Подальші фундаментальні дослідження іоносфери виконав Е. Еплтон (Нобелівська премія з фізики, 1947). Хевісайд є одним з творців операторного методу аналізу, який широко застосовується у математичній фізиці й електрорадіотехніці (див. розд. 3).

1  при г 12;

^(ґ,Аг) = <!0,5 + г/Аг при -Аг/2<г<Аг/2;

0 при г <-Аг/2;

рг(,, Аг) = 0,5 + аГС1§(г / Аг);

(2.1)

(2.2)

0 при   < 0;

2) 1) = 10,5 при г = 0; (рис.2.2, в).

1 при г > 0.

Одинична функція, зсунута за часом на г0, записується у вигляді 1(ґ - г0) і умовно позначається, як показано на рис.2.2 г.

^(г, Аг) А 1

*2, Аг) А 1

Аг

0

Аг 2

г

0,5

а

1

 

 

 

 

0,5-

-

 

 

 

 

0

г

- Аг 0 Аг 2 Т

1(г - ґ0) ^

1

0,5 4

г

б

0 г0

г

г

Рисунок 2.2 - До аналітичного запису одиничної функції

Стрибкоподібний характер змінювання одиничної функції при г = 0 (1(-0) = 0; 1(+0) = 1) та її рівність одиниці при г > 0 дозволяють трактувати 1(ґ)

стосовно перехідних процесів як поєднання постійного джерела (напруги або струму) одиничної величини та комутатора (ділянки, позначені на рис.2.3 пунк­тиром).

Перехідна характеристика чисельно дорівнює відгуку пасивної (без внутрішніх джерел) ЛЕК на дію джерела типу одиничної функції за нульо­вих   початкових   умов   пс (-0) = 0;   їь (-0) = 0   для   всіх   ємностей та

індуктивностей.

Перехідну характеристику позначають g ) і визначають її розмірність як відношення розмірностей відгуку (вихідного струму або напруги) і дії (напругиабо струму джерела на вході кола). Тому g(У) може бути безрозмірною, мати розмірність провідності або опору.

Перехідна характеристика фізично відповідає перехідному процесу для вихідного струму івих (У) або напруги ивих ) при увімкненні постійного оди­ничного джерела до входу пасивної ЛЕК (рис.2.3) з розрядженими ємностями та індуктивностями без струму.

є(і) = 1) В

і дж ) = 1) А

-

—<

)

пс (-0) = 0

 

 

іь (-0) = 0

 

«вих (У)

 

 

г

-

с

а

івих (У )

«вих (У)

б

івих (У)

Рисунок 2.3 - Фізичне трактування одиничної функції та перехідної характеристики кола

Якщо дія - напруга (рис.2.3, а), то перехідна характеристика безрозмірна, коли відгук - напруга ивих (У), та має розмірність провідності (См), коли відгук

- струм івих ). При цьому перехідні характеристики описуються виразами:

%п (0 = «вих (У)/Е; (2.3) (0 = івих (У)/Е. (2.4) Якщо дією є струм (рис.2.3, б), перехідні характеристики:

gi (0 = івих (У)/Ідж ; (2.5) §п (У) = «вих (У)/ Ідж . (2.6)

Очевидно, що характеристика (2.5) безрозмірна, а функція (2.6) має розмірність опору (Ом).

Вирази (2.3) - (2.6) дозволяють використовувати для визначення пе­рехідних характеристик отримані класичним методом розв'язки задач, у яких до кола за нульових початкових умов вмикаються постійні джерела (див. розд. 1).

Щоб експериментально визначити перехідну характеристику, до входу кола підключають генератор прямокутних імпульсів тривалістю і, яка значно перевищує практичну тривалість перехідного процесу в даному колі (для кіл першого порядку і >> Іпер = 4,6т). На екрані осцилографа, увімкненого до ви­ходу кола, спостерігається осцилограма, пропорційна g).

Перехідні характеристики мають розмірності, однакові з КПФ кола

Н(7'со). Крім того, для g(і) та Нсо) справедливі рівності граничних значень:

g (») = Н (у 0); (2.7)

g (+0) = Н (у»). (2.8)

Рівність (2.7) безпосередньо виходить з диференціального рівняння кола (1.2) при і — » для х(і) = 1(і), .у(і) = g(і)

Ь0 g (») = «0, звідки g (») = ,

і виразу (1.8) для КПФ кола при со = 0

Н (у 0) = ^.

З фізичної точки зору, слушність співвідношення (2.7) пояснюється одна­ковою поведінкою реактивних (накопичувальних) елементів кола Ь, С в

режимі синусоїдної дії з частотою со = 0 та в усталеному режимі (і — оо) при дії постійного джерела. В обох режимах ємності заряджені до постійної напруги (тобто розімкнені), а через індуктивності проходить постійний струм (тому во­ни замкнені).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації