Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 100

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

И р (О) =     \ .

1 + 2 (О)

Оскільки задача реалізації розв' язується з точністю до постійного множ­ника, можна взяти кЯ = 1, тоді

Ир (О) =      12/О . (6190) 1 + 2 (О)

З іншого боку, передатні властивості кола (рис.6.34) можна дослідити за схемою (рис.6.35). На рис.6.35, а зображено навантажений Ь, С чотириполюс­ник, вхідний опір якого є комплексною величиною:

(М = Явх (О) + ]Хвх (О). (6.191)

Якщо замінити навантажений Ь, С чотириполюсник його вхідним опо­ром, замість кола (рис.6.34) виходить одноконтурне коло (рис.6.35, б), ком­плексне діюче значення струму 11 в якому визначається за законом Ома:

Л =Е—.

Активна потужність Р1, яка виділяється в опорі Явх (О) на частоті О, ви­значається квадратом діючого значення струму:

Е 2Явх (О)

Р = І12Явх (О)

ІЯ, + 2 вх (/О)2вх(/О)

Я,

Е

а

І1

2вх(/О)

Рисунок 6.35 - Еквівалентні схеми відносно вхідних затискачів

чотириполюсника

Якщо вважати, що Ь, С чотириполюсник не має втрат і тому потужність Р1, яка надходить до нього, цілком потрапляє до навантаження, тобто Р2 = Р1, тоді:

Р2

Е2Явх(О)

(6.192)

\ЯІ + 2 вх (;О)р

Потужність Р1 (і відповідно Р2) набуває максимального значення за умови узгодження джерела з навантаженням 2 вх (уО) (рис.6.35, б):

Р =

± 1тах

р2

2

2 тах 4 Я, (6.193)

Вираз для нормованого коефіцієнта передачі за потужністю, визначений через параметри джерела і вхідний опір навантаженого чотириполюсника, ви­ходить в результаті підстановки співвідношень (6.192) і (6.193) до формули (6.185):

Е2Двх (О)   . 4^ =   4і?вх (О)Яг

ИР (О)

Я + 2 вх (/О)2  Е 2    Я + 2 вх (/О)

2

(6.194)

Щоб перетворити вираз (6.194), використовують рівність:

І2 І Т~\ —7 ґ •*—\.-\\2

4^вх(О)Я = Щ +     - \ЯІ -     (Щ\ (6.195) квадрати модулів у якій, зважаючи на співвідношення (6.191), становлять:

к + 2 вх (уО)|2 = (Я, +     (О))2 + Хв2х (О);

Я _2вх(/О)2 = (Я, _(О))2 + Хв2х(О).

(6.196)

Якщо тепер до чисельника виразу (6.194) підставити співвідношення (6.195), виходить:

Яі + 2 вх (/О)2

Я- _ 2вх (/О)

Яі + 2 вх (/О)

(6.197)

Прирівнявши праві частини рівнянь (6.190) і (6.197), можна записати:

= 1 _

1 _

1 + ф2(О)

1      = ф2(О) 1 + ф2(О) ~1 + ф2(О)

Я _ 2вх (/О)

Я + 2 вх (/О)

або

Я _ 2вх (/О)

Я + 2 вх (/О)

Зважаючи на співвідношення (6.20), останне рівняння набуває вигляду:

ф(О)

V (О)

Я _ 2вх (/О)

Я + 2 вх (/О)

або

ф(/О) = Я _ 2вх (/О) V (/О)   Я + 2 вх (/О)" Для нормованих опорів рівність (6.198) становитиме:

ф(/О) 1 _ 2вх (/О)

V (/О)   1 + 2~вх (/О): (6.198)

(6.199)

де 2~вх (/О) = 2вхЯ/О) нормований вхідний опір навантаженого чотири-

полюсника.

Розв'язок рівняння (6.199) відносно 2вх (/О) має вигляд:

V (/О) т ф(/О)

2 вх (/О)

Підстановка /О = р дає:

2 вх (р)

V (/О) ±ф(/О) V (р) + ф( р)

(6.200)

V (р) ± ф( р)

Формула (6.200) дозволяє знайти нормований вхідний операторний опір навантаженого Ь, С чотириполюсника через поліном Гурвіца V(р) і функцію фільтрації ф( р), які визначаються згідно з вимогами до частотної характери­стики ослаблення за потужністю АР на підставі формул (6.42), (табл.6.1) і (6.21)

для поліномних фільтрів Баттерворта і відповідно (6.78) та (6.56) для фільтрів Чебишова.

Приклад 6.12. Визначити 2вх (р) фільтра-прототипу Баттерворта порядку п = 3.

Розв'язання. На підставі табл.6.1 для п = 3

V (р) = р3 + 2 р2 + 2 р +1. За формулою (6.21) визначаємо модуль функції фільтрації:

ф(О) = Оп, або ф(/О) = Оп . Після заміни /О = р і підстановки п отримаємо:

ф( р ) = ± р3. (6.201)

Тоді

2

ІУ (р) - Ф( р) = 2 р2 + 2 _ +1; _    _ з

1) [ за умови ф( _ ) = _ ;

[У (_) + ф( _) = 2 _3 + 2 _2 + 2 _ +1

2) -Ф(_) = 2_3 + 2_2 + 2_ +1; (р) 2) і                      2                   якщо ф(_) = - _

[У (_) + ф( _ ) = 2 _2 + 2 _ +1,

Відповідно, буде два варіанти функцій нормованого опору:

ад)=2 _Р2+22+2+_ 1; (6.202)

2 _ + 2 _ + 2 _ +1

= 2 _ 2+2 7 2+ 2_ +1. (6.203)

2 _ + 2 _ +1

Приклад 6.13. Визначити 2 вх (_) ФП Чебишова, який має порядок п = 2, а його нормовані корені _12 = -0,555893 ± і0,899454.

Розв'язання. Щоб скористатись формулою (6.79), спочатку визначимо: 2А = 1,111786 ;   А2 + 02 = 1,118035, тоді У (_) = 2є( _2 + 2А _ + А2 + О2) = 2є( _2 +1,111786_ +1,118035). На підставі формули (6.56) і табл.6.2 запишемо модуль функції фільтрації: ф(О) = єГ2 (О) = є(2О2 -1), або ф(іО) = є(2О2 -1).

Щоб визначити функцію фільтрації ф( _), слід скористатись формулою:

ф( _ ) = Тп (О) (6.204)

на підставі якої для п = 2

ф(_) = 4(2(і_)2 -1) = є(2_2 +1) = 2є(_2 + 0,5).

і2

Тоді для нижніх знаків у виразі (6.200) матимемо:

(_) + ф( _) = 2є( 2 _2 +1,111786_ +1,618035); [У (_) - ф( _) = 2є(1,111786_ + 0,618035);

~       = 2 _2 +1,111786_ +1,618035 вх (   =    1,111786_ + 0,618035 ' Обернену функцію отримаємо, якщо скористаємося верхніми знаками у формулі (6.200).

Здобуті у прикладах 6.12-6.13 ОВФ не реактансні, а мають всі ознаки ДДФ. Отже, доведено, що ОВФ Ь, С чотириполюсника, навантаженого на ак­тивний опір Я2, це - ДДФ.

Обернене твердження належить Дарлінгтону і відоме в теорії синтезу як теорема Дарлінгтона: ОВФ може бути реалізована реактивним чотириполюс­ником, навантаженим на активний опір. Як і реактансні функції, ОВФ наванта­женого ФП можна реалізувати східцевими схемами за першою формою Кауера. Порядок ОВФ визначає кількість реактивних елементів східцевої структури, яка утворює чотириполюсник. На кожному етапі розкладання у ланцюговий дріб виділяється або операторний нормований опір індуктивності подовжньої вітки, або операторна нормована провідність ємності поперечної вітки поліномного ФНЧ. На останньому етапі одразу виділяються два доданки: або операторний опір індуктивності з послідовно з'єднаним резистивним навантаженням Я2, або

операторна провідність ємності, до якої паралельно приєднується провідність навантаження 02. При реалізації фільтрів з характеристиками Баттерворта, а

також з характеристиками Чебишова за умови непарного п , внутрішній опір джерела і навантаження мають однакові значення (Яі = Я2). За умови парного

п фільтри Чебишова мають різні значення Я2 і Я^.

Наступні два приклади ілюструють реалізацію ОВФ, розглянутих у при­кладах 6.12 і 6.13.

Приклад 6.14. Знайти схему Ь, С фільтра, навантаженого з обох боків, зі вхідним опором (6.202).

Розв'язання. Від функції 2 вх (_) перейдемо до неправильного дробу:

~, (   = 2_3 + 2_2 + 2_ +1

вх 2

2 р2 + 2 р+1

який запишемо у вигляді ланцюгового дробу:

2 р3 + 2 р 2 + 2 р +1 2 р3 + 2 р 2 + р 2 р 2 + 2 р +1

р Yi(Р) = рСі

2 р2 + 2 р +1 2 р 2 + 2 р

р +1 і 1 р +1

р +1 - 7з(р) = рСз + G2.

Дарлінгтон Сідней, Sidney Darlington (1906-1997) - американський вчений, закінчив Гарвардський ун-т (1928), захистив дисертацію у Колумбійському ун-ті (1940). Працював (1929-1971) у лабораторії Бела, разом з колегою К. Шеноном за­клав підвалини значних досягнень у мережах зв'язку, які сприяли впровадженню інтегральних схем, комп'ютерів і сучасного зв'язку. Розробив методи синтезу елек­тричних кіл. Працював в області радіолокації, зокрема запропонував використання радіоімпульсу з лінійною частотною модуляцією (1947). Винайшов спосіб об'єднання кількох транзисторів в одному корпусі, так звану схему Дарлінгтона.

Отже, ОВФ кола матиме вигляд:    7ВХ (р) = р + 2 р +

1

р +1

а нормовані значення елементів відповідної схеми (рис.6.36) становитимуть: С = 1; = 2; С2 = 1; в2 = і~2 = 1.

Рисунок 6.36 - Схема, реалізована у прикладі 6.14

Якщо розкласти у ланцюговий дріб функцію (6.203), отримаємо:

(Р) = Р + 1

2 р +

р +1

а нормовані значення елементів відповідної схеми (рис.6.37, а) становитимуть: ~ = 1; С2 = 2; І2 = 1; ^2 = ^2 = 1.

Я = 1

ПФ

Е

С

1

1—т

а б Рисунок 6.37 - Схеми, реалізовані у прикладах: а - 6.14; б - 6.15

Приклад 6.15. Знайти схему Ь, С фільтра, навантаженого з обох боків, якщо його вхідний опір відповідає виразу, знайденому у прикладі 6.13.

Розв'язання. Запишемо функцію 2 вх (р) у вигляді ланцюгового дробу:

2 р2 +1,111786р +1,618035 2 р2 +1,111786р 1,111786р+0,618035

1,798907р -> рЬ

1,111786р2 + 0,618035

1,618035

0,687121р + 0,3819664 — рС + в2.

(р) = 1,798907р + 1

0,687121р + 0,3819664' а нормовані значення елементів відповідної схеми (рис.6.37, б) становитимуть: Ь = 1,798907; С = 0,687121; Я = 2,618.

6.13 Перетворення схеми ФП у схеми інших типів. Денормування елементів перетворених схем

В задачах апроксимації від вимог до частотної характеристики ослаблення фільтрів інших типів переходять до вимог відносно ФНЧ, який вважається про­тотипом. Саме для ФП визначається нормована ОВФ, а потім і схемна реаліза­ція, від якої переходять до схеми заданого фільтра. В даному підрозділі на при­кладі кола (рис.6.3, а) розглянуто, як вирішується ця задача.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації