Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 105

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

За виглядом характеристик опори поділяють на симетричні та несимет­ричні.

Симетричними називають такі опори, у яких і(и) = -і(-и). Характери­стика симетричного опору є непарною функцією, а його параметри залежать тільки від величини (і не залежать від знака) прикладеної напруги.

Прикладом симетричного опору є варистор, що має характеристику, зоб­ражену на рис.7.2, а. Варистори виготовляють з керамічних напівпровідників на основі карбіда кремнія.

У несиметричному опорі і(и) ф -і(-и). Наприклад у діода, вітки характе­ристик (рис.7.2, б) значно відрізняються при різній полярності прикладеної на­пруги: при "прямому" знаку напруги провідність значно більша, ніж при "зво­ротньому". Характеристика діода в "прямому" напрямі має при малих напругах крутість, що збільшується, а при великих (у стані насичення) - таку, що зменшується.

Електрично керованими називають нелінійні опори (багатоелектродні радіолампи, транзистори, тиристори, фоторезистори, фотодіоди), струм через які є функцією однієї чи кількох керуючих напруг (струмів). Так, струм колек-

Сегнетодіелектриками називають речовини, діелектрична проникність яких є функцією електричного поля. Назва «сегнетодіелектрики» виникла тому, що вперше цю властивість було знайдено у кристалів сегнетової солі.тора /к транзистора залежить не тільки від напруги ике між колектором і емітером, але й від струму бази /б (рис.7.3):

Ік = /(ике, Іб ) .

Керовані опори описуються сім'єю характеристик, а отже, сім'єю пара­метрів, визначаючи котрі беруть як незалежну змінну (дію) ту чи іншу напругу (струм). Так, використовуючи систему g-параметрів для біполярного транзи­стора, увімкненого за схемою зі спільним емітером, можна записати динамічні провідності:

#11 ; #12

и к = соті

; #21

и б =соті

; #22

ик =соті

и б = соті

 

І і

1

 

 

 

1

 

и

 

у

 

------

0

и

аб Рисунок 7.2 - Статичні характеристики нелінійних опорів

Ік, мА А

60 -

40 -20

0

Іб = 3 мА Іб = 2 мА

Рисунок 7.3 - Сім'я вихідних статичних характеристик біполярного транзистора в схемі із спільним емітером

Більшість нелінійних опорів можна вважати практично безінерційними. До інерційних опорів, крім розглянутої вище лампи розжарювання, належать так звані терморезистори (термістори), які бувають двох видів: напівпровідникові та металеві. У перших опір зменшується із збільшенням тем­ператури, у других - навпаки. Приклад металевого термістора - це баретер, котрий конструктивно виконують у вигляді сталевої спіралі, розміщеної у скля­ному сосуді, заповненому воднем під певним тиском.

Якщо ВАХ елемента має ділянку з від'ємною крутістю (аЬ на рис.7.1, б), то цей елемент має від'ємний опір. Двополюсники, котрі мають характеристи­ки, подібні до зображеної на рис.7.1, б, широко використовують в генераторах коливань різної частоти і форми.

Загалом, нелінійні опори надають електричним колам властивості, прин­ципово недосяжні в лінійних колах, наприклад, за їх допомогою здійснюють стабілізацію струму, стабілізацію напруги, підсилення постійної напруги тощо.

7.4 Диференціальні рівняння нелінійних кіл

Щоб отримати систему рівнянь, яка визначає процеси в нелінійних колах, використовують закони Кірхгофа. При цьому справедливі всі правила визна­чення кількості вузлів і контурів, сформульовані для лінійних кіл.

Методику отримання диференціального рівняння доцільно розглянути на прикладі нелінійного кола з послідовним (рис.7.4, а) та паралельним (рис.7.4, б) з' єднанням нелінійних елементів.

Застосувавши другий закон Кірхгофа для кола (рис.7.4, а), можна записа­ти:

аб

Рисунок 7.4 - Схеми нелінійних кіл

Якщо вирази (7.2), (7.4), а також співвідношення

(7.5)и і )

ї¥(0   ї¥ її

їі      її їі

підставити до рівняння (7.5), останнє матиме вигляд:

(ї) + ї¥ її + /є (я) = е(і).

її їі (7.6)

їд

Оскільки ї(і) = , диференціювання (7.6) за часом дозволяє ввести до

рівняння струм:

ї

ї/я її   ї2 ¥

Сі ск    їі2 ^ &)     & ск2    їд & & і після перетворення отримати диференціальне рівняння відносно струму:

2

ї¥ ї ї   ї/є їд їе

■ +

ї¥ ї2 ї

її їґ

■ +

ї/я   ї2¥ її

+

її     її2 їі

її ї/є ., ч їе + ^єї(і) = їі    їд їі

(7.7)

Оскільки

1

сСі Сі       їі     їі їд    Єд (ис)

де Яс(і), Ьс(і), Сс(ис) - відповідно динамічні опір, індуктивність та ємність, то диференціальне рівняння для струму можна записати у вигляді:

т ї2ї їі

їії її її їі її     1   . ч їе — + — ї(і) = —. їі   Єї їі

(7.8)

Як у формі (7.7), так і у вигляді (7.8), диференціальне рівняння нелінійне. У вигляді (7.7) нелінійні коефіцієнти визначаються характеристиками еле­ментів, а у вигляді (7.8) - динамічними параметрами елементів.

Застосувавши закони Кірхгофа до кола з лінійним опором Я і паралель­ним з'єднанням нелінійних і і Є (рис.7.4, б), можна записати:

ї(і) = їі ) + їє ); (7.9) ї¥ (їі)

Оскільки   їє (і) =

Яї(і) +

ї¥ (їі) їі їд їиє

їиє їі

їі

е( );

- иє ) = 0.

(7.10)

(7.11)

їє (і)

їі

їд ї ¥(їі) їд

, з урахуванням виразу (7.11) виходить:

ї2¥(їі) ( їїі ^2 , ї¥(їі) ї\

їиє    їі2 їиє

їі

+

їїі    їі 2

Підстановка останнього співвідношення до виразу (7.9) призводить до рівняння:

i(t) = Il (t) +

2

dq d ¥ (lL) dlL

dt

dlL

dt

+

f dq d¥(lL)л duc dlL d2 L

dt2

Підставивши вираз (7.12) до (7.10), а також враховуючи, що

dF(iL) = dFfa) dt diL dt

можна знайти нелінійне диференціальне рівняння відносно струму iL:

(7.12)

R

dq (lL )

duc dlL

d2lL

dt2

+

R

2

dq d ¥(lL) dlL

duc   dlL2 dt

+ d¥(iL)

dlL

dlL

dt

+ RiL(t) = e(t), (7.13)

або, використовуючи динамічні параметри нелінійних елементів:

d2lL

Rcd Ld 2L

d d dt2

+

RC   dLd dlL

dlL dt

dlL

dt

+ RiL (t) = e(t).

(7.14)

Аналіз розглянутих у даному підрозділі прикладів дозволяє зробити такі висновки:

1. За однакової конфігурації схеми порядок диференціального рівняння кола з нелінійними елементами буде такий самий, як і лінійного кола (вище ви­значалися рівняння другого порядку).

2. Диференціальне рівняння можна записати у двох формах - за допомо­гою нелінійних характеристик (7.2) - (7.4) або через динамічні параметри.

3. Нелінійні коефіцієнти диференціального рівняння залежать від того, який аналітичний вигляд мають характеристики нелінійних елементів.

7.5 Нелінійні кола постійного струму

Принципи аналізу стаціонарного режиму нелінійного кола постійного струму доцільно розглянути на прикладі простих схем з послідовним (рис.7.5, а) та паралельним (рис.7.5, б) з'єднанням нелінійних опорів.

о

u0

R1(l)

R2(l)

u1

u2

l0

і JL і

R2(l)

аб

Рисунок 7.5 - Схеми кіл з послідовним і паралельним з'єднанням

нелінійних опоріНапруги та струми позначено в даному підрозділі малими літерами, оскільки цей матеріал справедливий не тільки для постійного струму, але й для миттєвих значень змінного струму.

Нехай відомо значення прикладеної ЕРС е та ВАХ нелінійних опорів (рис.7.6, а):

і = Фі(«); (7.15) і = ф2(м). (7.16)

Рівняння кола за другим законом Кірхгофа можна записати у вигляді:

е = и1 +и2 (7.17)

або

е = Яіоох) + R2(i0)i0,

де ^>1(і0), ^2(і0) - статичні опори елементів, які є функціями струму і0. З останнього рівняння виходить, що

10

(7.18)

ЯіОо) + Я2О0)

Визначення струму за формулою (7.18), яка фактично є законом Ома, уск­ладнене тим, що опори Я1(і0) та Я2(і0) є функціями струму, і задача зводиться

до розв'язання нелінійного диференціального рівняння. Крім того, як правило, точні аналітичні вирази ВАХ нелінійних опорів невідомі, а тільки апроксиму-ються з деякою точністю.

Якщо ВАХ елементів задано графічно (рис.7.6, а), режим кола розрахо­вують у такий спосіб.

0

Ф2(и) ф0(и) т1

и1(і0)    и 2(і0)

е и

і0

0

аб

Рисунок 7.6 - Графічний розрахунок кола послідовно з'єднаних

нелінійних опорів

Обидві характеристики будують в одній системі координат (і, и), але для однієї ВАХ і = ф1(и) початком координат є точка 0 і напругу відкладають вправо від цієї точки. Для іншої ВАХ і = ф2(и) початком координат є точка 0'осі абсцис, де и = е, і значення напруг відкладають вліво від цієї точки (рис.7.6, б). Криві перетинаються в точці т, котра і визначає режим кола.

Дійсно, в цій точці струм і0, спільний для двох опорів, задовольняє

рівнянням (7.15) і (7.16), а напруги и1(і0) та и2(і0) - рівнянню (7.17).

Для окремого випадку, коли один з опорів, наприклад Я2, лінійний, його

ВАХ будують як пряму (на рис.7.6, б позначена пунктиром), проведену з точки 0' під кутом, пропорційним опору Я2 .

Зазначимо, що струм і0 можна знайти інакше, підсумовуючи, згідно з рівністю (7.17), величини и1 та и2 при кожному значенні струму і, тобто до­даючи графіки і = ф1(и) та і = ф 2(и) за напругою. Точка т1 перетину сумарної ВАХ і = ф0(и) з вертикаллю, проведеною з точки е на осі абсцис, і визначатиме шуканий струм і0 (рис.7.6, а).

Аналогічно розв'язують задачу розрахунку паралельного кола (рис.7.5, б). Згідно з першим законом Кірхгофа

і0 = і1 + і2 .

Якщо заданий загальний струм і0, а слід знайти загальну напругу и0 і струми віток і1 та і2, на одному графіку будують ВАХ елементів и = та и = /2 (і), причому для однієї з характеристик початком координат є точка і = і0 (рис.7.7, а). Точка п перетину двох ВАХ визначає величини и0, і1, і2.

аб

Рисунок 7.7 - Графічний розрахунок кола паралельно з'єднаних

нелінійних опорів

Якщо задано напругу и0, доцільніше побудувати характеристики (рис.7.7, б) і = ф:(и) та і = ф2(и). Ординати цих ВАХ для заданого значення и0 визначають струми іх (и0) та і2(и0), а сума цих ординат - загальний струм і0. На рис.7.7, б сумарну ВАХ позначено і = ф0(и).

Приклад 7.1. Схема кола постійного струму з нелінійним опором Щ зоб­ражена на рис.7.8, а. Параметри кола: Е = 1,5 В, Щ = 33 Ом, Я2 = 20 Ом. ВАХ нелінійного елемента Щ3(і) наведена в табл.7.2. Розрахувати струми усіх віток графічним методом.

Таблиця 7.2 - ВАХ нелінійного елемента

и, В 0

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

і, мА 0

0

2

6

13

25

80

135

і

О

Е и23

I з

5

Я2 12

Яз(і)

і

т

и(г)

и 4

Яз(і)

*4

а

б

в

Рисунок 7.8 - Схеми нелінійних кіл з мішаним і послідовним з'єднанням опорів

Розв'язання.

1. Будуємо ВАХ нелінійного опору і3(и) за даними табл.7.2 і ВАХ

и

лінійного опору і2(и) = (рис.7.9). Пряма і2(и) проходить через початок

координат. Другу точку для її побудови візьмемо таку: і2(1) = 1/20 = 0,05 А.

2. Підсумовуючи ці характеристики, знаходимо і23(и) - ВАХ еквівалентного нелінійного опору, утвореного лінійним опором і?2 та нелінійним Л*3 ( і).

3. Будуємо ВАХ ^(и) лінійного опору Я1 як пряму (на рис.7.9 позначена пунктиром), проведену з точки и = Е під кутом, пропорційним опору Л*2, при­чому значення напруг відкладаємо вліво від цієї точки. Рівняння цієї ВАХ має вигляд:

і1(и) = -1Г(и - Е) = ~ІГ~. Щоб побудувати цю пряму, знайдемо значення

^(О) = (1,5 - 0)/33 = 0,0454 А. 4. ВАХ і1(и) та і23(и) перетинаються в точці т, котра і визначає режим кола: и23 « 0,53В; І1 « 30 мА; І2 « 27 мА; І3 « 3 мА.

Рисунок 7.9 - Графічний розрахунок кола у прикладі 7.1

7.6 Апроксимація характеристик нелінійних елементів

Зазвичай характеристика у = /(х) нелінійного елемента визначається не

теоретично, а експериментально і тому задається графіком чи таблицею. Але для аналізу кола ці характеристики мають бути подані в аналітичній формі. Зрозуміло, що аналітична залежність лише приблизно визначає фактичну фор­му характеристики, хоча наближення може бути як завгодно точним. Приблиз­не подання нелінійної характеристики називають апроксимацією.

Вибір способу апроксимації безпосередньо не пов'язаний з фізичною природою елемента; цей спосіб обумовлюється формою нелінійної характери­стики та розрахунковими міркуваннями.

Якщо дія на елемент не виходить за певні межі (наприклад, х1...х2 на

рис.7.10, б), апроксимуюча функція має апроксимувати тільки так звану робочу ділянку характеристики, тобто ділянку, в межах якої може переміщуватися ро­боча точка (МИ на рис.7.10). Чим менша робоча ділянка кривої, тим простішою може бути апроксимуюча функція.

І (X)

0

N

arctg 5 о

N

„ ,. ■ ■ •

Рисунок 7.10 - Апроксимація характеристик нелінійних елементів

Існує багато різних методів апроксимації характеристик нелінійних еле­ментів. До найрасповсюдженіших методів належать апроксимація степеневим поліномом та кусково-лінійна (метод А.І. Берга ).

Нехай до нелінійного елемента прикладена постійна дія х0 (рис.7.10), так

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації