Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 106

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

зване "зміщення". Тоді у0 = /(х0) - значення функції в точці х0.

Змінюючи х0 на Ах, функцію у можна розвинути в ряд Тейлора і записа­ти:

у = / (Х0 + Ах) = / (Х0) + /' (Х0х + і /' (Х0х 2 +1 /'" (Х0х3 +... , (7.19)

де /'(х0) = ^0 (крутість), /"(х0), - значення похідних функції /(х) в точці х = х0 .

Оскільки Ах = х - х0, вираз (7.19) можна записати так:

У = /(х) = /(Х0) + /'(Х0)(х - Х0) +   /" (Х0)(х - Х0)2 + к . (7.20)

Формула (7.20) є аналітичним виразом характеристики нелінійного еле­мента у вигляді степеневого ряду. Якщо обмежитись деяким числом п до­данків, отриманий поліном п-го степеня буде приблизно апроксимувати цю характеристику:

У = /(х) = IX (х - Х0)к . (7.21)

к=0

Коефіцієнти ак не обов'язково мають бути пропорційними похідним функції в точці х0. Коефіцієнти ак підбирають так, щоб апроксимуючий

Берг Аксель Іванович (1893-1979) - російський вчений у галузі радіоелектроніки та кібернетики, академік (1946), інженер-адмірал (1955), Герой Соціалістичної Праці (1963). Основні праці присвячені розробці теорій і методів проектування та розрахун­ку приймально-передавальних пристроїв, стабілізації частоти генераторів, питанням радіопеленгування і радіолокації. Автор багатьох підручників з радіотехніки.поліном (7.21) найкраще відображав робочу ділянку характеристики, а число п було мінімально можливим.

Інший метод апроксимації - кусково-лінійний - грунтується на тому, що характеристика y = f (x) поділяється на кілька (у найпростішому випадку - на

дві чи три) ділянок, які наближено вважаються прямими. Для характеристики, показаної як приклад на рис.7.10, б, вираз для апроксимуючої функції матиме вигляд:

0,   x < x1;

y = f (x) = <S (x - x1),   x1 < x < x2; (7.22)

ys,   x > x2 ,

де S = ys /(x2 - x1) - крутість ділянки функції між точками x1, x2 .

Використовувати кусково-лінійну апроксимацію доцільно, якщо робоча ділянка охоплює значну частину характеристики (наприклад, MN на рис.7.10, б). Застосування степеневого полінома в цьому випадку усклад­нюється тим, що для забезпечення апроксимації із заданою точністю необхідне велике значення п .

Залежно від вигляду нелінійної характеристики, застосовують також інші методи апроксимації, зокрема, степеневою, показниковою або логарифмічною функціями, але ці методи менш поширені.

7.7 Нелінійний активний опір при синусоїдній дії

Нехай до нелінійного опору R(i) прикладено напругу

u(t) = U0 + Um cos cot. (7.23)

На рис.7.11 зображена ВАХ опору і показана побудова кривої струму i(t) через цей опір. Внаслідок нелінійності характеристики форма струму відрізняється від косинусоїдної. Функцію i(t) можна подати рядом Фур'є:

оо

i(t) = I0 + Z Imk cos(k«t - Vk ), (7.24)

k=1

де I0 - постійна складова струму; Imk; \\jk - амплітуди та початкові фази гармонічних складових, причому

1 п 2 п

I0 = j i(mt)d(£)t;     Imk =—j i(cot)cos(kcot)dcot. (7.25)

п 0 п 0

Поява у складі струму вищих (k > 2) гармонік обумовлена нелінійністю ВАХ. Отже, нелінійні елементи, загалом, і нелінійні опори, зокрема, мають властивість перетворення частоти, оскільки функція відгуку містить коливання з новими частотами, яких немає у складі функції дії. Цим нелінійні кола прин­ципово відрізняються від лінійних, в яких виникнення вищих гармонік немож­ливе.

В радіотехніці нелінійні перетворення використовують для генерування коливань складної форми, множення частоти тощо.

Рисунок 7.11 - Режим великих коливань

Розрахунок складових струму i(t) при заданих величинах амплітуди

змінної напруги Um та постійного зміщення U0 виконують різними способами,

залежно від методу апроксимації нелінійної характеристики.

1. Якщо ВАХ нелінійного опору можна апроксимувати степеневим поліномом (7.21), тоді поблизу точки u0 = U0

i = a0 + Xak(u - u0) . (7.26)

k=1

У виразі (7.26)

a0 = i0 = u0/ R(uo),

де i0 - так званий струм спокою, тобто струм, який проходить через нелінійний елемент, коли на нього діє тільки постійна напруга u0 (рис.7.11); R(u0) - статичній опір при u = u0.

Коефіцієнт a1 = S0 = 1/ Rd (u0) дорівнює крутості у вихідній точці.

Оскільки у нашому випадку u(t) = U0 + Um cos rot і розвинення в ряд про­ведене відносно напруги, яка дорівнює зміщенню (u0 = U 0), миттєве значення струму становитиме:

i = i0 + S0Um cos rot + a2Um cos rot +... + anUm cosn rot = i0 + X akUm cos rot .(7.27)

k=У разі так званих малих коливань, коли змінна напруга настільки мала, що робочу ділянку характеристики можна вважати прямою (ab на рис.7.12), членами полінома (7.27) другого і вищих степенів можна знехтувати:

i « i0 + S0Um cos cot.

При цьому постійна складова I0 у виразі (7.24) дорівнює струму спокою

I о = i0 як у статичному (за відсутності змінної напруги), так і у динамічному

режимах, тобто в обох режимах через опір проходить однаковий постійний струм.

Оскільки i0 = u0 / R(u0), то I0 = U0 / R(U0) і тому статичний опір назива­ють опором постійному струму.

Im1 = S0Um

Рисунок 7.12 - Режим малих коливань

Оскільки амплітуда струму основної частоти (першої гармоніки), позна­чена у формулі (7.24) як Іт1, становить:

то динамічний опір називають опором змінному струму.

В режимі малих коливань величина Іт1 від зміщення и 0 не залежить.

В режимі великих коливань (рис.7.11) складовими вищих степенів ряду (7.27) нехтувати не можна, а отже, форма струму відрізнятиметься від сину­соїдальної. Щоб визначити амплітуди гармонічних складових струму, користу­ються відомими тригонометричними формулами кратних аргументів.

На відміну від режиму малих коливань, режим великих коливань має такі особливості:

- постійна складова ІО не дорівнює струму спокою і0. Загалом величина ІО може бути як менше, так і більше іО. Різниця величин Ій = 0 - іО| залежить за інших однакових умов від амплітуди змінної напруги ит, і тому дозволяє

виявляти (детектувати) цю напругу;

- між амплітудами першої гармоніки струму і прикладеної напруги не­має лінійної залежності.

Наведений аналіз використання даного методу апроксимації показує, що при заданій дії характер і величина продуктів нелінійності визначаються ко­ефіцієнтами розкладання а1, а2,...,ак, які у свою чергу залежать від напруги

зміщення и0 = и0. Отже, зміна V0 призводить до зміни характеру відгуку нелінійного кола, хоча сам нелінійний елемент залишається тим самим.

2. Якщо ВАХ нелінійного опору можна апроксимувати двома пря­молінійними відрізками за формулою (7.22):

Г О,  и < ии ;

і(и) = \ и (7.28)

- ии), и > ии ,

зручніше користуватися методом А.І. Берга, згідно з яким розрахунок відгуку нелінійного елемента визначається єдиним параметром - абсцисою точки пере­ходу А(Пи ,О) між апроксимуючими відрізками (рис.7.13).

Рисунок 7.13 - До розрахунку відгуку за методом А.І. Берга

На рис.7.13 побудована крива миттєвих значень струму через нелінійний опір. При заданих значеннях и0 та ІІт струм матиме форму імпульсів, які є

"відсіченими" відрізками косинусоїди. Якщо виразити тривалість імпульсів у градусах, тоді кут відсікання 0 - це половина тривалості імпульсу струму.

Очевидно, що 0 змінюється в межах: - п < 0 < п .

При заданій апроксимації ВАХ (7.28), можна обмежитись розглядом об­ласті характеристики правіше точки A. Якщо підставити миттєве значення на­пруги (7.23) до виразу (7.28) при u > Uu, миттєве значення струму

i(0 = S(Um cos rot + Uo - Uu). (7.29) Згідно з визначенням кута відсікання при rot = 0 струм i = 0:

0 = S(Um cos0 + Uo - Uu), (7.30)

звідки

cos0 = Uu -U0 . (7.31)

Um

m

Параметр ВАХ нелінійного опору Uu може бути додатним, від'ємним або

нульовим залежно від властивостей нелінійного елемента.

Враховуючи вираз (7.31), миттєве значення струму (7.29) становитиме:

i(t) = S(Um cos rot - Um cos 0) = SUm (cos rot - cos 0). (7.32)

Тоді за формулами (7.25) постійна складова і амплітуди гармонічних складових струму дорівнюватимуть:

1 0 SU I0 = -j SUm (cos rot - cos 0) drot = —m (sin 0-0 cos 0);

п 0 п

2 0 SU Im1 = — j SUm (cos rot - cos 0) cosrot drot = — (0 - sin 0 cos 0);

П 0 п

20„гт . ^ч    ^7ч,      2SUm sink0cos0-kcosk0sin0 ,

— I SUm(cosrot - cos0)cos(krot)drot =-—-2-, k > 1.

п 0 п k(k2 -1)

Максимальне значення струму можна знайти з виразу (7.32) за умови

ot = 0 :

Imax = SUm (1 - cos 0). (7.33)

Використовуючи співвідношення (7.33), обчислюють нормовані значення струму, або коефіцієнти Берга:

а 0 = у^;  а = -      = ^, (7.34)

Imax Imax Imax

які залежать (для даної гармоніки) тільки від кута відсікання.

Знаючи коефіцієнти ак, можна одразу визначати амплітуди гармонік

струму. На рис.7.14 як приклад показані графіки коефіцієнтів Берга.

Режими роботи нелінійного кола класифікують за величиною кута відсікання. Режим класу А буде, якщо 0 = п. При цьому струм містить тільки постійну складову і коливання основної частоти - подібно до розглянутого ви­ще випадку малих коливань. Інші режими розділяють так: клас АВ відповідає п /2 < 0 < п; для класу В значення 0 = п / 2 ; для класу С - 0 < п / 2.

Отже, метод Берга дозволяє виразити всі величини, що характеризують режим кола, через кут відсікання, величина якого (при заданій амплітуді дії ит) визначається зміщенням и0 . Тобто, варіація кута 0 відповідає описаній у

попередньому методі зміні виду нелінійності кола за рахунок вибору и 0.

а 1 0,5 0,4 0,3

0,2 -0,1 -

0

-0,1

20   40   60 80

160 180

-►

0,град

Рисунок 7.14 - Графіки коефіцієнтів А.І. Берга

Існують також інші методи розрахунку нелінійного кола при синусоїдній дії, наприклад, квазілінійний. Відомо, що з усіх гармонічних складових відгуку найбільшу величину зазвичай має перша гармоніка, яка використовується в різних пристроях, наприклад, у генераторах синусоїдної напруги. Тому суттю квазілінійного методу є встановлення зв'язку між амплітудою першої гармоніки струму їтХ  з амплітудою синусоїдної дії ит  за допомогою так званої

коливальної характеристики Іт1(ит). Щоб розрахувати середню крутизну ко­ливальної характеристики 5"сер = Іт1 / ит, використовують розглянуті вище ме­тоди степеневого полінома та Берга.

Приклад 7.2. До нелінійного опору (рис.7.8, б), ВАХ якого задана в

табл.7.2, прикладена напруга и(ґ) = и0 + ит соб(2п -10 ґ) В. Визначити графічно залежність струму через нелінійний елемент від часу, якщо  и0 = 0,8 В, ит = 0,2 В. Як зміниться і(ґ), якщо послідовно з нелінійним елементом увімкнути лінійний опір Я4 = 5,1 Ом (рис.7.8, в)? Розв'язання.

1. Згідно з даними табл.7.2 будуємо ВАХ нелінійного опору і = ф3(и), а також графік миттєвого значення напруги и ), попередньо визначивши період

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації