Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 107

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

її повторення: Т = 1// = 1/103 = 10-3 с-1 (рис.7.15, а).

Будуємо часову діаграму струму (рис.7.15, б), проектуючи відповідні точ­ки ВАХ на вісь ординат і(ґ) та зберігаючи однаковий масштаб по осі часу для

часової діаграми струму і прикладеної напруги (рис.7.15, а).

2. Якщо послідовно з нелінійним елементом увімкнено опір і?4 = 5,1 Ом, струм і(ґ) знайдемо аналогічно. Для цього використуємо сумарну ВАХ і = ф(и), яку визначимо, підсумовуючи, згідно з другим законом Кірхгофа, ве­личини и3 та и4 при кожному значенні струму і (рис.7.8, в), тобто додаючи

графіки і = фз(м) та і = ф4(и)

и

за напругою. Часова діаграма струму для

цього випадку зображена на рис.7.15, б пунктирною лінією.

' і, мА

і, мАН

120

80

40

0     0,2     0,4   0,6     и0 1,0

а

и, В 0     0,5     1,0 і, мс

и, В

б

мс

Рисунок 7.15 - Визначення струму графічним методом у прикладі 7.2

Приклад 7.3. Апроксимувати ВАХ нелінійного резистивного елемента (див табл.7.2) поблизу робочої точки и0 = 0,8 В поліномом другого степеня,

вибравши такі вузли інтерполяції: и0 - 0,2 В; и0 В; и0 + 0,2 В.

Знайти постійну складову і амплітуди гармонічних складових струму че­рез нелінійний елемент, якщо до нього прикладено напругу и(ґ), параметри

якої задані у прикладі 7.2.

1. Скористаємось формулою (7.26) і запишемо ВАХ нелінійного елемента у вигляді полінома другого степеня:

і = а0 + а1(и - и0) + а2(и - и0) .

Використовуючи значення струму в заданих точках інтерполяції, знайде­мо коефіцієнти а0 , а1 , а2 з системи рівнянь:

0,006 = а0 + а1(0,6 - 0,8) + а2(0,6 - 0,8)2; « 0,025 = а0 + а1(0,8 - 0,8) + а2(0,8 - 0,8)2; 0,135 = а0 + а1(1,0 - 0,8) + а2(1,0 - 0,8)2.

Виконавши перетворення, матимемо:

Г0,006 = а0 - 0,2а1 + 0,04а2;

«0,025 = а0; (7.35)

0,135 = а0 + 0,2а1 + 0,04а2.

Підсумовуючи та віднімаючи перше та третє рівняння системи (7.35), зна­ходимо: а2 = 1,1375 См; а1 = 0,3225 См.

Отже, апроксимовану ВАХ нелінійного елемента запишемо у вигляді:

і = 0,025 + 0,3225- 0,8) + 1,1375- 0,8)2 А. (7.36)

2. Щоб знайти постійну складову і амплітуди гармонічних складових струму, підставимо вираз для напруги и ) = 0,8 + 0,2еов(2п-10 і) до рівняння

(7.36):

і = 0,025 + 0,3225 ■ 0,2 ■ єоб(2п -103і) +1,1375 ■ 0,22 єоб2(2п -103і) = = 0,025 + 0,0645 ■ єоб(2п ■ 103 і) + 0,0455 ■ 0,5 ■ [1 + єоб(4п ■ 103 і)] = = 0,04775 + 0,0645 ■ еов(2л ■ 103 і) + 0,02275 ■ еов(4л ■ 103 і). Отже, постійна складова струму становить І0 = 0,04775 А; амплітуда першої гармоніки Іт1 = 0,0645 А; другої - 1т2 = 0,02275 А.

Приклад 7.4. Виконати кусково-лінійну апроксимацію ВАХ транзистора КТ315, яку задано таблично (табл.7.3).

Таблиця 7.3 - ВАХ транзистора КТ315

иб, В

0

0,5

0,75

1,0

1,25

1,5

ік, мА

0

0,05

0,25

0,6

1,0

1,4

Розв'язання. За даними табл.7.3 побудуємо ВАХ транзистора (рис.7.16, а). Провівши дотичну до лінійної ділянки характеристики, знайдемо абсцису точки переходу А(17и ,0) між апроксимуючими відрізками прямих:ии = 0,6 В. За графіком знайдемо крутість ВАХ поблизу робочої точки Б(1,1; 0,75) на середині лінійної ділянки:

1,0 - 0,6 0,4

5 = Аік

Аи,

иб =1,1

1,25 -1,0 0,25

= 1,6 мА/В.

Отже, апроксимовану ВАХ транзистора можна записати у вигляді:

Г     0,   иб < 0,6 В ік(и) = « мА. к       |1,6(иб - 0,6), иб > 0,6 В

ік, мА

1,2 Ь

ік, мА

0,8

0,4

0

а

1 тах

соі

соі

Рисунок 7.16 - Графіки до прикладів 7.4 - 7.5: а - кусково-лінійна апроксимація ВАХ; б - визначення струму методом А.І. Берга

Приклад 7.5. На вхід транзистора з апроксимованою ВАХ (див. приклад 7.4),  діє коливання   и ) = 0,8 + 0,6єоб со0і В.  Знайти постійну складову і

амплітуди гармонічних складових струму через нелінійний елемент.

Розв'язання.

1. Визначимо кут відсікання за формулою (7.31):

cos Є = U^UL = MzM = _0,33; 9 = 109,5° * 110°. Um 0,6

2. Визначимо максимальне значення струму за формулою (7.33):

I max = SUm (1 _ cos 9) = 1,6 ■ 0,6 -1,33 = 1,28 мА.

3. За графіками (рис.7.14) знайдемо значення коефіцієнтів Берга: а0(1100) = 0,38; а1(1100) = 0,53; а 2(1100) = 0,13; а3(1100) = _0,05.

4. За формулами (7.34) розрахуємо амлітуди гармонічних складових струму колектора:

I0 = а 01 max = 0,38 ■ 1,28 = 0,48 мА; Im1 = а1І max = 0,53 ■ 1,28 = 0,68 мА; Im 2 21 max = 0,13 -1,28 = 0,17 мА; Im3 = а3 |I max = 0,05 -1,28 = 0,06 мА.

7.8 Запитання та завдання для самоперевірки і контролю засвоєння знань

1. Визначити поняття: нелінійне коло, нелінійний елемент, статичний та динамічний параметр нелінійного елемента.

2. Які методи розрахунку чинні для нелінійних кіл? Чи можна застосува­ти до нелінійного кола метод еквівалентного генератора?

3. За якими ознаками класифікують нелінійні елементи? Які види нелінійних опорів ви знаєте?

4. Назвати властивості нелінійних кіл, які принципово недосяжні в лінійних колах.

5. Розрахувати струми усіх віток кола постійного струму з нелінійним опором   Я3   графічним  методом  (рис.7.8, а).  Параметри  кола:   Е = 1,1 В,

Я1 = 62 Ом, Я2 = 100 Ом. ВАХ нелінійного елемента Я3(і) наведена у табл.7.4. Таблиця 7.4 - ВАХ нелінійного елемента

u, Б     0,1 0,2

0,3    0,4 0,5

0,6 0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

i, мА     0 0

0     0,5 2

5 10

18

28

42

60

Відповідь: І1 « 8 мА; 12 « 5 мА; І3 « 3 мА.

6. Міст на рис.7.17, а складено з лінійних опорів Я1 = Я3 = 1 кОм і Я2 = Я4 = 2 кОм. На вихід моста увімкнено нелінійний опір Я5, ВАХ якого на­ведена у табл.7.5. На вході моста діє джерело постійної ЕРС 120 В. Знайти на­пругу і струм на виході моста.

Таблиця 7.5 - ВАХ нелінійного елемента

и, В

0

8

10

12

14

15

16

17

18

19

20

і, мА

0

1

3

9

20

30

48

75

120

207

310

Вказівка. Скористатись теоремою про еквівалентне джерело напруги. Відповідь: ивих = 14 В; Івих = 20мА.

7. Чутливим елементом у системі автоматичного регулювання напруги є міст (рис.7.17, б). У кожному з двох протилежних плеч моста увімкнений нелінійний опір Я(і), ВАХ якого наведена у табл.7.6. У двох інших плечах мос­та увімкнені однакові лінійні опори Я. Міст не навантажений.

Визначити: 1) величину опорів Я, при яких міст врівноважено, якщо на­пруга живлення моста и1 = 220 В; 2) напруги на виході моста при змінюванні

напруги и1 на +20 та -20 В.

Таблиця 7.6 - ВАХ нелінійного елемента

и, В 0

20

40

60

80

100

110

120

і, мА 0

1,5

4,0

7,5

14,0

36,0

63,0

95,0

Відповідь: Я = 1,75 кОм; и2 =±12В.

аб

Рисунок 7.17 - Мостові схеми з нелінійними опорами

8. Пояснити суть основних методів апроксимації нелінійних характери­стик. Як впливає форма характеристики на вибір методу апроксимації?

9. Чим визначається вибір степеня полінома, яким апроксимують ВАХ?

10. Апроксимувати ВАХ нелінійного елемента, задану в табл.7.7, поліномом другого степеня в діапазоні и = -5...0 В. Визначити похибку апрок­симації при значенні напруги -1 В.

Таблиця 7.7 - ВАХ нелінійного елемента

и, В

0

-0,5

-1,0

-1,5

-2,0

-2,5

-3,0

-3,5

-4,0

-4,5

-5,0

і, мА

7,5

6,5

5,5

4,5

3,6

2,7

2,0

1,4

0,75

0,4

0,25

Відповідь: і(и) = 7,5 + 2,37м + 0,1865м2 мА; Аі = 3,3%.

11. На нелінійний елемент з ВАХ і(м) = 20 + 5м + 0,2м мА діє напруга м (ґ) = -5 + 5соб со0ґ В. Знайти постійну складову і амплітуди гармонічних скла­дових струму через цей елемент.

Відповідь: І0 = 2,5 мА; Іт1 = 15 мА; Іт2 = 2,5 мА.

12. Чим відрізняють режими великих і малих коливань у нелінійному колі при синусоїдній дії?

13. Пояснити поняття «кут відсікання». У чому полягає зміст розрахунку нелінійного кола за методом А.І. Берга?

14. Які значення кута відсікання відповідають режимам нелінійного кола А, АВ, В, С?

15. ВАХ нелінійного елемента апроксимована двома відрізками прямих:

і(м) = <! м им =-6 В; 5 = 5 мА/В.

[5(м - им), м > им; м

На  вхід  подано   напругу   м(ґ) = и0 + ит соб(2п-10 ґ)В.   Знайти кут

відсікання, постійну складову і амплітуди першої, другої і третьої гармонічних складових струму через цей елемент, якщо и 0 =-10 В, ит = 8 В. Побудувати

часову діаграму струму.

Відповідь: 9 = 600; І0 = 4,4 мА; Іт1 = 7,8 мА; Іт2 = 5,6 мА; Іт3 = 2,8 мА.

16. За яких значень напруги зміщення и0 і кута відсікання 9 струм у по­передній задачі міститиме тільки постійну складову І0 і першу гармоніку Іт1 ? Знайти І0 та Іт1 .

Відповідь: и0 = 2В; 9 = 1800; І0 = 40мА; Іт1 = 40мА.

Методи

аналізу кіл

□ Вступні положення

□ Класифікація методів аналізу електронних кіл

□ Похибки обчислень та їх класифікація

□ Чисельні методи розв'язання лінійних алгебраїчних рівнянь

□ Оцінка точності розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

□ норми;

□ зумовленість систем рівнянь рівноваги кола;

□ дублікації та еквівалентні перетворення

□ Символьні та символьно-чисельні методи аналізу лінійних електронних кіл:

□ білінійне розкладання;

□ граф матриці;

□ теоретико-множинні методи;

□ метод взаємних похідних;

□ метод модифікацій.

N -

II а ІІ2 = (XІ аі І )2 і=1

Е = Е1 х Е2

1

(1

2

 

2

1

2

3

Рм = 3

2

3

4 5

4

3

4

5

5

v 3

4

5 ,

Евклід

Декарт

В = сіеї р = ёе1м )тоа-

1 0 0

2

1

3

^23

01

4

34

(в( м) )=(Е|Х)

Гаусс

Жордан

і

і

8 МЕТОДИ АВТОМАТИЗОВАНОГО АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ 8.1 Вступні положення

Сучасні електронні кола вирізняються великою складністю. Для аналізу складних електричних кіл природним є використання комп'ютера, але це часто призводить до накопичення великих операційних похибок внаслідок операцій над числами з обмеженою розрядністю операндів (тобто чисел, над якими ви­конуються операції). Відомо, що розв'язання задачі аналізу полягає в обчис­ленні за наданою структурою (еквівалентною схемою) та вагами параметрів компонентів реакції кола на задану дію.

Загалом дія та реакція є функціями часу, до яких можна застосувати пере­творення Лапласа (див. розд.3), а інтегро-диференційні співвідношення між оригіналами замінити алгебраїчними (операторними) співвідношення між їхніми зображеннями.

Найпоширенішим алгебраїчним способом надання моделі електронного кола є канонічна система рівнянь рівноваги (контурних струмів або вузлових напруг), яка в матричному представленні має вигляд:

(А(р) )(Х(р) ) = (£(р)), (8.1)

де (А(р)) - квадратна матриця коефіцієнтів порядку N (матриця опера-торних опорів або провідностей в системах рівнянь рівноваги контурних струмів або вузлових напруг відповідно); (X (р)) - стовпець зображень шука­них реакцій (контурних струмів або вузлових напруг) розміру N х 1; (<2(р)) -

стовпець зображень незалежних дій (джерел напруги або струму для рівнянь контурних струмів або вузлових напруг, відповідно) розміру N х 1. Розв'язання системи (8.1) у вигляді

(X (р) ) = (А( р) )-1 (£( р)), (8.2) і є розв'язанням задачі аналізу, внаслідок чого будуть знайдені реакції (X (р)), за якими у подальшому, за законами Кірхгофа і Ома, можна визначити струми і напруги усіх віток аналізованого кола. У виразі (8.2) (А( р) )-1 - матриця, обер­нена матриці (А( р)). При цьому слід зауважити, що для радіоелектронних кіл порядок N системи рівнянь (8.1) великий - становить N = 10,1000 і більше.

Це зумовлює складність розв'язання задачі аналізу (8.2) і робить доцільним ви­користання   комп'ютера.   Крім   того,   матриця   (А(р))   (див.   розд.4), є

розрідженою, тобто кількість ненульових елементів рядка матриці коефіцієнтів становить 3...9 (при N = 10, ...,1000). Це викликає необхідність використання

методів аналізу, що враховують структуру кола (яка й забезпечує згадану вище розрідженість). Отже, стандартні математичні методи розв'язання систем рівнянь рівноваги, хоча й можна використовувати, але загалом це робити не­доцільно, оскільки вони не враховують структуру кола.

Чисельне розв'язання систем рівнянь рівноваги часто призводить до ве­ликої операційної похибки, виникнення і накопичення якої пов'язане з округ­ленням десяткового (або двійкового) подання чисел. Внаслідок такого округ­лення виникає похибка, наявність якої робить некоректними усі відомі закони арифметики, вірні для символів (чисел з нескінченною розрядністю). Тобто від переставлення доданків (множників) сума (добуток) змінюється, від способу подання (внаслідок тотожних алгебраїчних перетворень) результату в символь­ному вигляді (винесення за дужки, зведення подібних, скорочення спільних множників тощо) результат обчислень змінюється.

Все це зумовило ситуацію, коли дослідники у галузі теорії кіл були ви­мушені створювати нові оригінальні методи, що враховують як жорстку струк­турованість електронних кіл, так і особливості аналізу кіл (при використанні ЕОМ і створенні для розв'язання громіздких задач відповідних систем автома­тизованого проектування) з обмеженою розрядністю операндів.

8.2 Класифікація методів аналізу електронних кіл

Сучасні методи аналізу електронних кіл можна умовно поділити на три великі групи:

• символьні;

• чисельні;

• чисельно-символьні.

Символьні (аналітичні) методи побудовано на базі аналітичного пере­творення вихідної математичної моделі (з відображенням параметрів кола відповідними символами). В результаті таких перетворень одержують розра­хункові формули, в яких (на завершальному етапі) символи параметрів заміняють їх числовими значеннями, і внаслідок відповідної послідовності арифметичних операцій знаходять шуканий розв' язок. Символьне подання ле­жить в основі класичної математики та фізики, що їх вивчають в середній і вищій школі. При цьому інтуїтивно зрозуміло, що для відносно складних кіл (які містять хоча б 8...10 вузлів) такі символьні вирази будуть надзвичайно громіздкими і незручними для ЕОМ. Традиційні символьні методи дозволяють врахувати особливості структури математичної моделі кола (для символів усі закони арифметики коректні, бо саме для них вони були відкриті), що у свою чергу, дозволяє підвищити точність обчислень, але громіздкість цих методів ускладнює їх формалізацію та автоматизацію за допомогою комп' ютерів.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації