Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 108

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Чисельні методи грунтуються на використанні формалізованої матема­тичної моделі кола (наприклад, систем рівнянь рівноваги контурних струмів та вузлових напруг). Над числовими значеннями параметрів цієї моделі (за зазда­легідь складеною за символьними методами обчислювальною схемою) викону­ють відповідну послідовність арифметичних операцій, одержуючи розв' язок вихідної системи рівнянь у чисельному вигляді. Ці методи надзвичайно зручні для програмування комп'ютерів, але не враховують інформації про структуруаналізованого кола, що часто призводить до значних похибок результатів аналізу.

Чисельно-символьні методи виникли як компроміс між чисельними і символьними методами з метою подолання їх незручності та обмеження. У су­часній практиці чисельно-символьні методи можна вважати найперспек-тивнішими. При їх застосуванні частково використовують символьні вирази, в які, на відповідному кроці, підставляють чисельні значення параметрів, про­довжуючи вважати інші параметри символами. При цьому можна забезпечити підвищену точність (властиву символьним методам) і зменшену громіздкість (підвищену швидкодію) обчислень, що характерно для чисельних методів.

За видом використовуваного математичного апарату методи аналізу мож­на поділити на такі:

алгебраїчні (матричні);

структурні (топологічні);

теоретико-множинні та їх комбінації.

Алгебраїчні методи основані на побудові алгебраїчних рівнянь рівноваги кола (в однорідному базисі контурних струмів та вузлових напруг або в неод­норідному, в якому коефіцієнти матриці (А(р)) в системі (8.1) мають різне

фізичне значення) та на застосуванні у подальшому методів лінійної алгебри.

Структурні (топологічні) методи грунтуються на використанні матема­тичного апарату топології (різного виду графів і операцій над ними).

Теоретико-множинні методи базуються на використанні опису структу­ри кола за допомогою множин чисел, над якими за відповідними законами і правилами провадять математичні операції з метою одержання теоретико-множинного опису кінцевого результату (методи контурних чисел, узагальне­них чисел, кореневих чисел тощо). Комбінації цих математичних апаратів (зав­жди з урахуванням структури кола) дозволяють гнучко пристосувати відомі ме­тоди і підходи до розв' язання задачі аналізу.

8.3 Похибки обчислень та їх класифікація

Незалежно від вибору методу аналізу чисельне значення а розв'язку будь-якої інженерної задачі завжди є наближеним і відрізняється від точного а* зна­чення фізичної величини на величину дійсної абсолютної похибки:

А = а - а . (8.3а) Але таке значення а* невідоме (виключенням є лише тестові задачі), тому точність його обчислення оцінюють граничною абсолютною похибкою:

8а = (атах - атіп)/2, (8.3б)

що дорівнює половині інтервалу, в якому, за відомою інформацією, лежить точне значення а*.

У практиці зручніше оцінювати точність за граничною відносною по­хибкою:

а / а, (8.3в)

або у відсотках  8 а % = 100 8а.

Точність числа можна також оцінити за кількістю к вірних цифр в його десятковому поданні з плаваючою комою:

а = М-10м, (8.3г)

де М - мантиса числа з комою після першої значущої цифри; т - порядок числа а. Вірними називають перші к цифр мантиси, якщо похибка не переви­щує половини одиниці к-го десяткового розряду.

За кількістю к вірних цифр мантиси для числа а можна одержати граничні похибки:

єа = 5-10т-к; 8а = 5-10-к /М . (8.3д) Причинами похибок результатів математичного моделювання є:

• похибки моделей;

• похибки обчислень.

Похибки моделей неминучі, оскільки структура моделі принципово не може відобразити усі процеси у модельованому об'єкті. До того ж параметри моделі можна виміряти з точністю лише до 3 - 5 значущих цифр.

Похибки обчислень поділяють на операційні та методичні.

Головною причиною операційних похибок є похибки округлень до г розрядів мантиси. При округленні відкиданням надлишкової частини числа йо­го абсолютна та відносна похибки становлять:

є1 = 5 -10м"г+1; 81 = 10-г+1/ М.

Похибки округлень є причиною невиконання основних законів арифмети­ки. Наприклад, при розрядності г = 8

1) А = 109; а = 1 одержимо:      а + А - А = 0, в той час, як А - А + а = а = 1;

2) при обчисленнях за формулою

X = [(3 -10/а)3 +1] -1050 = 1042

при а = 3, в той час як ясно, що X = 0. Така похибка одержана внаслідок округ­лення частки від значення 10/3.

При розрахунках на комп' ютері за складною обчислювальною схемою наведені ситуації можуть повторюватись багаторазово, про що (так само, як і про велику можливу похибку та іноді катастрофічно хибний результат) кори­стувач може навіть не здогадуватися.

Методичні похибки звичайно пов'язують з апроксимацією фізичних ве­личин функціями з великою (або нескінченною) кількістю членів, обмеження яких призводить до методичної (скінченної) похибки. Але методичні похибки обумовлені методикою вибору розрахункової математичної схеми та особливо­стями її реалізації. Наявність методичної похибки впливає на швидкість обчис­лень і кінцеве значення накопичуваної в процесі обчислень похибки за рахунокскінченної розрядності операндів. Аналізуючи радіоелектронні кола, можна виділити такі джерела виникнення методичної похибки:

1) близькість аналізованого кола до режиму самозбудження (визначник матриці коефіцієнтів системи рівнянь рівноваги прямує до нуля);

2) наявність дублікацій (протилежних за знаком, але однакових за ве­личиною подібних членів, які виникають при розкладанні визначника матриці коефіцієнтів або його доповнень);

3) еквівалентні перетворення;

4) урахування впливу паразитних параметрів одночасно з впливом ре­гулярних (номінальних);

5) погана зумовленість системи рівнянь рівноваги;

6) сама процедура розв'язання задачі аналізу, коли систему рівнянь рівноваги складають в одному базисі (де великі параметри, які слабко вплива­ють на кінцевий розв' язок, маскують малі параметри, які значно впливають на нього), а результат аналізу оцінюють в оберненому базисі.

Детальніше вплив джерел методичної похибки розглядатиметься нижче при подальшому викладенні методів аналізу радіоелектронних кіл.

8.4 Чисельні методи розв'язання лінійних алгебраїчних рівнянь

Теоретично чисельні методи дозволяють розв'язати будь-яку задачу аналізу лінійних кіл. Але практична можливість такого розв' язання суттєво об­межена похибками результатів, які можуть виявитися повністю хибними.

У даному підрозділі наведено короткий розгляд деяких з чисельних ме­тодів розв' язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Більшість методів базується на методі виключення (редукції) Гаусса[1] та його модифікаціях.

Метод Гаусса (або метод єдиного ділення) для розв'язання системи (8.1) полягає у складанні з квадратної матриці (А) і стовпця дії (2) прямокутної

матриці (В) розміру N х (N +1):

)=(Л|<2) • (8.4) Далі для кожного 5-го кроку (я = 1,2, ..., N) елементи 5-го (ведучого) ряд­ка обчислюють за їх попередніми значеннями за формулою:

ь(л) = ь(л-1) /Ь%з = я,5+1,..., п, п+1, а елементи наступних (за я) рядків - за формулою:

= Ь^-1) - Ь<?-1)Ь<?\   7 = *, * +1,..., п, п +1;   і > я Наприклад, за системою рівнянь третього порядку (N = 3)

(8.5) (8.6)

складають матрицю

а

11

1

' а11

а12

а13 "

 

Х1

 

' *1Л

 

2

 

а22

а23

X

х2

=

 

 

3

Ч а31

а32

а33 )

 

ЧХ3 )

 

 

 

2

3

4

 

1

2

3

4

а12

а13

*1 ^

1

' Ьц

Ь12

Ь13

Ь Л

Ь14

а22

а23

42

= 2

Ь21

Ь22

Ь23

Ь24

а32

а33

^3 )

3

ч Ь31

Ь32

Ь33

Ь34 )

На першому кроці (я = 1) за формулою (8.5) одержують перший рядок (в1) матриці (В):

1 )=(1  Ь12/ Ьп   Ь1з/ Ьи   ЬуА/ Ьи). Далі, записавши елементи для другого і третього рядків за формулою (8.6), одержують матрицю (в (1)) у вигляді:

(1) )=

1

Ь12/ Ьц

0 - ^

Ъ

11

0 32 - 31 12

ъ

11 13 / 11

22

Ь32

21 13

11

31 13

11 14 / 11

22 32

21 14

11

31 14

Ь

11 )

1

2

3

2

3

4

ь12*

Ь (1) 13

(1)

14

ь22*

2(13)

(1)

24

ь32*

3(13)

(1)

34

На другому кроці (я = 2) другий (ведучий) рядок матиме вигляд:

2 )=(о 1 ь23)/ ьь24)/ ь22) ),

а нова матриця

(2))

перетвориться до вигляду:

(2) )=

1 0

0 1 0

ь33)

 

 

 

1

2

3

4

(1)

13

 

1

' 1

(2)

12

(2)

13

Ь (2) ^

2(13) / 2(12)

Ь24 / Ь22>

= 2

0

1

2(23)

Ь (2)

24

(1) (1)

(1) (1)

Ь (1)    Ь32 Ь24

3

0

ч

0

3(32)

Ь (2)

2(12)

34 Ь(1)

^22 )

 

 

 

 

 

2

3

1

1

1 2 3 4

3

2

3

4

Нарешті на останньому, третьому, кроці (я = 3) можна скористатися лише формулою (8.5), оскільки N = 3, і одержати матрицю

З 4

З 4

(З))

1 о о

(4) 1

о1 (4) (4)

"ІЗ

b(4)

14

b(4)

b44

ьз[2]/ ьз[3]

ЗЗ

1 о о

(З)

14

1

,(З)   а(З) ^

ь(З)

о1

14

ь(З)

b44

ь(З)

Останній рядок в матриці (В(3)) згідно з правилом (8.4) формування мат­риці ) слід розуміти як рівняння

І • = b (З)

З4

Зворотною   підстановкою   х3   у   друге   рівняння   знаходять   х2 і підстановкою х2, х3 у перше - значення х1. Крім того, добуток

А

b11 b44 ьЗЗ

дорівнює визначнику матриці (А), тобто у загальному випадку

Д = и   и (1) .    . и( N - 2)    Ь( N) (87)

Схема єдиного ділення вирізняється мінімальною кількістю операцій, оскільки кількість К арифметичних операцій дорівнює:

К = 2N^ +1)(N + 2)/3 + N(N -1). (8.8) Значення К для N > 7 можна оцінювати за формулою:

К = N3.

Якщо скористатися вже розглянутою обчислювальною схемою, але фор­мулу (8.6) використовувати не лише для рядків і > я, а для усіх рядків матриці (і ф я), то такий розв'язок системи рівнянь має назву метода Гаусса - Жорда-на2.

При цьому матриця (Л^)) після виконання усіх кроків має вигляд:

(Л° )=(Е\Х), (8.9) де ) - одинична матриця; (X), тобто останній стовпець матриці - шуканий стовпець розв'язків у системі (8.1).

і

4

і

4

1

1

4

З

З

6о8

Серед найрозповсюджених прямих методів розв'язання лінійних алгеб­раїчних рівнянь слід назвати /.{/-розкладання. У цьому методі вихідна матри­ця коефіцієнтів (а) перетворюється у матрицю ) розміру N х 2N додаванням до матриці (а) одиничної матриці ):

(в )=(а|е), (8.10)

Подальша редукція матриці ) виконується так само, як і в методі Гаусса з єдиним діленням. Так, для матриці (а) третього порядку (N = 3) одержують:

)=

 

1

2

3

1

2

3

 

1

2

3

1

2

3

1

' а11

а12

а13

1

0

о 1

1

Г Ьц

Ь12

Ь13

1

0

о 1

2

а21

а22

а23

0

1

0

= 2

 

Ь22

Ь23

0

1

0

3

V а31

а32

а33

0

0

1

3

V Ь31

Ь32

Ь33

0

0

 

Після

)=(1

Ь12/ ьц

першого кроку (8.5), отримавши Ь13 /Ь11   1/Ь11 0  0), за формулою (8.6) записують:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації