Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 11

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Аналогічно можна обгрунтувати співвідношення (2.8). При дії сину­соїдного джерела з частотою со — о в момент часу і = +0 при перехідному про­цесі у колі з нульовими початковими умовами ємності замкнені, а індуктивності розімкнені. Можна показати (пропонується виконати самостійно), що

Г   0, якщо т < п ;

g (+0) = н (у») = ] ;

[ат ; Ьп, якщо т = п .

Приклад 2.1. Знайти перехідні характеристики кола (рис.2.4, а), вважаю­чи дією напругу джерела, а відгуками - струми     ), і2(і), іС ) та напругу

иС ). Побудувати графіки перехідних характеристик.

Розв'язання. У прикладі 1.3 розглянуті перехідні процеси для аналогічної схеми (рис.1.4, а). Скористуємось знайденим там коренем характеристичного рівняння, спільного для всіх процесів даного кола,

Я + Я2

якому відповідає однакова для всіх процесів стала часу кола

т = -= (2.9)

Виходячи з фізичного значення перехідних характеристик, проаналізуємо перехідний режим кола при увімкненні його до джерела постійної напруги (рис.2.4, а) за нульової початкової умови ис (-0) = 0. Струми кола і напруги на ємності згідно з класичним методом запишемо у вигляді:

і і

=      т +    (і); ис (і) = Аисе т + исвм (і), (2.10)де стала часу кола і визначається за формулою (2.9). Вимушені складові, які входять до розв'язку (2.10), знаходимо, розгля­даючи усталений режим з постійним джерелом Е:

і1вм     і2 вм

; іСвм = 0; «Свм =

1 + 1

1 + 1

І1 (+0)

є(і) = Е

ф

11

«с( 0

с

іс ( 0

*2 2( 0

Е

О

І1

іс (+0) +

*2 2(+0)

аб Рисунок 2.4 - До прикладу 2.1: а - схема кола; б - режим кола для і = +0

Щоб знайти сталі інтегрування Аі, А«с у рівняннях (2.10), визначимо по­чаткові значення струмів і напруг на ємності за еквівалентною схемою кола для і = +0 (рис.2.4, б)

і1(+0) = іс(+0) = Е; і2(+0) = 0; «с(+0) = «с(-0) = 0. 1

Сталі інтегрування знайдемо, підставивши до рівняння (2.10) вимушені та початкові значення струмів і напруги на ємності для моменту часу і = +0 :

Аі1 = і1(+0) - і1вм = 1 - = ^^Т^); Аі 2 = і2(+0) - і2 вм = -

Е

Аіс = іс (+0) - ісвм = 1;    А«с = «с (+0) - «свм

ЕІ2 І1 + І2

Складемо кінцеві вирази для шуканих миттєвих значень:

) = Аі  1 + і1вм (і)

ЕІ2

І1( 1 + І2)

Е

І1 + І2

Е

І1 + І2

-Є т +■

Е

Е

іс ) = Аісє 1 + іСвм (і) = ~ Є 1 ;

і

Е

(1 - є 1);

1

(2.11) (2.12)

(2.13)иС ) = АигЄ Х + Ы Свм (і)

ЕЯ2

(1 - е т). (2.14)

Побудуємо графіки миттєвих значень струмів     ), і2(і), іС ) (рис.2.5, а)

і напруги иС ) (рис.2.5, б).

За визначенням, перехідні характеристики численно дорівнюють виразам (2.11) - (2.14) при Е = 1. Для того, щоб при і < 0 забезпечити рівність g(і) = 0,

прийнято, записуючи перехідні характеристики, використовувати множник 1(і ):

g/l(І ) —2

*1( — + —2)

і

т + ■

і '

1

Я1 + Я2

); gиС (і )

1

—1 + —

—1 + —

(1 е т) (1 - е т)

1( ).

• 1(і );

Перехідні характеристики gi1(t), gi 2(і), gic (і) мають розмірність провідності (См), а перехідна характеристика gиc (і) безрозмірна. Графіки пе­рехідних характеристик показані на рис.2.5, в, г.

Приклад 2.2. Перевірити граничні співвідношення (2.7) і (2.8) для пе­рехідної характеристики g/■1 (і) і КПФ Ні1 (у'со) у колі, розглянутому у прикладі

2.1 (рис.2.4, а).

Розв'язання. Використовуючи знайдений у прикладі 2.1 вираз для пе­рехідної характеристики g/■1 (і), запишемо її граничні значення для і = +0 і

і да:

11 &1(+0) = ; &1(оо) =-——.

Визначимо у загальному вигляді КПФ Ні1 (у'со), яка є комплексною вхідною провідністю даного кола, і подамо її у стандартній формі (1.8):

Іл = 1 = —2 +1/ у'соС =

Е ~ — —2/ІсС   ~ 12 + —1 /уооС + —2/у'соС ~

Н/1( М

—1 +

—2 +1/ у'соС

—2 у'соС +1

—1—2 У'СОС + 1 + —2

Знайдемо граничні значення КПФ, використовуючи вираз (2.15): Н/1() 0) = -1; Н/1(усо) =

(2.15)ис У

0

в

І 0

Рисунок 2.5 - Графіки до прикладу 2.1: а, б - перехідні процеси при увімкненні джерела е(і) = Е; в, г - перехідні характеристики

Перевіримо слушність граничних співвідношень:

1 Ь>_.

= Н/1( І 0)

1 + — 2 а0

1 Ь

&і(+0) = Н/1( у») = =

де а0 = + 2, а1 = — —2, Ь0 = 1, Ь1 = 2 - відповідні коефіцієнти при

ус у знаменнику і чисельнику стандартних форм запису КПФ (1.8) і (2.15).

Приклад 2.3. Визначити перехідні характеристики кола (рис.2.6, а), вва­жаючи дією напругу ивх (і ), а відгуками - струми і1 (і ), і2 (і ), і3 (і ) та напругу

иь (і). Записати вирази для перехідних характеристик, якщо 1 = 2 = 3 = —, та

побудувати їх графіки для = 2 кОм, Ь = 30 мкГн.

—1

ивх ) = 1)

І2(І )

—2

Ь

—з

(і)

ї

а

/1(+0)

—1

ивх (со) = 1

иЬ (со)

—2 ~^і2(со)

*4

—3

—2

—3

—е

б

1

—1

ивх(+0)=1 иЬ(+0)

о-

—2

2(+0)

І3(+0)' —3

в

Рисунок 2.6 - До прикладу 2.3: а - схема кола; б - еквівалентна схема для визначення е; в - режим кола при і-—оо; г - режим кола при і = +0

г

Розв'язання. Поклавши ивх ) = 1) (рис.2.6, а), розрахуємо режим кола,

який характеризує шукані перехідні характеристики.

Оскільки дане Я, Ь коло має перший порядок, сталу часу знайдемо (див. п.1.2.3) у вигляді:

т = Ь / Яе,

де Яе = Я2 + Я1Я3 /(Я1 + Я3) - еквівалентний опір кола (рис.2.6, б) відносно затискачів індуктивності при замкнених вхідних затискачах (и вх = 0).

Перехідні характеристики знаходимо аналогічно виразу (1.4) у вигляді:

і

8 ) = Ь вл (і) + 8 вм ] 1(і) = (АЄ + 8 вм) 1), (2.16)

і

де 8вл(і) = Ае т, 8вм - відповідно вільні та вимушені складові розв'язку; А - сталі інтегрування.

Вимушені складові розв'язку знайдемо, розглядаючи усталений режим (і — оо) при постійній одиничній напрузі на вході (рис.2.6, в):

= ї1(оо) = 1 =        Я2 + Я3 ;

Я1 + Я2 Я3 /(Я2 + Я3)     Я1Я2 + Я1Я3 + Я2 Я3

Я3 Я3

8І 2 вм = г2(оо)" " "

вм = /3(»)

[-1 + —2 —3 /(—2 + —3 )]((—2 + —3 )    —1—2 + —1—3 + —2 —3

_—_=_—_

[—1 + —2 —3 /(—2 + —3 )]((—2 + —3 )    —1—2 + —1—3 + —2 —3

^ь вм = иЬ (со) = 0.

Щоб визначити необхідні для знаходження сталих інтегрування початкові значення перехідних характеристик, розглянемо режим кола для і = +0 (рис.2.6, г):

^(+0) = І1 (+0) = ^(+0) = /3(+0) = -1; 8,2(+0) = І2(+0) = 0; gиь (+0) = иь(+0) = +-.

Ь —1 + 3

З рівнянь (2.16) для і = +0 знаходимо сталі інтегрування:

1 —2 + 3

4і     &1(+0)    8/1вм     +        — —  + +

—1 + —3     —1—2 + —1—3 + —2 —3

(—1 + —3 Х(—1—2 + —1—3 + —2 —3 ) Аі 2 = 8і 2(+0) -

—1—2 + —1—3 + —2 —3

43=&3 (+0) - g і3 вм =1____=_1—_;

—1 + —3     —1—2 + —1—3 + —2 —3    (—1 + —3 )(—1—2 + —1—3 + —2 —3 )

Аиь = g иь (0+) -

—1 + —3

Значення вимушених складових, сталих інтегрування та кінцеві вирази для перехідних характеристик у випадку 1 = 2 = 3 = і для заданих значе­ний Ь, зведемо до табл.2.1.

Згідно з виразами для g) (табл.2.1) побудуємо графіки перехідних ха­рактеристик (рис.2.7).

Перехідні  характеристики ),   2),   3)   мають розмірність

провідності (См), а перехідна характеристика 8ы1^) безрозмірна.

Таблиця 2.1 - Розв'язки у прикладі 2.3

Відгук

ё вм

А

ё )

їі(* )

2

зя

1

6 я

Г        ' "

_ _1_ е і /(1,5Л) + _2_

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації