Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 110

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

і —>оо

всі2 - 12й - 4й - 9й - 6й2

(8.22)

Останній вираз є невизначеністю да - от. Оскільки при обчисленнях з об­меженою розрядністю результат залежить лише від порядку підсумовування доданків, для наведеної послідовності обчислення визначника одержимо:

£ = всі2 - 25С = всі2;

£>с = всі2 - всі2 = 0.

Оскільки в даному випадку „великий" параметр й при підсумовуванні у комірках матриці маскує інші параметри, то нормування параметрів не призве­де до зміни ситуації.

Обернена матриця, враховуючи округлення при підсумовуванні доданків з й — оо й, має вигляд:

ґ 0   5й 5йл

1

(А)-1

5і ві ві 5і   ві ві

Навіть у разі нерівності нулю визначника (чого можна досягти, змінюючи порядок підсумовування у формулі (8.22)), результат розв'язку буде хибним і усі значення х1, х2, х3 значно відрізнятимуться від точних. Єдине, що можна

було б сказати за одержаним результатом, це те, що х2 = х3.

Система рівнянь (8.21) відповідає схемі (рис.8.1, а), коли провідність вітки між вузлами 2, 3 значно більша, ніж провідності[9] інших віток.

З рис.8.1, б ясно, що замкнувши вузли 2, 3 (оскільки і >> Оі), матимемо

систему рівнянь другого порядку:

 

 

х1

 

Г 2 ї

5    15 ,

X

Ч х2 )

 

ч13 )

(8.23)

Одержана система рівнянь має розв' язки:

х1 = 19/13;   х2 = 88/в5.

Аналогічного результату можна було б досягти, підсумувавши в системі (8.21) друге та третє рівняння і записавши цю суму на місце другого, а також врахувавши, що х3 = х2 :

2

вважається, що провідності задані у сименсах, струми джерел - в амперах, а шукані реакції хі (вузлові напруги) - у вольтах.

в12 3

1

г 6

- 3

- 21

 

Хі

 

Г 21

2

- 5

7

8

X

х2

=

13

3

V 0

1

-1)

 

V Х3 )

 

v 0 )

Підставивши в перше та друге рівняння цієї системи х3 = х2, одержимо систему (8.23).

в5=2

01=1

01=1

/3=5

а

05=2

/3=5

б

Рисунок 8.1 - Ліквідація невизначеності й—о об'єднанням вузлів 2 і 3

Позначимо тепер провідність й символом та знайдемо обернену матрицю

(А)--1. У цьому випадку підсумовування 7 + й, 8 + й у чисельному вигляді не

виконують, і одержані результати мають чисельно-символьний вигляд. Чисель­не значення параметра й підставляють у здобуті вирази на останньому етапі об­числень. Тоді обернена матриця матиме вигляд:

1 2 3

1 (15сС + 56   5сС + 24   5сС +14 ї

2

65С+236

5сІ + 24   всі + 44   всі + 6

Ьсі +14    6і + 6   6і + 33J

Цікаво, що одержана обернена матриця у чисельно-символьному вигляді повністю відрізняється від оберненої матриці, здобутої при попередньому ок­ругленні (підсумовуванні провідності і і провідностей інших віток). Так, повністю відрізняється від (8.22) (навіть знаком) одержаний вираз для визнач­ника, а також елемент А11 оберненої матриці. Щоб одержати точні значення

розв'язків (корені лінійного рівняння) при і —» оо , розкриємо невизначеності: =      (15І + 56) 2 + (5і + 24) 8 + (5і +14) 5 = 95 = 19, Хі = с/^^Оо 65І + 236 = 65 = 13'

х2 = х3 = 88/65 .

Аналогічно, точні результати для реакцій (хі) можна одержати для усіх

інших значень і >> Оі, які викликають погану зумовленість системи рівнянь.

Приклад 8.3. Знайти обернену матрицю провідностей з розрядністю 4 для кола (рис.8.2), якщо 01 = 02 = 1' 03 = 0,01' £ = 100 .

и

1

Оз

2

Рисунок 8.2 - Схема кола у прикладі 8.3

Розв'язання. Запишемо матрицю за методом £и-розкладання:

)=

О1 + Оз

2

- О

з

1

2'

0 ї

5 - О3   О2 + О3   0 1

' 1,01 - 0,01 1 ч-100    1,01 0 0 ї 1

Скориставшись  алгоритмом обернення за методом Гаусса-Жордана, одержимо результат (2)) у вигляді (8.15):

(2) )= 2

1

1

2

0

1'

49,99

2'

0,495ї

0 1 4950 5Добуток:

№(4=Г49,99 0,495^

УУ УУ  ^4950 50 Матриця відхилень:

X

1,01 -100

- 0,01ї 1,01

Г 0,53

0,51

0 ї 1

(а)-1(а)-(Е ) =

- 0,47

0,51

0 ї

0

З тією самою розрядністю (т = 4) обчислимо результат у символьному вигляді. Тоді обернена матриця має вигляд:

(а)-1

1

Г С2 + С3 С3

(8.24)

0102 + 03(01 + в2 - б) ^ 5 + С3    С1 + 03)

а її чисельна оцінка (після підставлення чисельних значень параметрів) стано­вить:

ґ 50,5    0,5 Л

(а)-1

5-103

50,5 ,

При цьому добуток матриць дорівнює:

( ї 50,5з     0,5 ^ 1,01

V     /       V     /       І   Г    1 Гї3        СІЛ  с _ 100

50,5 )

- 0,01ї

1,01

Г1

0

0 ї

1

5-103

і матриця відхилень нульова.

Даний приклад ілюструє можливість підвищення точності аналізу за ра­хунок використання символьних методів. Відносні відхилення елементів більш

( \-\ ■ ( \-\   Г49," 0,495^

точної (а)    і менш точної (а)г = матриць (враховуючи роз-

^4950     50 )

рядність операндів) не дуже великі. Але аналіз символьного виразу (8.24) свідчить про можливість одержання значної похибки чисельного обернення матриці провідностей, оскільки визначник (8.24)

В = Охв2 + в3{Ох + в2 - 5)

залежно від 03 може наближатися до нуля, що призведе до великих похибок

обчислень, а також до великих похибок матриці відхилення і відповідних норм для оцінки точності розв'язання задачі.

Нехай тепер для кола (рис.8.2) параметр g3  відхилиться від свого

номінального значення на 1,5%, тобто 03 = 1,015 -10-2. Тоді з розрядністю 4 оцінка такого символьного результату (8.24) оберненої матриці має вигляд:

(а)-1

168,3 ч1,666 -104

а добуток

(а)-1 (А)

Матриця відхилень дорівнює:

г 0,8 ч 930

1,691

168,3 ,

0 ї 0Д,

(А)-1(А)-(Е) = '

930 -0,9

що свідчить про значну чисельну нестійкість оцінки за точною аналітичною формулою.

Результат обернення за методом Гаусса виявляється повністю хибним, оскільки в матриці

(А) = ) =

Г С1 + С3     - С3 ^   Г 1,01   - 0,01015ї

-100 1,01

- 5 - 03   02 + 03 )

внаслідок округлень (до чотирьох значущих цифр) значення прирощення А03

маскуються в усіх комірках, крім Є12, а визначник В = 0,0051 (точне значення В = 0,005402).

З виразу визначника у формулі (8.24) видно, що при

=--о10і_ = і_ = 0,10204

3     01 + 02 - 5 98

він дорівнюватиме нулю і усі результати (як знайдені за формулою (8.24), так і обчислені за методом Гаусса) будуть повністю хибними.

Останній випадок ілюструє чисельну нестійкість результатів у разі близь­кості кола до стану самозбудження. При цьому малі зміни параметра 03 при­зводять до великих змін результатів обчислень.

Наведені вище приклади були вибрані, виходячи з простоти ілюстрації та перевірки одержуваних результатів. Ясно, що сучасні ЕОМ дозволяють прово­дити обчислення із значно більшою розрядністю, ніж у розглянутих прикладах. Але й аналізовані кола і відповідні їм системи лінійних алгебраїчних рівнянь будуть значно складнішими. Тому похибки (менші, ніж розглянуті, але принци­пово ненульові) накопичуються і так само можуть викликати повністю невірні результати.

8.5.3 Дублікації та еквівалентні перетворення

Причиною поганої зумовленості систем рівнянь рівноваги (зокрема, вуз­лових напруг) електронних кіл є „незаземлені" елементи еквівалентної схеми, параметри яких записують у двох рядках, або двох стовпцях матриці ко­ефіцієнтів (р) )= (А( р)), а їх пари добутків входять до розкладання визначни­ка (алгебраїчного доповнення) з протилежними знаками.

При розкладанні визначника або його доповнень виникають протилежні за знаком, але однакові за величиною подібні члени, які називають дублікаціями.

Процес впливу дублікацій ілюструє наступний приклад.

Приклад 8.4. Обчислити визначник та обернену матрицю провідностей для кола (рис.8.3).

Розв'язання. Матриця провідностей схеми (рис.8.3) має вигляд:

- с2       С2 + О-

3 )

Визначник

В = (О, + 02)(02 + в3)-022 = С1С2 + 022 + 0,03 + 0203 -022 . (8.25)

У символьному виразі  (8.25) наявна дублікація   ± О2, яку можна ліквідувати, і тоді

В =       + О\Оз + О2О3. Але при обчисленнях у чисельному вигляді дужки в лівій частині виразу (8.25) не розкривають, що може призвести до великих похибок.

1

о-

О2

2

Рисунок 8.3 - Схема кола у прикладі 8.4

Нехай, наприклад, О1 = О2 = О3 = 1,

тоді:

обернена матриця

( 2

)=(-і

■1^

2

) = (с)-1

В = 4 -1 = 3, (2/3 1/3Л

1/3 2/3

Нехай розрядність обчислень т = 4. Тоді для наданих значень і розряд-ності обчислень Оі одержимо практично вірний результат.

Тепер нехай О1 = О3 = 1;   О2 = 104 . Тоді

104 1 +104 (8.26)

визначник

В * = 108 -108 = 0,

і обернена матриця не існує.

Отже, чисельний метод аналізу дає повністю хибний результат.

Знайдемо тепер символьний вираз оберненої матриці та підставимо до нього чисельні значення (операції проведемо з тією самою розрядністю т = 4):

1

С^2 + + О2О3

0/2 1/2^ 1/2 1/2

(8.27)

О2 О1 + °2,

тобто одержимо практично точний результат.

Даний приклад ілюструє, що таке джерело методичної похибки, як на­явність провідності О2 = 104, значно впливає на формування коефіцієнтів сис­теми (8.26) і практично не впливає на результат в оберненому базисі (8.27). Провідність О2 при розрядності т = 4 можна вважати коротким замиканням

між вузлами 1 і 2, що видно з виразу (8.27), де опори відносно цих вузлів то­тожні.

Досить точного результату у виразі (8.27) вдалося досягти, ліквідувавши у визначнику дублікацію. Оскільки будь-яке коло містить велику кількість „неза-землених" („плаваючих") віток, блоків та підсхем, дублікації у чисельних розв'язках з'являються масово, а отже, їх усунення є однією з головних про­блем обчислювальної математики у теорії кіл.

На сучасному етапі розвитку теорії кіл розрізняють дублікації першого, другого та третього роду.

Дублікації першого роду виникають внаслідок наявності „плаваючих" елементів схеми з провідностями Ук (р), які входять у чотири комірки матриці

(р)) і призводять до появи квадратів провідностей Ук2(р). Наприклад, для

схеми рис.8.3 у розкладанні визначника буде дублікація першого роду ±О2 .

Дублікації другого роду виникають внаслідок наявності незаземлених (плаваючих) контурів, утворених незаземленими (плаваючими) вітками схеми. Наприклад, в схемі (рис.8.4) дублікації другого роду утворені добутками провідностей ± О2О4О6.

и

О1

О5

1

3

Рисунок 8.4 - Схема кола з дублікаціями другого роду

Дублікації третього роду породжуються провідностями £ керованих джерел струму різного знаку, помноженими на однакові провідності пасивних

віток, а також квадратами £ і добутками передатних провідностей різних за­лежних джерел.

Ще одним джерелом методичної похибки є еквівалентні перетворення,

особливо, коли такі перетворення виконують з використанням паразитних па­раметрів кола, що показує наступний приклад.

Приклад 8.5. Нехай надана схема кола (рис.8.5, а). Матриця підсхеми (А) відома. Розв'язати задачу аналізу методом вузлових напруг.

Я=1

1 1_

а А б

1 1

 

 

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації