Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 111

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

 

а

і=е/я

б

 

а А

б

 

 

я

г

 

 

 

 

с

Рисунок 8.5 - Схема кола у прикладі 8.5

Розв'язання. У методі вузлових напруг зазвичай джерело напруги пере­творюють у джерело струму, що в даному випадку незручно, оскільки підсхема А представлена матрицею провідностей багатобрамника. Якщо послідовно з джерелом напруги увімкнути „малий" опір Я, то таке перетворення можливе (рис.8.5, б). Але для того, щоб значення струмів і напруг після додання опору Я не змінилися, треба, щоб Я    0 (О    оо).

Але при цьому І о; Я 0 і між вузлами а, б виникає невизначеність Е = ІЯ = 0 = 0 хм, яка (що видно зі схеми рис.8.5, а) розкривається як Е. Але

при чисельному аналізі таке розкриття невизначеності неможливе, що призво­дить до великих похибок.

Часто як опір Я враховують паразитний опір джерела напруги Я. Але і в цьому випадку | Я | <<| ^аб І, де ^аб вхідний опір підсхеми А, і чисельна неви­значеність 0х о знов буде мати місце.

8.6. Символьні та символьно-чисельні методи аналізу лінійних електронних кіл

8.6.1 Вступні зауваження

Символьні методи аналізу полягають у заміні значень параметрів компо­нентів кола літерними символами і подальшому обчисленні відповідних ре­акцій у вигляді формул. При цьому в процесі одержання розрахункових формул аналітичними методами можуть бути розкриті невизначеності, зведені подібні члени (в тому числі ліквідовані дублікації), винесені за дужки загальні множни­ки тощо. Внаслідок ліквідації або послаблення впливу джерел методичної по­хибки чисельні результати, одержувані після підстановки замість літерних символів їх чисельних значень, мають меншу похибку, ніж такі самі результати, одержані чисельними методами. Велика громіздкість символьних виразів для відносно нескладних схем є суттєвим обмеженням використання символьних методів для обчислення обернених матриць, тобто багатьох передатних функцій кола. Тому символьні методи використовують одночасно з чисельни­ми, що дозволяє зменшити громіздкість обчислень і виразів і підвищити точність обчислень. Використовуючи символьні методи, як правило, у сим­вольному вигляді одержують лише обмежену кількість алгебраїчних доповнень (та визначник) для обчислення усіх, або деяких функцій двобрамника. Тому у подальшому основну увагу приділено здобуттю символьних або чисельно-символьних виразів для визначника (алгебраїчного доповнення).

8.6.2 Білінійне розкладання

Найпростішим і найзручнішим при невеликій кількості символьних па­раметрів є розвинення визначника (алгебраїчного доповнення) в ряд Тейлора за провідностями компонентів:

А(Ж) = А° + Ж (р)А (у+5Ха+Р), (8.28)

де Ж(р) - передатна провідність джерела струму, увімкненого між вуз­лами у, 8 (струм тече від вузла у до вузла 8), керованого напругою між вузлами

а,Р (потенціал вузла а вищий потенціалу вузла Р), рис.8.6, а; А° - визначник матриці провідності при Ж (р) = 0; А( у+8)(а+р) - сумарне алгебраїчне доповнен­ня, тобто визначник матриці провідностей, де рядок 8 додано до рядка у, сто­впець Р - до стовпця а , рядок 8 і стовпець Р з матриці викреслені.

а

о-

р

І(р)=

=Ж(р)ІІ(р) —о5

о

а

р

о

І(р)=

=Ж(р)и(р) —о5=р

о-

а

Р о-

Жр)

а

б

в

Рисунок 8.6 - Джерело струму, кероване напругою: а - еквівалентна схема; б - схема увімкнення; в - передатна провідність

Сумарне алгебраїчне доповнення пов'язане з простими доповненнями матриці провідностей канонічної системи вузлових напруг співвідношенням:

А(у+8)(а+Р) - Ауа - АуР - А+ А. (8.29)

Отже, вираз (8.28) можна записати у вигляді:

А(Ж) - А° + Ж(р)(Ауа - Аур - А+ А). (8.3°)

Якщо провідність Ж(р) увімкнено між вузлами а, Р (рис.8.6, в), тоді

а - у і Р - 8 (рис.8.6, б). Отже, після заміни у на а та 8 на Р з формул (8.28)-(8.30) виходить вираз:

А(Ж) - А° + Ж(р)А°а+Р)(а+Р) - А° + Ж(р)(Ааа - АаР - +     ). (8.31) Якщо який-небудь з вузлів а, Р, у, 8 або два вузли (наприклад Р і 8)

увімкнені до загального (з номером нуль), то у виразах (8.29)-(8.31) доповнен­ня, що мають нульові індекси, дорівнюють нулю. Тоді, наприклад, при Р - ° з формули (8.31) виходить:

А(Ж) - А° + Ж(р)А(а+°)(а+°) - А° + Ж(р)Ааа .

Якщо ж треба знайти символьний вираз визначника як функцію двох провідностей Ж1(р), Ж2(р) (у загальному випадку це передатні провідності

джерел струму, керованих напругою, увімкнених до брам (а1 +Р1), (у1 +81) та (а2 + Р2), (у2 + 82)), то у формулі (8.28), записаній стосовно Ж1(р), треба вра­хувати ще й символьні вирази А° та А ( +81)(а1 1) як функції Ж2( р), тобто:

А(Ж2) - А° + Ж2(р)А(у2 +82)(а2 2) (8.32а)

та

А(у1 +81)(а1 1)(Ж2) - А(у1 +81)(а1 1) + Ж2(р)А(у2 +82)(а2 2),(у1 +81)(а1 1).

У підсумку можна записати:

А(Ж1,Ж2) - А° + Ж1(р)А1 +81)(а1 1) + Ж2(р)А2 +82)(а2 2) +

1(р)Ж2(р)А2+82)(а22),(у1+81)(а11), (8.32б)

де усі чисельні значення визначника А° та доповнень обчислені за матри­цею провідностей (р)) при Ж1(р) - Ж2(р) - °.

Аналогічно    попереднім    перетворенням,    для    трьох передатних провідностей Ж1( р), Ж2( р), Ж3( р) одержують:

АЖ1, Ж23) - А° + Ж1(р)А    +81)(а1 1) + Ж2(р)А 2 +8 2)(а 2 2) + + Ж3( р)А (у 3 +8 3)(а 3 3) + Ж1( р)Ж2( р)А (у1 +81)(а1 1),(у 2 +8 2)(а 2 2) + + Ж(р)1 Ж3 (р)А(у1     )(а1      ),(у3 +83)(а3 3) + Ж2 (р)Ж3 (р)А(у2 +82)(а2 2),(у3 +83)(а3 3) +

1(р)Ж2(р)Ж3(р)А1+81)(а11),(у2+82)(а22),(у3+83)(а33). (8.32в)

Якщо усі індекси аі, Рі, уі, 8і не дорівнюють нулю і різні, то усі сумарні

доповнення ненульові. Кількість членів розкладання одного визначника за сим­вольними параметрами залежить від кількості к символів Ж1, Ж2,     Жк.

Так, за відсутності символів Жі (р) (к - °) у виразі для визначника маємо єдине число А°, а для одного символа -1) за формулою (8.32а) - два числа.

У формулах (8.326) (к = 2) та (8.32в) (к = 3) кількість доданків дорівнює чо­тирьом та восьми відповідно.

Отже, кількість чисельних коефіцієнтів при сполученнях к символів ста­новить:

г = . (8.32г) Останній вираз ілюструє обмеження використання подібних методів внаслідок їх громіздкості. Так, при к = 100, у схемі кола з N > 100 вузлами кількість коефіцієнтів при сполученнях літерних символів (якщо вітки з провідностями Жі (р) не утворюють замкнених контурів)

г = 2100 > 1030.

30

Слушно нагадати, що маса Землі становить близько 0,6 -10 міліграмів, а кола із 100 і більше вузлами в сучасній практиці є досить розповсюдженими.

Те, що визначник і усі доповнення обчислюють при Жі (р) = 0, є дуже

зручним при розв'язанні задач проектування. Нехай аналізоване коло (для якого обчислені усі функції кола, тобто усі алгебраїчні доповнення) не задовольняє вимогам технічного завдання. Ясно, що можна забезпечити кращий збіг функцій кола з вимогами технічного завдання, „підбираючи" деякі параметри або „вмикаючи" між парами вузлів додаткові вітки. Тоді довільно (або цілеспрямовано) обирають пари вузлів (а + в), (у + 8) і одержують функцію провідності (символа) Ж(р). Перебираючи пари вузлів, обирають такі, де увімкнення Ж (р) призводить до бажаної корекції передатної функції кола.

При побудові символьних виразів у вигляді (8.32) можливий збіг номерів вузлів, до яких увімкнені різні вітки з провідностями Жі (р). Нехай, наприклад,

пасивну вітку з провідністю Ж1(р) увімкнено між вузлами а, Ь, а вітку з

провідністю Ж2(р) - між вузлами а, й. Тоді сумарне доповнення (8.32б) при

добутку символів Ж1( р) , Ж2 ( р) має вигляд:

А (а+Ь)(а+Ь),(а+й)(а+й) = А аа,(а+й)(а+й) А аЬ,(а+й)(а+й) + А Ьа,(а+й )(а+й) А ЬЬ,( а+й)(а+й) = = А аа, аа    А аа, ай    А аа, йа аа, йй    аЬ,аа    А аЬ, ай    А аЬ, йа аЬ, йй ) Ьа,аа АЬа,ай АЬа,йа + АЬа,йй ) + АЬЬ,аа АЬЬ,ай АЬЬ,йа + АЬЬ,йй . (8.33)

Доповнення, для одержання яких треба двічі викреслити той самий рядок або стовпець, тотожні нулю (що можна показати, спираючись на правило ди­ференціювання визначника). Отже, в одержаному виразі (8.33):

А аа,аа = А аа,ай = А аа ,йа = А аЬ,аа = А аЬ,ай = А Ьа,аа = А Ьа,йа = 0

і він має вигляд

А(а+Ь)(а+Ь),(а+й)(а+й) аа,йй аЬ,йа АаЬ,йй Ьа,ай  АЬа,йй ЬЬ,аа АЬЬ,ай АЬЬ,йа ЬЬ,йй.

При одержанні розкладання (8.32) часто виникає ситуація, коли алгеб­раїчне доповнення при добутку символів Ж1( р) утворюється викресленням (по

одному разу) усіх рядків та стовпців матриці. Визначник такої „порожньої"матриці дорівнює одиниці. Це пов'язано з тим, що матрична „система" рівнянь першого порядку має збігатися з відповідним алгебраїчним рівнянням. Нехай є рівняння:

ах = Ь.

Ясно, що

х = Ь / а.

Якщо подати це рівняння у матричному вигляді

 хх )=(Ь),

то обернену матрицю ) 1 можна обчислити, як Д1. Тут А = а, Дп - допов­нення, утворене викресленням першого рядка та стовпця з матриці ). Тобто,

наявна „порожня" матриця і, оскільки ) 1 = 1/ а, треба, щоб А11 = 1.

Можливості чисельно-символьного методу білінійного розкладання функцій кола ілюструють наступні приклади.

Приклад 8.6. Для схеми рис.8.7, а знайти вхідний опір 2(1+о)(1+о) та ко­ефіцієнт передачі за напругою Ии (3+0)(1+0). Параметри транзисторів за змінним

струмом у лінійному режимі однакові, а їхні матриці провідностей у схемі вимірювання із загальним емітером (рис.8.7, б) мають вигляд:

б к

Обчислити також, при якому значенні провідності Ж вхідний опір кола дорівнює нескінченності.

Ж

2

І

б

о

а

б

к

Рисунок 8.7 - До прикладу 8.6: а - схема кола; б - схема вимірювання із загальним емітером

3

Розв'язання. Вхідний опір кола становить (див. формулу (4.23а)):

^вх = ^ (1+0)(1+0) = ^11 = А11 / А=>

а коефіцієнт передачі за напругою дорівнює (4.23г):

Ни (3+0)(1+0) = Ни 31 = А13 / А11.

Обчислимо номінальні значення цих величин (при Ж = 0). Для цього складемо матрицю провідностей:

 

1

2

3

 

1

ґ 1

0

01

 

2

10

2

0

;    А0 = 2;   А0П = 2;   А0„ = 100.

3

V 0

10

1,

 

Тоді 2ІХ = 1кОм; ИІ

и 31

50.

Символьна залежність визначника та доповнень визначається виразом: А) = А0 + Ж А (1+з)(1+з) = А0 + Ж (Ац - А13 - А31 + А 33) =

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації