Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 112

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

= 2 + Ж (2 -100 - 0 + 2) = 2 - 96 Ж;

А11(Ж) = АП + ЖА11,(1+3)(1+3) = АП + Ж11,11 - А11,13 - А11,31 + А11,33) =

А011 А 11,33 2 + 2Ж;

А13(Ж) = А013 + ЖА13,(1+3)(1+3) = А013 + Ж(А13,11 - А13,13 - А13,31 + А13,33)

А013 - ЖА13 31 = 100 - 2Ж.

Отже, формули для вхідного опіру та коефіцієнта передачі такі:

1ц{Ж )

А11(Ж)=

А(Ж)    А0 + Ж (А11

А011 +ЖА11,33

2+ 2Ж

А

13

А31 + А33) 2-96Ж

Ии 31 (Ж)

А13(Ж)

Ац(Ж)

А013 + ЖА1331 = 100 - 2Ж

А0ц + ЖАц,33

2 +

Опір 2п(Жкр) — оо, якщо знаменник дорівнює нулю, тобто

0 = 2 -96Жкр;   Жкр = 1/48 мСм .

При цьому коефіцієнт передачі за напругою становитиме: Ни 31кр) = 49,96.

Приклад 8.7. Для схеми (рис.8.8) обчислити визначник матриці провідностей канонічної системи вузлових напруг, коефіцієнт передачі за на­пругою та вхідний опір. Провідність G = 5 мСм, матриці провідностей двоб-рамників А і В відомі:

)а=

Гі

3 4

10 2 мСм;

=

1і

5 2 мСм;

2

1

3

2

4


 

А

 

В

 

 

 

 

 

 

І

Рисунок 8.8 - Схема кола до прикладу 8.7

Розв'язання. Як символьний параметр оберемо провідність Ж = О. При Ж = О = 0 матриця провідностей має вигляд:

у

1

2

3

4

2

-1

0

0

10

2

0

0

0

0

2

-1

0

0

5

2

мСм.

А1А 2 = 14 ■ 9 = 126 мСм4.

а визначник А0

Коефіцієнт передачі за напругою

0

А014 / А011 = 0/18 = 0, оскільки А014 = 0 мСм3;   А011 = 18 мСм3. Символьна залежність визначника і доповнень має вигляд:

Ни 41 =

А(Ж) = А0 + Ж А (2+з)(2+з) = А0 + Ж 22 - А 23 - А 32 + А33) = 126 + О (18 - 0 - 0 + 28) = 126 + 46 О;

А,

А11(Ж) = А11 + ЖА11,(2+3)(2+3) = А11 + Ж11,22 - А11,23 - А11,32 + А11,33) =

= 18 + О (9 - 0 - 0 + 4) = 18 +13 О;

А14(Ж) = АІ4 + ЖА14,(2+3)(2+3) = А014 + О14,22 - А14,23 - А14,32 + А14,33)

= 0 + О (0 - 0 - 50 + 0) = -50О. Коефіцієнт передачі напруги за напругою

ни 41(Ж ) ж=о=5 =-250/83.

Вхідний опір

2п(Ж)Ж=О=5 = 83/356 кОм .

8.6.3 Граф матриці

При розв'язанні задач аналізу радіотехнічних кіл, пов'язаних з обчислен­ням функцій кола, широкого розповсюдження набули топологічні методи аналі­зу. Їх велике розмаїття не дозволяє через обмежений обсяг книги навести усі (або хоча б значну частину) існуючих топологічних методів. Один з такихметодів, в якому використовується неспрямований граф, вже описаний у пер­ший частині підручника [7, підрозд.6.5]. Нижче розглянуто метод, оснований на побудові графа матриці провідностей кола, який дозволяє оцінити як позитивні властивості (що виявляються особливо при розрахунках вручну) топологічних методів, так і їхні негативні властивості (які виявляються при аналізі схем вели­кої складності).

Довільну систему рівнянь можна відобразити графом (системи рівнянь), побудованим за наступними принципами.

1. Кожному рівнянню (вузлу схеми) відповідає вершина графа, номер якої збігається з номером рівняння.

2. Кожне рівняння відображає сукупності спрямованих дуг (віток). Ці ду­ги мають вагу, що дорівнює відповідному коефіцієнту, з яким дана змінна вхо­дить до рівняння.

3. Дуга, що відповідає коефіцієнту У у (р) при 7-й змінній Vу (р), яка вхо­дить до і-го рівняння, з'єднує між собою вузли (вершини) графа з номерами і,у. Ця дуга спрямована до вузла і (від вузла у).

4. Незалежні джерела відображають вершинами, які називають витоками (з вагою джерел), що об' єднані з вузлами увімкнення дугами (спрямованими до цих вузлів) з вагою -1.

Нехай відома система рівнянь:

У11 (Р) VI (Р) + Уп (Р) иг (р) + ¥и( р)173 (р) = /:(р);

УШ р) + У22(р)^(р) = 0;

Уз2(       р) + У33 ( р) V (р) + У34 ( р) V 4 (р) = 0;

У43( р) + У44( р) = 0,

яка у матричній формі запису має вигляд:

(8.34а)

1 ґ Уц(р) Уц(р) Уіз(Р)

Уц( Р) Уц(Р) о

0        У32 Узз( Р)

.   0 0 У4з( р) о 0

У34( Р) У44( Р)

Л

ґ иі( Р)л

 

 

X

)

и 2( Р)

 

0

 

и з( Р)

ЦІ 4( Р) у

 

0

V    0 ,

(8.з4б)

Граф системи рівнянь (8.з4) зображено на рис.8.9.

На відміну від матричного рівняння, в якому позначені відповідні нульові елементи (з якими при реалізації стандартного методу Гаусса проводять опе­рації), граф системи рівнянь (рис.8.9) не містить дуг з нульовими вагами, що дозволяє спростити обчислення.

У процедурі обчислення функцій кола дія і1(р) відповідає незалежній

брамі. Запис цієї дії за допомогою алгебраїчних доповнень матриці коефіцієнтів системи вузлових напруг дозволяє відкинути джерело і одержати граф (рис.8.10) матриці (у даному випадку - провідностей).

1 2 з Уіз(р)

Іі(р)

Рисунок 8.9 - Граф системи рівнянь (8.з4)

Уіз(р)

Рисунок 8.і0 - Граф матриці провідностей

За цим графом можна розрахувати визначник і довільне алгебраїчне до­повнення.

Для обчислення визначника за графом виконують такі процедури.

1. Обчислюють усі фактори графа.

Фактором графа, який містить п вершин, називають підграф, утворений сукупністю контурів, що не мають спільних вершин і охоплюють усі п вершин графа.

Для графа (рис.8.і0) на рис.8.іі, а, б, в, г, д показані усі його фактори.

2. Фактори графа зважують, тобто розраховують їх власну вагу. Вагою фактора називають добуток ваг усіх дуг, що утворюють даний фактор. Отже, ваги ч наведених п'яти факторів (рис.8.іі) мають вигляд:

= Уц( Р)У22( Р)Узз( Р)У44( Р); = Уц( р^( р)У*( рУз( Р); = Уі2( Р)У2і( Р)Узз( Р)У44( Р); = Уіз( р)У2і( р)Уз2( р)У44( Р);

= Уі2( Р)У2і( Р)Уз4( Р)У4з( Р).з. Визначають знаки ваг факторів за формулою (-і) 1, де 51 - декре-

6 ...

мент підстановки , який знаходять як різницю між кількістю п вершин і к кон­турів фактора, тобто:

5і = п - кі. Для факторів (рис.8.іі) знаки такі: 5а = 4 - 4 = 0;   5б = 4 - з = і;   5в = 4 - з = і;   5г = 4 - 2 = 2;   5д = 4 - 2 = 2.

Уіі(рУ\ У22(р)ЛадЛ      Л    Уп(р)Г\ А У22^)

Уі2(Р)

У(Р)

иі(р)

у у у у

иі(р)     и(р)      из(р) и4(р)

а

Узз(р)  Г\ У44)Г\

^ и(р) из(р) Щ(р)

в

Ум(р)

V V

Уз4(р)

т

ТТ ( ) тт, л        ^ У(Р)

иі(р) и2(р) ^(Р^-^ ^ил(р)

б

Уіз(р)

ТТі(р) и(р)

г

Уз4(р)

Т 4(р)

Т з(р)

Т і(р)

У2і(р)      4* ^^ЗД)^'

ТІ2(р) ТІз(р) д

Т 4(р)

Рисунок 8.іі - Фактори графа (рис.8. і0)

4. Обчислюють визначник як суму ваг усіх факторів, взятих з визначе­ним за декрементом знаком:

6 Підстановкою п-го порядку називають таблицю з п стовпців:

Ґ 1і     12     ...    1п ^

де верхнє і нижнє числа г-го стовпця дорівнюють відповідно номеру 1 рядка та номеру і стовпця матриці, з яких взятий г-й співмножник д-го члена визначника.

бзо

А7 = (-1)° у + (-1)1 у + (-1)1 м,в + (-1)2 м,т + (-1)2 ^

д

= Ы Р Р р)Уи( Р) - Уц( Р)У22( Р)Уи( Р)Ув( Р) - у12( Р)У2і( Р)У»( Р)Уи( Р) +

Щоб знайти алгебраїчне доповнення, наприклад А14, граф (рис.8.1°)

треба перетворити у такий спосіб:

1. У вихідному графі (матриці) відкинути усі дуги, спрямовані до верши­ни 1, а також усі дуги, що виходять з вершини 4.

2. Вершини 1 та 4 об'єднати .

Одержаний граф відповідає мінору М14. Для обчислення доповнення ре­зультат треба помножити на (-1)1+4.

3. Розрахувати визначник здобутого графа. Результуючий граф мінора М14 зображений на рис.8.12.

Доповнення =-у21(р)у32(р)у43(р).

Зручність розглянутого методу для аналізу кіл з розрідженою матрицею коефіцієнтів (з малою зв'язністю графа матриці) очевидна. Але зі зростанням кількості вузлів схеми (вершин графа) процес перебору усіх факторів стає складною задачею, яка потребує подальшої математичної формалізації. Резуль­татом такої формалізації стала поява численних методів (кореневого графа, й-дерев, К-дерев тощо), яким присвячена спеціальна література теорії кіл.

Аналіз складних кіл за методом графа матриці можливий також за допо­могою еквівалентних перетворень графа із зменшенням його порядку (тобто кількості вершин). Ці перетворення виконують, встановлюючи відповідність між матрицею коефіцієнтів системи рівнянь вузлових напруг перед та після виключення внутрішнього вузла схеми (вершини графа). Як приклад на рис.8.13-8.15 показані перетворення ділянок графа.

+ У13 (Р)У21(Р)У32 (Р)У44 (Р) + У12 (Р)У21(Р^34 ^43 (Р) .

Угх(Р)

Рисунок 8.12 - Граф мінора для графа (рис.8.1°)

Рисунок 8.13 - Еквівалентні перетворення графа схеми

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації