Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 113

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Такі (та їм подібні) еквівалентні перетворення графа виключенням єдиної вершини можна звести у таблицю, використовуючи яку легко згорнути вихід­ний граф до простішого, і за наведеним вище методом обчислити його визнач­ник та алгебраїчне доповнення.

УаЬ (Р)УЬа (Р)

Уьь (Р)

Рисунок 8. 14 - Еквівалентні перетворення графа схеми

а

Уса(Р)

Ь

Усс(Р)

л

ї У Уйс(Р)

с

Уес(Р)

а

Уса (Р)Уес (Р) Усс (Р)

Ь

УсЬ (Р)Уйс (Р) Усс (Р)

а

б

УсЬ (Р)Уес (Р) Усс (Р)

Рисунок 8.15 - Еквівалентні перетворення графа схеми

8.6.4 Теоретико-множинні методи

При виборі та розробці методики аналізу лінійних кіл у багатьох випадках використання графів є доцільним через наочність подання графами причинно-наслідкових зв'язків між змінними. Разом з цим слід відзначити, що при аналізі складних кіл їх моделювання графами має другорядну роль, оскільки такі графи стають надмірно громіздкими і втрачають головну перевагу - наочність. Для вводу до ЕОМ графи все одно треба відображати матрицями (двовимірними масивами) символів або чисел. Це обумовлює застосування теоретико-множинних методів для оперування над масивами символів або чисел, що од­нозначно пов' язані (є ізоморфними) з відповідними графами.

Як приклад, що ілюструє можливості теоретико-множинних методів, доцільно розглянути методи контурних та узагальнених чисел.

Нехай схема надана набором двополюсних (однобрамних) провідностей, увімкнених до загального вузла, та джерелами струму, керованими напругою (входи яких мають спільний вузол, теж увімкнений до загального вузла схеми). У цьому випадку в матриці вузлових провідностей кожен елемент У у (р)

ізоморфний (взаємно однозначно відповідає) власній або передатній провідності схеми.

Тоді задачу розкладання визначника за символами провідностей У у (р)

можна звести до операцій над індексами т, І ненульових елементів Ут1 (р) мат­риці, які виконують, щоб знайти множину всіх підстановок членів визначника (зважених факторів графа матриці).

Структуру матриці визначено розташуванням її ненульових елементів, тобто множиною індексів т, І.

Наприклад, структуру матриці провідностей

Уіі(р) Уц(р)    о      о о

У(Р)    У22(р)    У2з(р) 0 0

(У (р))=     0      Уз2(р)   Узз(р)   Уз4(р)   Узз(р)| (8.35)

0 0 У4з( р)    У44( р)    У45( р)

0 0 У5з( р)    У54( р)    У55( рі

відображають множиною її ненульових елементів

{т, І}={11, 12, 21, 22, 23, 32, 33, 34, 35, 43, 44, 45, 53, 54, 55}, оскільки за елементами цієї множини можна повністю відновити розташування ізоморфних елементів у матриці.

Для кожного т-го рядка матриці індекси т, І мають спільний індекс т, тому таку множину індексів можна частково упорядкувати, якщо в т-му рядку записувати лише індекси І. Таку частково впорядковану множину індексів т, І називають матричним числом рм.

Наприклад, структуру матриці (8.35) повністю відображено матричним числомв

м

1

Г1

2

 

2

1

2

З

З

2

З

4 З

4

З

4

З

З

V З

4

3 ,

(8.З3а)

У такому матричному числі індексам т та / ненульових елементів матриці (У(р)) відповідають індекс т, винесений за дужки, та індекс / у дужках.

Щоб знайти усі підстановки (членів розкладання визначника), достатньо визначити впорядковані стовпці, утворені різними сполученнями індексів /, взятих по одному від кожного рядка матричного числа. При цьому усі індекси рядків т вже впорядковані у матричному числі. Сполучення з індексів І, взя­тих по одному з кожного рядкового числа, називають членами Декартово-

7 8

го добутку цих рядкових множин. Але ці члени можуть мати сполучення індексів / з однаковими значеннями (у формулі (8.35а) такі сполучення дають нульові значення коефіцієнтів при добутках символів).

Ці члени можна виключити, виконавши Декартове множення рядкових множин над полем модуля 2 (оскільки операціями над полем модуля 2 нази­вають такі, результат яких над однаковими об'єктами дорівнює нулю).

Записавши сполучення різних індексів І, взятих по одному з кожного рядка матричного числа, одержимо шукану множину усіх підстановок індексів членів визначника. Таку множину підстановок називають контурним числом Р(т / /).

Оскільки кожній підстановці відповідає один з доданків визначника, для його запису у звичайній алгебраїчній формі можна скористатися формулою:

Б = сієї р = сїе1м )т(Х12.

Реалізацію цієї формули забезпечують наступним алгоритмом розкладан­ня визначника за ненульовими елементами Ут1 (р) квадратної матриці:

1. Для наданої матриці скласти матричне число.

7

Декарт Рене, Descartes (1396-1630) - французський математик, фізик, філософ і фі­зіолог. Математичні дослідження тісно пов'язані з його філософськими та фізичними працями. В «Геометрії» (16З7) уперше запровадив поняття змінної величини і функції. Від'ємні числа тлумачив у вигляді спрямованих ординат. Увів загально­прийняті тепер знаки для змінних і шуканих величин (х,у, z, ...), літерних коефіцієнтів (а, b, с,...), а також степенів (х3, а6, ...). В аналітичній геометрії створив метод пря­молінійних координат. Зазначив той факт, що степінь рівняння кривої не залежить від вибору прямокутної системи координат. Виклав алгебраїчний спосіб побудови нор­малей і дотичних до плоских кривих. З ім'ям Декарта пов'язані такі поняття, як коор­динати, добуток, парабола, лист, овал тощо.

Декартовим добутком E = E1xE2 множин E1 та E2 називають сукупність множин (e1,e2), утворених усіма можливими сполученнями елементів, взятих по одному з кож­ної з множин, що перемножуються.

6З2. Прийняти номер рядка матричного числа т = 1.

3. Під кожним елементом т-го рядка матричного числа провести лінії, під якими виписати усі індекси І з (т +1 )-го рядка, які відрізняються від усіх верхніх номерів, відділених лініями, в даному стовпці.

4. Якщо т ф N, де N - порядок матриці, то прийняти т = т +1 та перей­ти до кроку 3, інакше - до кроку 5.

5. В одержаному контурному числі зберегти лише стовпці, утворені індексами І у найнижчому рядку та записати над ними індексами І решту рядків. Усі стовпці, які мають менш, ніж N членів, викреслити.

6. Визначити у кожному стовпці кількість інверсій, яка дорівнює сумі кількості більших індексів над кожним індексом І стовпця, та підкреслити стовпці з непарною кількістю інверсій.

7. Замінити елементи т, І (з урахуванням номеру рядка) для кожного сто­впця відповідними елементами Утї(р) матриці та надати від'ємні знаки членам,

які відповідають підкресленим стовпцям. Лінії, які відділяють більш ніж один елемент І, відповідають відкриттю дужок в алгебраїчному запису розкладання визначника.

Для матричного числа (8.35 а) виходить:

1

(1

2

 

 

1

1

 

 

2

 

2

1

2

3

 

2

2

3

 

1

 

Б = с1еі3

2

3

4 5

 

=3

3 4 5

2

3

4

5

4

3

4

5

 

4

4 5 3 5 3 4

4 5

4 5

3 5

3 4

5

V 3

4

5 >

тос12

5

5 4 5 3 4 3

5 4

5 4

5 3

4 5

= 11 ){У22 )[У33 )(У44 )У55 (РУУ 45(Р)У54 ))^34 )(У45 )У53 (Р) -4 )У55 (Р))+ + У35 43 )У54 (Р) - У44 )У53 (Р))] + У23 )У32 )(У45 (Р)У54 (Р) " У44 (Р)У55 (Р))} + + У12 (Р)У21(Р)[У33 )(У45 )У54 (Р) - У44 )У55 (Р)) + + У34 )(У43 )У55 (Р) - У45 )У53 (Р)) + У35 (Р)((У43 )У54 (Р) - У44 (Р)У55 (Р))].

Такий саме алгоритм використовують і для розкладання (за ненульовими елементами) мінорів МаЬ, для чого попередньо треба в матричному числі ви­креслити а-й рядок та усі індекси / = Ь .

Для розглянутого прикладу:

1       2 3

А15 =

сієї

(1

2

31

 

2

2

3

4

 

=3

3

4

 

 

=4

V 3

4

)

тоё2

5

2       3   4  2 4

2

1

 

=3

2

 

=4

3

4

5

4

3

3 4   4   3 4

4 3

= У2і(Р)у32 )ІУ43 )У54 (Р) - У44 (Р)У53 (Р)].

Якщо схема кола містить незаземлені взаємні вітки, перехід від одержа­них числових виразів до виразів, що мають символи-літери, відповідні до про-відностей цих віток, стає складним, оскільки треба зводити подібні члени. Це єнаслідком відомого факту, що кожен елемент матриці провідностей вже є комбінацією (алгебраїчною сумою) провідностей віток.

Метод узагальнених чисел дозволяє відображати положення окремих віток у матриці провідностей за допомогою множини чисел, які називають уза­гальненими числами.

Розкладання визначника матриці за символами-літерами параметрів віток базується на заміні ненульових елементів матриці сумами відповідних пара­метрів віток еквівалентної схеми.

Якщо в кожному контурному числі замінити кожен елемент т, І множи­ною к віток схеми, параметри яких є складовими елементами Утї (р) матриці, та

знайти для кожного стовпця Декартів добуток множини номерів над полем мо­дуля 2, то виходить множина стовпців з різними індексами к.

Для еквівалентної схеми із взаємними вітками кожен такий стовпець відповідає дереву схеми, утвореному увімкненням N віток із всіма її N +1 вуз­лами. Тому одержану частково впорядковану множину стовпців з різними но­мерами к називають деревним числом Р(к).

У деревному числі мають бути також викреслені пари стовпців з однако­вими сполученнями індексів (дублікації), які відповідають "незаземленим кон­турам" з віток схеми, що не утворюють дерева.

Наведений метод ілюструє обчислення визначника В матриці провідностей для схеми рис.8.16.

Матриця провідностей

( Р))=2

1 2 3

(Шр) Уі2(р) Уіз(р)

Уіі( Р) У23( Р)

У32(р) У33(р)

У21(р) У31(р)

1

= 2

3

( Уі( р)+У2( р) - Уі( р)

У4(р)-Уі(р) уз(р)+Уз(р)

2(р)

Контурне число Р(т/І)

2 2 2

- Уз( р)

3 ї

з з

тосі 2

2(р)

- уз( р) у2( р)+У5( р№( р)

2

3

23 і3 і2 323і2і

і

Рисунок 8.16 - Схема кола для ілюстрації методу узагальнених чисел

Заміна І в індексі т, І множиною к з урахуванням знака провідності у матриці (У(р)) дає таке співвідношення:

 

1

2

-1

-2

) =

1 3 5

-5

4 -1 - 5

4 -1 1 3 5

 

2 5 6

-5

2 5 6 - 2

-5 -2

тос12

1

2

3   5   1 3 5

-1

4

1 2 2 5   4 1

2 5 6 2 6   5 6 6    256   _2_   5 _5_

В одержаній множині стовпців є дві пари дублікацій, що відповідають "незаземленому" контуру, утвореному вітками Уі( р), У2( р), У5( р). Якщо усу­нути ці дублікації, формула для обчислення визначника матиме вигляд:

і     2     і        і 2

В = (Сеі

3

5 6

5 2

6 3 6 4

2 5 6

4 5

Й (Р) + У2 (Р)][Уз ¥ (р) + ¥6 (Р)) + ¥5 (р)І6 (р)]

+

+ ¥1 )¥2 )[¥з (р) + ¥6 (р)] + ¥4 )[¥1 )(¥2 (р) + ¥5 (р) + ¥6 (р)) + ¥2 )¥5 (р)].

8.6.5. Метод взаємних похідних

Розглянуті вище символьні та чисельно-символьні методи аналізу елект­ричних кіл спрямовані на обчислення однієї функції кола, тобто визначника та алгебраїчних доповнень, які цю функцію кола визначають.

Існує інша група чисельно-символьних методів, яка використовує обчис­лення елементів оберненої матриці коефіцієнтів системи рівнянь рівноваги та їхзалежність від літерних символів. До таких методів належать метод взаємних похідних та метод модифікацій.

Якщо у розкладанні визначника (8.28) за дужки винести значення визнач­ника А0, з огляду на формули (4.21а, б) можна записати чисельно-символьний вираз:

А(Ж) =А0 [1 + Ж (р)(іас (р) - 1Ьс (р) - 1ай (р) + (р))] =

г і (8.36)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації