Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 114

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

= А0 [1 + Ж (р) 1 (а+Ь){с+л) (р)] = А0 [1 + Ж )4

де а, Ь номери вузлів, напруга на яких (потенціал вузла а вищий за поте­нціал вузла Ь) керує струмом джерела струму, увімкненого між вузлами с, С (струм джерела спрямовано від вузла с до вузла С) з передатною провідністю £ (р) = Ж (р); 1^ (р) - елементи оберненої матриці, обчисленої при Ж (р) = 0.

аі о

Ца1Ьі(р)

Ьі о

с1

Жх(р)иаШ(р)

о І1

а2 о

иаж(р)

Ь2 о

с2

Ж2(р)ІІа2Ь2(р)

О СІ2

Рисунок 8.17 - Керовані джерела з передатними провідностями Ж1(р), Ж2(р)

Для двох керованих джерел (рис.8.17) з передатними провідностями Ж1( р), Ж2( р) символьний вираз А(Ж1,Ж2) матиме вигляд:

А(Ж12) = А0Ж1( р)Ж2( р)

1

Ж1(р) 11

12

21

Ж2(р) 22

(8.37)

де за аналогією з нормованими (значенням А0) власними похідними

^11 = 1 (а, + Ь, )(с, + С,)(р)

від визначника А за параметрами Ж (р), коефіцієнти £,12, £, 21 можна вважати

похідними від визначника за передатними провідностями Ж12(р), Ж21(р) (зна­чення яких дорівнюють нулю) джерел струму, керованих напругою, в яких ке­руюча вітка належить до однієї брами (наприклад, а1 + Ь1 на рис.8.17), а керова­на - до іншої (взаємної, тобто с2 + С2).

Такі нормовані похідні у подальшому називаються взаємними похідними, обчислюваними за формулами:

£у = 1а1с] (р) - 1Ь1с] (р) - 1а1С] (р) + 1Ь1С] (р) . (8.38)

Введення взаємних похідних дозволяє у компактному вигляді записати визначник як функцію к провідностей:

А(Ж12,..., Жк) = А0Ж1( р) Ж2( р)...Жк (р) х

X

Ж1(р)

§ 21 11 12

Ж2(р) 22

к1

к2

§1к § 2к

1

кк

(8.38а)

Жк(р)

Оскільки довільне алгебраїчне доповнення Ау можна записати у вигляді:

А= А +0)( і+0) = А° 1ї] (р) = а0 1 ( і+0)(,+0)( р) = а0§, тобто як похідну від визначника за передатною провідністю джерела струму, керуюча вітка якого увімкнена до брами і + 0, а керована - до брами і + 0, при­чому сама передатна провідність такого джерела дорівнює нулю, то алгебраїчне доповнення Аі можна подати як похідну від виразу (8.38а) у вигляді:

Аі(Ж,..,Жк) = дА%Ж1

дЖ;і

жі = 0

=А0Ж1( р)Ж2( р)...Жк (р)

Ж1( р)

$21

§ І1 11 12

Ж2(р)

22

§к 2 § І 2

§1к § 2к

1

Жк(р)

кк

§

Ік

§1 §2

§к

(8.39)

§is = 1іс, (р) - 1іС,, (р) = 1 + 0)(с, +   )(р) .

Обчислюючи функції кіл у виразах (8.38), (8.39), множники А0 Ж1(р)...Жк(р) можна одразу ж відкинути, оскільки вони скорочуються і будь-яка функція кола утворюється відношеннями комбінацій доповнень (8.39), або доповнень і визначника (8.38а).

Наприклад, для передатного опору з брами і + 0 або брами І + 0 справед­ливе співвідношення:

1і ,...,жк) =

^7"+^ 11 £12

£ к1 £к2 £11 £ 12

Підрахунок кількості коефіцієнтів, необхідних, щоб зберегти символьну залежність у вигляді (8.38), (8.39), порівняно із розкладанням (8.28) за сумар­ними алгебраїчними доповненнями, якщо кількість к символів менша N -кількість вузлів схеми), а вітки, провідності яких замінені символами Жі (р), не

утворюють контурів, дає такі результати. При к = 100, кількість коефіцієнтів г у

виразі (8.28) становить г = 2100 > 1030, тоді як у виразі (8.38а) кількість ко-

2 4

ефіцієнтів £8д дорівнює 100 = 10 .

£ £1

£ £

2

1

"+£ кк   £ кі

1

Ж1

£21

11

12

Ж2

22

£

к1

к2

£1к £2к

1

кк

(8.40)

1

8.6.6 Метод модифікацій

Метод взаємних похідних дозволяє записати символьний вираз для ви­значника (алгебраїчного доповнення) при великій кількості символів у значно компактнішому вигляді (матриці взаємних похідних), ніж при запису за білінійним розкладанням. Але необхідність оперувати зі зручними для користу­вача виразами часто призводить до розкриття визначника у вигляді впорядко­ваного запису за взаємними похідними. При цьому весь виграш (компактність) втрачається. Тому метод взаємних похідних вимагає інших підходів до оцінки впливу на результат параметрів, представлених символами. Це призводить до матрично-структурного методу модифікацій, який одержано саме з методу взаємних похідних.

Як вже розглядалося вище у п.8.6.5, залежність одного алгебраїчного до­повнення Агу (8.39) матриці провідностей від к провідностей Жі(р) віток кола

в узагальненому вигляді можна записати як

_1_А^1,..Л) = А°І(£°°(1/Ж)) (£0і)

(£ 10) 2

(8.41)

Розв'язок цього рівняння відносно 21 (р) можна одержати у вигляді:

1,...,Жк ))= ^ш'"'^=((іі(р))-(£ ю )(£00(1/ж   ), (8.42) А(W1,..., жк)

де (£ 10) та (£0і) - відповідно рядок та стовпець у виразі (8.39), що окайм-ляє матрицю (£00); (£00(1/ Щ) )-1 - обернена матриця взаємних похідних з на­даними значеннями Щ (р).

Для усіх елементів оберненої матриці провідностей (2(р)) вираз (8.42) має вигляд:

(2Жк))=(2(р))0 -(£20)(£00(1/Жі(£02), (8.43)

де (2 (р) )0 - обернена матриця при нульових провідностях Ж1,...,Жк = 0; (£20) - прямокутна матриця розміру п х к, складена зі стовпців (£0і) у виразі (8.42); (£02) - прямокутна матриця к х п , складена з рядків (£10) у формулі

(8.42) для кожної з к провідностей Жі(р); (£00(1/Жі)) - матриця взаємних похідних порядку к, до головної діагоналі якої додані значення diag(1/ Жі) провідностей Ж ( р) .

На жаль, матриця (£00(1/ Жі)) може бути погано зумовленою, що для

радіотехнічних кіл є скоріше нормою, ніж винятком. Тому формулу (8.43) для обчислень значень оберненої матриці при зміні параметрів компонентів вико­ристовувати недоцільно (хоча вона є точним аналітичним виразом, який уза­гальнює на випадок оберненої матриці символьне розкладання функцій кола за сумарними алгебраїчними доповненнями).

Найвдалішим методом обчислення оберненої матриці за виразом (8.43) є метод модифікацій, суть якого полягає в покроковому урахуванні («вирощу­ванні») параметрів Жі (р) з використанням інформації про структуру схеми

аналізованого кола, що дозволяє підвищити швидкодію обчислень, а також вве­сти відповідний до методу зручний та прозорий параметричний критерій оцінки точності обернення матриці провідностей.

Нехай коло містить лише провідності (в тому числі передатні - джерел струму, керованих напругою) та незалежні джерела струму. Нехай надана схема рис.8.18, а, для якої слід знайти обернену матрицю провідностей. Для реалізації методу, який базується на модифікаціях, тобто «вирощуваннях» провідностей Ж (р), слід розбити схему (рис.8.18, а) наданням значення Жі (р) = 0 провідностям деяких віток, що з'єднують між собою окремі блоки А, В, С і

одержати у такий спосіб нульову модифікацію схеми (рис.8.18, б).

За схемою (рис.8.18, б) для окремих підсхем А, В, С можна знайти їхні

обернені матриці провідностей (нульова модифікація схеми, нульова мо­дифікація матриці провідностей, нульова модифікація оберненої матриці). Обернені матриці підсхем (2 (р))А, (2(р))В, (2(р))С утворюють блоки діагоналі

оберненої (2(р))0 матриці провідностей (р))0 всієї схеми.

Ж1(р)

Ж2(р)

Ж3(р)

ЖА(р)

а

О О

б

Рисунок 8.18 - Пояснення методу модифікацій для обернення матриць: а - вихідна схема кола; б - нульова модифікація схеми

Кожен елемент (блок) діагоналі (У(р))А, (У(р))В, (У(р))С має порядок

менший, ніж (У(р))0. Тому його обернення потребує значно менших часових

витрат і пов'язане з накопиченням меншої операційної похибки.

Крім   того,   при   оберненні   матриці   (У (р))0   краще враховується

розрідженість матриці вузлових провідностей, оскільки при цьому з операцій автоматично виключені усі нулі, якими заповнені підматриці ззовні від голов­ної діагоналі.

Далі схему модифікують послідовним «вирощуванням» провідностей віток Ж1(р),...,Жк(р), які об'єднують підсхеми А, В, С.

Після кожного кроку «вирощування» одержують нову модифікацію схе­ми і оберненої матриці. Так, після т -го кроку одержимо т -ту модифікацію оберненої матриці за формулою:

(А( р))т-1 =

(8.44)

(2 (р))т = (У ( р))1 = (2 (р) -1 = (2 ( р) )т-1

тт

1

1/Жт (р) + £

1 + Жт (р)£

(А(р))т-1

тде (2(р))т-1 - (т - 1)-та модифікація оберненої матриці; £тт - взаємна похідна, обчислювана за формулою:

£тт = 2+Ь)(с+й)(р) = 2ае (р) - 2 ай (р) - 2Ьс (р) + 2Ьй (p), (8.44а)

де а, Ь - номери вузлів, до яких увімкнена керуюча вітка (вважається, що

вузол а має потенціал більший, ніж вузол Ь), ас, й - номери вузлів, до яких

увімкнена керована вітка (струм тече від вузла с до вузла й) джерела струму, керованого напругою, передатна провідність якого  Жт (р) = Бт (р) (якщо

якийсь з вузлів а, Ь, с, й увімкнено до загального, то елемент оберненої матриці

з відповідним нульовим індексом дорівнює нулю);

р))т-1 = Й20 х£02 X

де

20 )=(21с (р) - 2(р) 22с (р) - 2(р) ... 2пс (р) - 2пй )1; (844б) 02 )=(2а1(р) - 2Ь1(р)    2а2(р) - 2Ь2(р)    ...    2Ьп (р) - 2ап (p)),

де п - порядок матриці (2(р)); і - знак транспонування.

Усі значення 2^ (р) у виразах (8.44) слід брати з матриці (2 (р) )т-1.

Якщо при модифікації схеми (матриці) «вирощують» провідність двопо­люсника (вітки), тоді а = с;Ь = й.

Оцінити ефективність методу можна, обчисливши кількість операцій множення/ділення при оберненні матриці провідностей.

Так, якщо схема кола має п незалежних вузлів, то кількість операцій

множення/ділення г за методом Гаусса становить г = п3.

При аналізі радіотехнічних кіл розрідженість матриць провідностей є ду­же великою (кількість нульових елементів рядка становить 3-10). Це зумовлює можливість дуже простого (розриванням малої кількості віток) приведення її до блочно-діагонального вигляду. Якщо наприклад, порядки матриць у блоках діагоналі однакові (пк), так що п = ^ пк = ІГ0пк , тоді кількість операцій мно-

к

ження/ділення  для  обернення  підматриць  за методом  Гаусса становить

3 • 3

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації