Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 115

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

гк = ІГ0пк, що значно менше, ніж (ІГ0пк) . Нехай наприклад, схема аналізованого кола має п = 100 вузлів. Якщо її розбити на ІГ0 = 10 однакових підсхем      = 10), то для обернення матриці провідностей кола без розбиття

потрібно г1 = 106 операцій множення/ділення, а для обчислення нульової мо­дифікації - г2 = 104 таких операцій. Різниця в кількості операцій буде зростати

із зростанням п порядку матриці провідностей і залежатиме від більш або менш вдалого поділу вихідної схеми на підсхеми. Результуюча економія кількості операцій також залежатиме від кількості кроків модифікації (8.44), оскільки на

один крок модифікації треба виконати 2п операцій множення матриць для об­численняк (А( р) -1 = (£ 2 0 ))£0 2 , де к

1

(8.44в)

1/ Ж (р) + £

тт

Виграш у кількості операцій буде повністю відсутнім при аналізі схеми з повним графом (коли кожен вузол з'єднаний вітками з усіма іншими).

Наведений вище метод модифікацій дозволяє одержати обернену матри­цю без зменшення порядку цієї матриці п, а також із зменшенням порядку оберненої матриці.

Алгоритм методу модифікацій обернення матриці провідностей без зменшення порядку матриці.

1. Розбити вихідну схему кола на підсхеми, розірвавши вітки, що з' єднують між собою окремі підсхеми.

2. Для кожної підсхеми довільним методом (Гаусса, теоретико-множинним, методом модифікацій) знайти обернені матриці провідностей блоків діагоналей.

3. Прийняти номер кроку т = 1.

4. За формулами (8.44) для т-го кроку модифікації знайти обернену мат­рицю.

5. Якщо т < М - загальна кількість розірваних віток), тоді т = т +1 і повернутися до пункту 3 алгоритму, інакше закінчити обчислення.

У більшості випадків аналізу кіл потрібно обчислити лише деякі функції кола відносно обмеженої кількості входів (брам), які будемо називати безумов­ними. У цьому випадку обернена матриця повинна мати тільки ті рядки і стовпці, номери яких збігаються з номерами вузлів, що утворюють цю обмеже­ну кількість брам.

Щоб реалізувати метод модифікацій зі зменшенням порядку (ре­дукцією) результуючої матриці, слід використовувати наступний алгоритм.

1. Розбити вихідну схему на поодинокі підсхеми, розірвавши вітки (на­давши провідностям цих віток нульові значення).

2. Будь-яким відомим методом знайти обернені матриці окремих блоків.

3. Викреслити в одержаних обернених матрицях рядки і стовпці, номери яких відповідають внутрішнім вузлам, тобто таким, які не збігаються з вузлами, що утворюють безумовні входи, або до яких не увімкнені ще не «вирощені» вітки.

4. Скласти ієрархію об'єднання підсхем (пари елементарних підсхем, які треба об'єднати за методом модифікацій, пари для цих пар та ін., поки усі схе­ми не будуть об'єднані).

5. Прийняти т = 1.

6. Для т-ї модифікації за формулами (8.44) обчислити т-ту модифікацію оберненої матриці. При цьому після обчислення £тт викреслити з матриці

(2 (р) )т-1 усі рядки та стовпці, що відповідають вузлам увімкнення провідності Жт (р), і сформувати зредуковані матриці (£20), (£02), (А)т-1, к(а)-1. Одержа­на у такий спосіб матриця (2 (р) )т буде зредукована (матиме менший порядок).

7. Якщо т < М , тоді т = т +1, перейти до пункту 6 алгоритму. Інакше -закінчити обчислення.

При реалізації цього алгоритму кількість операцій (множення/ділення) порівняно з алгоритмом без редукції зменшується на 1 - 3 порядки.

Метод модифікацій (8.44) зручний для обернення матриці вузлових провідностей, коли, наприклад, метод Гаусса може створювати значні похибки (внаслідок обмеженої розрядності операндів). Це зумовлено тим, що для кожної модифікації формула (8.44) є аналітичною залежністю усіх елементів оберненої матриці (р))т від «вирощуваного» параметра Жт (р).

Наприклад, при короткому замиканні між двома вузлами схеми ((р) = да) або дуже великої провідності (машинна нескінченність) невизна­ченість да / да легко розкривається:

(і ( Р) =(і (Р) -1 -7^- (А( Р) -1. (8.45)

тт

При реалізації методу модифікацій часто виникають ситуації, коли треба об'єднати підсхему, яка має загальний (заземлений) вузол в обраній системі ко­ординат, і таку підсхему, яка до загального вузла не увімкнена (рис.8.19). Таку ситуацію можна визначити як «вирощування» незаземленої підсхеми.

Для «заземленої» підсхеми А і «плаваючої» підсхеми В (рис.8.19, а) спо­чатку об'єднують вузли а, а', після чого об'єднання вузлів Ь та Ь ніякої про­блеми не становить. (Проблема при об'єднанні вузлів а та а' за методом мо­дифікацій полягає в тому, що обернена матриця підсхеми В не існує).

При «вирощуванні» плаваючої підсхеми алгоритм об' єднання є таким.

1. Знайти обернену матрицю підсхеми А (розірвавши попередньо її зв' язки з «плаваючою» підсхемою В ).

2. Якщо перший з відновлюваних («вирощуваних») зв'язків - вітка а, а' з

нульовим опором (рис.8.19, а), то слід обернути матрицю провідностей підсхе­ми В з «заземленим» вузлом а' (рис.8.19, б).

3. Утворити з обох обернених матриць блочно-діагональну матрицю ну­льової модифікації схеми (рис.8.19, б). Для визначеності нехай першим блоком діагоналі буде матриця (р) )А, а другим - (р))В.

4. Стовпець з номером а матриці (р)записати в усі нульові стовпці підматриці, яка лежить над матрицею (р))В.

5. Рядок з номером а матриці (р))а записати в усі нульові рядки під­матриці ліворуч від матриці (р))В.

6. Значення елемента 2аа (р) додати до усіх елементів матриці (р))В.

Після об'єднання вузлів а та а' за формулою (8.44) «вирощуються» зв'язки між вузлами Ь та Ь і так далі.

Ь

а

Ь Ь —о о—

б

В

ь ь

в

Рисунок 8.19 - «Вирощування» незаземленої підсхеми

Приклад   8.8.   «Виростити»   за  наданим   алгоритмом  підсхему В (рис.8.19, в) у вигляді вітки з провідністю О = 10. Розв'язання.

1. Нехай матриця )а , обчислена за відомою структурою і вагою віток підсхеми А , має вигляд:

(3   1   1 ^ )а = 4   2 1 12   1 4.

2. Для «заземленого» вузла підсхеми В одержимо:

= 1/О = 0,1.

3. Блочно-діагональна матриця має вигляд:

(3 1 1 0

АВ

4 2 1 0 2 1 4 0 0 0 0 0,1

4. Перенесемо 3-й стовпець матриці в нульовий стовпець матриці

АВ

(3

1

1

1 >

4

2

1

1

2

1

4

4

ч0

0

0

0,1;

5. Перенесемо 3-й рядок матриці )А у нульовий рядок матриці )АВ:

(z)

AB

Г з

4 2 2

1 1    1 ^

2 1 1

144

1   4 0,1,

6. Додамо до елементів матриці (z )B у матриці (Z) AB

Гз 1 1 1 значення Z33 = 4:

(z)

ABE

4 2 1 1 2 1 4 4

2   1   4 4,1

Отже, метод модифікацій є досить зручним для обернення погано зумов­лених матриць.

Вплив обмеженої розрядності операндів на результати обчислень пояснює наступний приклад.

Приклад 8.9. Нехай надано схему рис.8.20, a зі значеннями параметрів: G1 = 4; G2 = 0,01; G3 = 3; G4 = 1; S1 = 40; S2 = 30. Знайти обернену матрицю провідностей за методом модифікацій. Розрахунок провести з розрядністю 3.

Розв'язання.

1. Розірвемо вітки G2, S1, S2 і утворимо нульову модифікацію схеми (рис.8.20, б). Матриця (Y)0 системи рівнянь вузлових напруг має вигляд:

звідки

 

Г G1

0

0 1

 

Г4

0

0 1

(Y )0 =

0

G3

0

=

0

3

0 ,

 

v 0

0

G4 ,

 

v 0

0

1J

 

 

0 Г=

Г1/4

0

01

 

(Z )0

=Y

 

0

 

1/3

0

 

 

 

 

v 0

 

0

1J

 

2. Виростимо спочатку (перша модифікація) передатну провідність 5^ = 40   (рис.8.20, в).   Оскільки   вузли   увімкнення   керованого джерела

(2+0),(1+0), то

£11 = 2(1+0)(2+0) = 212 = 0 ;

(£ 2 0 )=(^12   2 22   231 ) =(0   1/3 0)1; (£0 2 )=(2ц )=(1/4   0 0).

За формулою (8.44) отримаємо:

 

г 0,25

0

01

 

Г 0 І

 

' 0,25

0 0^

(Z)1 =

0

0,33

0

- 40

0,333

(0,25 0 0)=

- 3,33

0,333 0

 

v0

0

1J

 

v    0 ,

 

v 0

0 1J

О2

2

О1

О3

т т т т т

2

3

О1

о-

1 ґ

О3

О4

^1

/1=51 ил

2

а 3

1

б

2

3

О1

т т т т

ґ

^1

О3

О4

О1

02

О3

в

/2=^2^2

г

Рисунок 8.20 - До прикладу 8.9: а - вихідна схема; б - нульова модифікація; в - перша модифікація; г - друга модифікація

Виростимо тепер (рис.8.20, г) передатну провідність 52 = 30. Одержимо:

£22 = 2(2+0)(3+0) = 0 ;

(£ 2 0 ) = (2„   2 23       ) =(0   0 Г)1; (£02 ) = (221 223 )=(- 3,33  0,333 0)

і обернену матрицю:

 

' 0,25

0

01

 

( 0

0

01

 

' 0,25

0

01

(2 )2 =

- 3,33

0,333

0

-30

0

0

0

=

- 3,33

0,333

0

 

V 0

0

1;

 

ч- 3,33

0,333

0 ;

 

V 99,9

-9,99

1;

Нарешті, на третьому кроці виростимо О2 = 0,01 і повернемося до схеми

(рис.8.20, а).

Точні значення оберненої матриці для схеми (рис.8.20, а) )т, матриця (і V, одержана за методом модифікацій, та матриця (і )Г, одержана за методом

1

1

3

ОГаусса (дві останні знайдені з розрядністю 3 і плаваючою комою), наведено у табл.8.1.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації