Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 12

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

бя зя

1

Г              ' Л

_ 0,8зз 10_4е 10_2 + з,зз 10_4

V у

См

)

1

зя

1

зя

1

зя

 

•    * 1,66 •ю-4

Г     і Л

•1( і), См

 

 

 

 

1 _ е  і /(1,5я)

V у

 

1 _ е 10 _2

V у

 

ь(*)

1

зя

1

бя

1  е  і /(1,5я) + 1

бя зя

V у

 

Г                     і Л 0,8зз 10_ 4 е 10 _2 +1,66 10_ 4

V у

1( і), См

и1 )

0

0,5

0,5 е 1 /(1,5я) •Ці) = 0,5 е 10_2 4(і)

з,зз • 10 _4 2,5 • 10 _4

1,66 -10_4

0

0,5

0,184

І-1-1-1-^      і:-1-1-1-*

10      20      з0       і, мс       0       10      20      з0    і, мс

Рисунок 2.7 - Графіки перехідних характеристик у прикладі 2.з

Приклад 2.4. Визначити перехідну характеристику кола (рис.2.8, а), вва­жаючи дією струм і (і), а відгуком - напругу и ). Записати вираз для

перехідної характеристики і побудувати її графік для я2 = яз = я; я1 = 2я .

Розв'язання. Визначимо основні параметри для розрахунку шуканої пе­рехідної характеристики:

1) сталу часу кола т = Сяе,

де яе =—^-—— еквівалентний опір кола (рис.2.8, б) відносно затис-

е я1 + я2 + яз

качів ємності при розімкнених вхідних затискачах = 0);і (і)

и (і)

я1

я2

С

1

яз

я2

t

о­

я1

яе

і(да) = 1

а

ё (со)

я2

і(+0) = 1

Н

б

яз

я1

о-

яз

ё (+0)

я2

я1

яз

в

г

Рисунок 2.8 - До прикладу 2.4: а - схема кола; б - еквівалентна схема для визначення яе; в - режим кола при і—»да; г - режим кола при і = +0

2) вимушену складову перехідної характеристики (рис.2.8, в)

ёивм

( )   (я1 + яз и (да) =    1- з ;

я1 + я2 + яз

з) початкове значення перехідної характеристики (рис.2.8, г)

ё и (+0) = и (+0) я2 яз

я2 + яз

4) сталу інтегрування

А = ё„ (+0) _ ёи вм = ^Щт _ ^ !з

я2 + яз я1 + я2 + яз    (я2 + яз)(я1 + я2 + яз)

Використовуючи вираз (2.16) і розраховані параметри перехідної характе­ристики, запишемо кінцевий вираз для ёи ) за умови я2 = яз = я; я1 = 2я:

ёи (і) = ивм + Ле т) 4(0 = (0,75я _ 0,25 яе т) 4(0, (2.17)

де т = СяЗгідно із співвідношенням (2.17) побудуємо графік (рис.2.9). Очевидно, що перехідна характеристика має розмірність опору (Ом).

8и (і) 0,75­0,5-

0   .   ;       ' .

Рисунок 2.9 - Графік перехідної характеристики у прикладі 2.4

Приклад 2.5. Визначити перехідну характеристику кола для вказаних на схемі (рис.2.10, а) дії ивх та відгуку ивих. Записати вираз для перехідної харак­теристики і зобразити її графік для —1 = —2 = ; С1 = С2 = С .

Рисунок 2.10 - Схеми кола у прикладі 2.5 для визначення: а - g(^); б - Н(усо)

Розв'язання. Для заданих дії та відгуку складемо диференціальне рівняння, використовуючи його зв'язок з КПФ Н со) (див. п.1.1.3).

Щоб визначити КПФ, зобразимо схему, позначивши комплексні діючі значення струмів і напруг (рис.2.10, б). У вибраному контурі К за другим зако­ном Кірхгофа виразимо комплексне діюче значення вихідної напруги:

и вих +       1 - —212 = 0;

УС0Си.вих---—77і-1 + Я21" ~

/тС} 1     22     1 уоС

ивх        ,      Явх

1 У

—*—+А —+-2 ' с С1        ' с С2

(1 + усоС1-1)(1 + уюС2-2) (у'©)2 С1ЯС2Я2 + У®(С1-1 + С2-2) + 1"

Запишемо співвідношення для КПФ:

и вх    (у'©)2 С1-1С2 -2 + у'со(С1Я1 + С2 -2) +1

©)21112 - 1 - '©)2 - 1/(І112)

де т1 - —1С1; т2 - —2С2 - сталі часу відповідних віток схеми. За знаменником КПФ запишемо ліву, а за чисельником - правую частину диференціального рівняння:

г 2 л вих _      7 2 мвх-

сії т1т2       ся,        т1т2 СІГ т1т2

Для отриманого диференціального рівняння другого порядку складемо характеристичне рівняння і визначимо його корені:

2     т1 +т2 1

р + —-- р +- 0;

р1,2 -2 ±

Т1 2

р+

1

Т1Т 2

 

Т1Т 2

Т1 2 1

2

1

1Т2 у

 

Т1Т 2

Т1 + Т 2 ± Т1     Т 2

1Т2        2т1Т2

11

р1---; р 2

Т1 Т 2

За співвідношенням (2.7) визначимо вимушене значення 8(і):

8 вм = g 0») = Н (у 0) = -1. Значення 8вм можна також знайти, розглядаючи усталений режим кола (рис.2.10, а) при його увімкненні до постійного джерела ивх = 1(і), коли ємності

заряджені, а струм в них дорівнює нулю.

Запишемо загальний розв'язок диференціального рівняння у вигляді суми вільної та вимушеної складових:

8(і) = 8вл(') + 8вм = ^і^^1' + ЛеН -1, де А1, А2 - сталі інтегрування.

Щоб визначити значення А1, А2, знайдемо початкові значення перехідної

характеристики 8 (+0) та її похідної 8 '(+0).

Початкове значення знайдемо за співвідношенням (2.8):

8 (+0) = Н (усо) = 1.

Правільність знайденого значення g(+0) -1 можна перевірити в режимі кола для ґ - +0, коли ємності замкнені, а ивх -1 В. Похідну g '(+0) знайдемо у такий спосіб:

1) складемо систему рівнянь за другим законом Кірхгофа для контурів К1 і

К2:

у контурі К 1(ґ) - ит(ґ) + иа(ґ);

у контурі К2 g(ґ) - и-1(ґ) - иС2(ґ);

2) продиференціюємо рівняння:

5(ґ) - и-1(ґ) + иС1(ґ) - и-1(ґ) +

С2

3) розглядаючи доданки отриманих після диференціювання рівнянь при ґ - +0, знаходимо g'(+0):

8(+0) - 0 - и-1(0+) + ^ = и-1(0+) + -А—; и-1(0+)

С1 -1С1

1

1

1

^(+0) -и-1(+0)-^-- —-

11

-  -   - р1 + р2.

Т1 Т2

Визначимо сталі інтегрування, складаючи і розв'язуючи систему рівнянь: А + А2 -1 = 8(+0) = 1; А + А2 = 2;

р1 А1 + р2 А2 = 8'(+0) = -р1 - р2;

А

 

2

 

1

 

+ р2

 

р2

 

1

1

 

 

р1

р2

 

-1; А2

1

 

2

 

р1

 

р1 +

р2

 

1

1

 

 

р1

р2

 

-1.

Підставляючи знайдені сталі інтегрування у загальний розв'язок для 8 (і) запишемо вираз для перехідної характеристики:

g(ґ) - Т1 + е Т2 -1) ).

Якщо —1 - —2 - Я; С1 - С2 - С, то т1 - т1 - т - —С; р1 - р2 і пе-

рехідна характеристика прийме вигляд:

g(ґ) - (2е Т-1) Л(ґ). Побудуємо графік g(ґ) для випадку Я1 - Я2 - Я; С1 - С2 - С (рис.2.11). Характерною точкою графіка є момент часу ґ0, для якого

g(ґ0) - (2е Т -1)    ) - 0, звідки ґ0 1п2 * 0,7т .

g it)

-1

Рисунок 2.11 - Графік перехідної характеристики у прикладі 2. 5

2.2 Імпульсна характеристика кола

Для імпульсної характеристики типовою дією є дельта-функція 5(г)

(функція Дірака2, або одиничний імпульс). Спрощено 5) можно записати так:

Г0  при г ф 0;      о +0 5) = \ [5)& = )& = 1. (2.18)

Про дельта-функцію, враховуючи запис (2.18), є жартівливе висловлю­вання - «до нуля її ще немає, а після нуля її вже немає». Рівність одиниці площі дельта-функції обумовила ще одну з її назв - одиничний імпульс.

Дельта-функцію, подібно одиничній функції, можна подати аналітично як границю спеціальних функцій Ф(г, Аг) часу і параметра Аг, які мають одиничну

площу:

оо

5) = Ііт Ф(г, Аг);   [ Ф(г, Аг)йг = 1.

Прикладами таких функций є ірис.2.12, а, б):

1/At при t < At /2; О  при IfI >At /2;

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації