Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 13

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

0lit, At)

i2.19)

Дірак Поль Адрієн Моріс, Dirac (1902-1984) - англійський фізик, член Лон­донської королівської спілки. Очолював кафедру в Кембріджському університеті, яку у свій час займав І. Ньютон. Один із засновників квантової механіки. Сформулював закони статичної механіки системи електронів. Побудував релятивістську теорію ру­ху електронів, застосував у квантовій механіці теорію відносності. Лауреат Нобелівської премії (1933) спільно з Шредингером за створення нових, плідних варіантів квантової теорії. Увів у математичну фізику названі його ім'ям: функцію 8(г), рівняння (Дірака-Лоренца), матриці.

1, At)

At

nit2 +At2)' i2.20)

Графічно дельта-функція зображається по-різному, наприклад, як показа­но на рис.2.12, в. На рис.2.12, г дельта-функція Ь(і - і0) зсунута за часом на і0 .

Фlit, At)

ФіІ$, At)

1/ At

1/(2nAt)T

Sit )A

1/ (nAt)

а

2At

б

0

Sit -10)

в

t

0 t0

г

Рисунок 2.12 - До визначення поняття дельта-функції: а, б - приклади функцій, що прямують до дельта-функції; в, г - умовне графічне зображення дельта-функції

Із формули (2.18) виходить так звана фільтрувальна властивість b(t):

оо оо

J y(x)b(x)dx =y(0);    J y(x)b(x - t)dx =y(t). (2.21)

—оо —оо

Це значить, що дельта-функція як співмножник функції y(x) визначає

інтеграл як величину y(x) для того значення змінної x, при якому дельта-

функція прямує до нескінченності.

Дельта-функція  b(t)   належить до класу узагальнених функцій, які

дорівнюють нулю поза деякої обмеженої області змінної та мають неперервні похідні усіх порядків. У нестрогій формі ці функції спочатку були застосовані у фізиці (Дірак). Вперше строгі обгрунтування узагальнених функцій зробив С.Л. Соболєв3.

t

t

t

3

Соболєв Сергій Львович (1908-1989) - видатний математик, академік. Народився у Петербурзі. З 1957 р. - директор інституту математики Сибірського відділення АН СРСР. Основні праці належать до динаміки твердого тіла і математичної фізики. Вперше (1936) строго визначив узагальнені функції, за допомогою яких розглянуПорівняння, відповідно, виразів (2.1) з (2.19), (2.2) з (2.20) і графіків ^(ґ, Аі) і Ф1(і, Аі), ^(і, Аі) і Ф2(і, Аі) показує, що:

д[^(і, Аі)] Ф и АіЛ _д[^(і, Аі)]

Фі(і, Аі)

[; Ф2(і, Аі)

ді ді Тому аналогічно пов'язані дельта-функція та одинична функція:

С )]

8(0

СІі

звідки виходить, що

1( і) _ |8(х)сСх.

(2.22)

(2.23)

Вельми важливе співвідношення (2.22) можна обгрунтувати інакше, якщо подати прямокутний імпульс Ф1(ґ,А0 (рис.2.12, а) за допомогою двох одинич­них функцій (рис.2.13) та зробити граничний перехід до 8(0:

1(і + А /2) _ 1(і -Аі /2) = 1(і + Аі/2) - 1(і /2) = А[і(р]; Аі А А Аі '

8(0 = Шп Ф1(і, А) = Шп №Д =

Ф1( і, А і)

(2.24)

Аі—-0

Аі—0 І

Сі

Ф1( і, А і)

1/Аі

/

1( і + Аі/2) Аі

А

_ 1( і і /2)

Аі

Рисунок 2.13 - Подання функції Ф1( і, Аі) за допомогою двох одиничних функцій

Імпульсна характеристика пасивної ЛЕК чисельно дорівнює відгуку на дію джерела типу дельта-функції за нульових початкових умов.

Імпульсну характеристику позначають Н(і).

Нескінченна потужність функції 8( і) при і _ 0 призводить до порушення законів комутації. Пов'язано це з тим, що у момент часу і = 0 внаслідок дії дель-

деякі крайові задачі для рівнянь з частинними похідними. Зробив внесок у розвиток обчислювальної математики та впровадження електронно-обчислювальної техніки.та-функції через незаряджені ємності (ис (-0) = 0) протікатимуть струми, а до

розімкнених    індуктивностей    (іь (-0) = 0)    прикладатимуться напруги,

пропорційні 8). В результаті початкові значення у колі стануть ненульовими:

1 к 1 +о к

ис (+0) = - | к1с 5 = -С_ ф 0; іь (+0) = - | киь Ь=      Ф о,

де кіс (А • с), кМі (В • с) - розмірні коефіцієнти відповідно для струмів у

ємностях і напруг на індуктивностях у момент часу ґ = 0.

Вимушені складові відгуків кіл при дії дельта-функції дорівнюють нулю, оскільки 8) = 0 при ґ ф 0.

Отже, імпульсні характеристики фізично відповідають вільним процесам у колі (рис.2.14) за рахунок запасу енергії, яку ємності та індуктивності миттєво накопичують від вхідного джерела напруги (рис.2.14, а) або струму (рис.2.14, б) типу дельта-функції.

Щоб експериментально визначити імпульсні характеристики, до входу кіл підключають генератори імпульсів з тривалістю ті значно меншою, ніж часові

параметри кіл (у колах першого порядку ті << т; у коливальних колах другого

порядку   ті << Твм = 2л/ювм).  За допомогою  осцилографа на виході кола

досліджують вільні процеси, пропорційні Н(ґ).

а

ис (0-) = 0

іь (0-) = 0 ис (0+) ф 0

іь (0+) ф 0

Івих ( )

ивих (І)

б

ис (0-) = 0 іь (0-) = 0 ис (0+) ф 0

іь (0+) ф 0

ЮТ"

івих (і )

ивих( )

Рисунок 2.14 - Фізичне трактування імпульсної характеристики

як вільного процесу у колі

Розмірність і методика розрахунку імпульсної характеристики обумовлені її зв'язком з перехідною характеристикою. Щоб встановити цей зв'язок, вико­ристовують подання Ф1(і , Аґ) за допомогою двох одиничних функцій (2.24) та

принцип накладання.

Якщо увімкнути до входу кола джерело з миттєвим значенням Ф1 , Аґ),

відгук кола можна описати приблизним виразом для імпульсної характеристики к , Аґ), який записують на підставі принципу накладання за допомогою пе­рехідної характеристики цього кола у вигляді:

~ ,аґ) = 8 + Аґ/2)-8(ґґ/2) = АШ (2.25)

А А Імпульсна характеристика є границею виразу (2.25):

к(ґ) = Ііт к(ґ, Аґ) = Ііт І^8^ 1 = = ё'(г). (2.26)

А/—0 Аґ—0[    Аґ    ]

Співвідношення (2.26) показує, що імпульсна характеристика кола є похідною перехідної характеристики, а розмірність імпульсної характери­стики дорівнює розмірності перехідної характеристики, поділеної на секун­ду. Тому розмірностями к(ґ) можуть бути 1/с, Ом/с, См/с.

З виразу (2.26) виходить також зв'язок перехідної характеристики з імпульсною характеристикою:

8(ґ) = |к(х)-х. (2.27)

-оо

Формально, на підставі принципу накладання вирази (2.26) і (2.27) вихо­дять з аналогічних співвідношень (2.22) і (2.23) для 8( ґ) та 1( ґ).

Співвідношення (2.26) широко застосовується для визначення імпульсної характеристики, коли перехідна характеристика вже знайдена класичним мето­дом. При цьому, щоб уникнути помилок, необхідно записувати перехідну ха­рактеристику у вигляді (див. приклад 2.1):

8(ґ) = ёанал(0 (2.28)

де 8анал ( ґ) - аналітичний вираз імпульсної характеристики при ґ > 0 (у прикладі 2.1 аналітичні вирази для 8і1( 0, 8і2( 0, ( 0, 8ис ( 0 взяті у квадратні дужки).

Враховуючи співвідношення (2.28), результат диференціювання перехідної характеристики становитиме:

8( 0]_ -i8анал(ґ)

- -

= 8анал( ґ) ■      + 8анал(+0) ■ 5(ґ). (2.29)

Якщо 8анал(+0) = 0, то імпульсна характеристика не містить дельто­подібного доданку.

Приклад 2.6. Визначити імпульсні характеристики кола (приклад 2.1, рис.2.4), вважаючи дією напругу джерела, а відгуками - струми і1(ґ), і2(ґ),

іс ( ґ) та напругу ис ( ґ). Побудувати графіки імпульсних характеристик.

Розв'язання. Скористаємось знайденими у прикладі 2.1 перехідними ха­рактеристиками даного кола 8і1 (ґ), 8і2 (ґ), 8іс (ґ), 8ис (ґ) та співвідношеннями

(2.28) і (2.29):кц(ґ)

^2

є т +■

1 1( )

^2

є       ) + -1 5(ґ); (2.30)

к 2(ґ )

1 (1 - є т) 4(0

1_

Я1

(2.31)

1(ґ)

кис (ґ)

тЯ (2.32)

Я1 + Я2 (1 - є т) 4(0

Я2

■в ^дї). (2.33)

Запишемо   кінцеві   вирази,   підставивши   до   формул   (2.30) - (2.33)

співвідношення для сталої часу (2.9):

ка(0 =--є СЯ1Я2/((Я1 +Я2+ ^5(0; к2(ґ)

1

СЯ1

Я1

СЯ1Я2

СЯ1 Я2

1(0 + 5(0; киС(ґ) = — є СЯ1Я2/(Я1 2^1(0 Я

СЯ1

Імпульсні характеристики ка(ґ), кі2(ґ), кіс ) мають розмірності См/с, а характеристика кис ) - 1/с. Побудуємо графіки імпульсних характеристик (рис.2.15).

Приклад 2.7. Визначити імпульсні характеристики кола, розглянутого у прикладі 2.3. Накреслити графіки імпульсних характеристик.

Розв'язання. Диференціюючи, згідно з виразами (2.28) і (2.29), знайдені у прикладі 2.3 перехідні характеристики (див. табл.2.1), отримуємо:

кі1 (ґ) -[8і1(ґ)]  -[(-0,833 ■Ю-4 є 10-2 + 3,33 -10-4) )]

0,833■Ю-2є 10-2      + 2,5■Ю-4 ■5(ґ),См/с;

щ) = -[82«І. -[1,66-є 10  НМ] = 1,66.10-2і10* .ц,),См/с;

1

т

єкц(ґ У

0

СЯ12 1

СЯ1Я2

0

0

Рисунок 2.15 - Графіки імпульсних характеристик у прикладі 2.6

-[&3(0]  -[(0,833■Ю-4є 10-2 +1,66■Ю-4)

-0,833■Ю-2є 10-2      + 2,5■ 10-4 ■5(ґ),См/с;

-[8иь )]   -[0,5 є 10-2 ■ 1(ґ)] -2

-50 є 10   ■1(ґ) + 0,5 ■5(ґ), 1/с.

Зобразимо графіки імпульсних характеристик (рис.2.16). Дельта-функція присутня на графіках кі1(ґ), кі3(ґ) і      ) (рис.2.16, а, в, г). У виразі та на

графіку к2) (рис.2.16, б) дельтоподібна складова відсутня.

На{і) х КГ2, См/с

2,5 ■ 10"45(і)

0,833

0

х 10 " 2,+ См/с ■/

0

а

0,833 2,5 ■ 10 "45(і) в

К г($) х^10"2,

См/с

1,66

10      20      30      40 і, мс

0

К (і),1/с|

—^ "20"  30  40 і, мс

10     20     30   , мс

30    , мс

Рисунок 2.16 - Графіки імпульсних характеристик у прикладі 2.7

2.3 Часові характеристики типових кіл Я, Ь; Я, С; Я, Ь, С

Кола першого порядку (Я, Ь; Я, С) застосовують як міжкаскадні розділові кола, диференціювальні та інтегрувальні ланки, прості фільтри та ін.

До типових кіл Я, Ь; Я, С також належать кола, які є подільниками напру­ги (рис.2.17, а, б і 2.18, а, б) або струму (рис.2.17, в, г і 2.18, в, г). Діями та відгуками у подільників напруги є напруги, а у подільників струму - струми. Умовно такі кола поділяють на дві групи (рис.2.17 і 2.18), до кожної з яких вхо­дять кола з однотипними часовими і частотними характеристиками. Одно­типність характеристик пояснюється дуальністю кіл кожної групи.

Типовими колами Я, Ь, С вважають також одиночні послідовний і пара­лельний резонансні контури.

2.3.1 Характеристики кіл Я, Ь; Я, С першої групи

У перехідних характеристик кіл першої групи (рис.2.17) вимушене і по­чаткове значення дорівнюють відповідно: ^вм 1 = 1; ^1(0+) = 0 .

При цьому сталу інтегрування і загальний вираз для перехідних характе­ристик кіл першої групи визначають за формулами:

А1 = - ёвм1 = -1;

£і(0 = квлі(0 + £вмі)= ІАе т +1)■!(')= (1 -е т)-І(^), (2.34) де і - сталі часу кіл, які становлять тс = ЯС для кіл Я, С (рис.2.17, а, в) і Ь /Я - для кіл Я, Ь (рис.2.17, б, г).

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації