Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 14

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Я

Ь

С

ивих (і) =

Я

ивих (і) =

''вх (і)

а

Івх (і)

б

С

\  Івих (і) = 1Я (і)

Я

Я

''вих (і) = 1Ь (і)

Ь

в г Рисунок 2.17 - Схеми кіл Я, С; Я, Ь першої групи

Імпульсні    характеристики    кіл    першої групи диференціювання виразу (2.34) отримують у вигляді: як

с)] = -[(1 - Є~т) ■ 1(і)] = 1

= — е

1(і).

результат

(2.35)

сії сії т

Перехідні характеристики (2.34) безрозмірні, а імпульсні (2.35) - мають розмірність 1/с. Імпульсні характеристики (2.34) не містять дельтоподібного доданку, оскільки ё анал1(+0) = 0.

Графіки часових характеристик кіл першої групи показані на рис.2.19. Щоб встановити зв'язок часових і частотних характеристик, а також оцінити можливості застосування досліджуваних кіл, доцільно розглянути їхні КПФ.

Для кіл першої групи, складених з елементів Я, С (рис.2.17, а, в), КПФ становлять:

І

Ь

Я/,-,-Л     вих      — вих 1/ 7©С

1ЯС (7©) =-=-=

1

1

вх     вх    Я +1/ 7'соС   1 + 7'соСЯ   1 + 7'сотС а для кіл з елементів Я, Ь (рис.2.17, б, г):

вих     —вих Я 1 1

Я1ЯЬ (М

вх     вх    Я + 7'соЬ   1 + 7'со(Ь / Я)   1 + 7'сот

С

Я

о-

а

в

ивих (і) =

''вих (і) = С )

С

Я

б

г

Ь

ивих (і) =

''вих (і) = 1Я )

Я

Рисунок 2.18 - Схеми кіл Я, С; Я, Ь другої групи

1

0,632 0

т

а

і

\(і у 1 т

0,368 т

0

т

б

Рисунок 2.19 - Графіки часових характеристик кіл Я, С; Я, Ь першої групи

Оскільки вирази для НІКС (7'со) і НІКІ (у'со) однотипні, для КПФ, АЧХ і ФЧХ кіл першої групи можна застосувати однакові формули:

#і( 7с0)

1

1

■ Іатоі8 (ют)

1 + уют   уіі + (ют)2

Я1 (ю)е 7Фі(ю)

де Я1 (ю)

АЧХ; ф1 (ю) = -агй£ ют - ФЧХ; т - сталі часу, які

дорівнюють тЬ для кіл Я, і та тС для кіл Я, С.

Графіки АЧХ і ФЧХ даних кіл зображені на рис.2.20.

 

ф

 

 

 

 

<-►!

 

0

югр=1/т

Фі(ю)

0

п 4

п

а

югр=1/т

б

ю

Рисунок 2.20 - Графіки частотних характеристик кіл Я, С; Я, Ь першої групи: а - АЧХ; б - ФЧХ

Гранична частота СП є коренем рівняння

Щсогр) = ,     1     = 4г * 0,707 ,

д/1 + (югр т)2 ^

звідки

югр = - = П1ю ;     тП1ю = 1, (2.36)

де П1ю - СП АЧХ (рис.2.20, а), яка відповідає діапазону частот 0 < ю < югр.

Крім слушності співвідношень (2.7) і (2.8) між граничними значеннями 8^) і ую):

81 (») = Н (У 0) = 1;    81 (+0) = Я1 (у») = 0,

між частотними і часовими характеристиками розглядуваних кіл існує фунда­ментальний зв'язок, який виходить з формули (2.36): чим менша стала часу кола, тим ширша смуга пропускання і навпаки.

Особливості часових і частотних характеристик кіл Я, С; Я, Ь першої гру­пи обумовлюють області їх практичного застосування.

Якщо стала часу значно менше часових параметрів дії (наприклад, трива­лості вхідного сигналу), для частотних характеристик це відповідає діапазону

ечастот ю << П1ю = 1/ т (ют << 1). Тоді вхідні та вихідні коливання мають близькі амплітуди Н1( ю) * 1 та початкові фази ф1 (ю) * 0, і тому відгук і дія збігаються, наприклад, при т — 0:

Цей режим відповідає неспотвореній передачі сигналу.

Коли ю >> П1ю = 1/ т (ют >> 1), що відповідає більшому (порівняно з часо­вими параметрами дії) значенню сталої часу, АЧХ Н1 (ю) * 1 / ю, ФЧХ ф1(ю)*-п/2. При цьому відбувається інтегрування вхідних коливань з

точністю до коефіцієнта 1/ т. Тому кола Я, С; Я, Ь першої групи за умови ют >> 1 називають інтегрувальними.

Виконання операції інтегрування підтверджується розглядом приблизних значень перехідної (2.34) та імпульсної (2.35) характеристик при порівняно ве­ликому значенні т. Розкладаючи в ряд Тейлора ці характеристики поблизу і = +0 і нехтуючи малими величинами вищого порядку, можна записати:

= (1 - е т )1(0

^ - 0,5 т 2

1 -

= — е т

1(і)

1 -- + 0,5 т

+

+

тт

■1(0

т

|5( і)їїі

Отримані приблизні значення 81(ґ) і Н1(ґ) пропорційні интегралам від

відповідних дій 1( ґ) та 8( ґ). Коефіцієнтом пропорційності є множник 1/ т .

Вигляд АЧХ пояснює застосування розглянутих кіл ще як простих ФНЧ. Перевагою таких фільтрів є простота, а недоліком - досить великий коефіцієнт прямокутності АЧХ порівняно з граничним значенням кпр = 1 для ідеального

фільтра. Коефіцієнт прямокутності становить [7, приклад 5.4]:

де п1 >> л/2 (звичайно п1 = 10) - рівень відліку для оцінки коефіцієнта прямокутності АЧХ.

2.3.2 Характеристики кіл Я, Ь; Я, С другої групи

Основні параметри та співвідношення для перехідних характеристик кіл другої групи (рис.2.18) мають вигляд:

8вм 2 = 0; 82(+0) = 1; 4 = 82(+0) - 8вм 2 = 1;

і і

82(-) = [8вл2(-) + 8вм2] ■ 1() = (Ле т +1) 1 () = е т ■ (2.37) де т - сталі часу: тС для кіл Я, С (рис.2.18, а, в); тЬ - для кіл Я, Ь

(рис.2.18, б, г).

В результаті диференціювання співвідношення (2.37) отримують вирази

0

1

х

т

тдля імпульсних характеристик кіл другої групи:

їїі їїі т

(2.38)

Графіки часових характеристик кіл Я, С; Я, Ь другої групи зображені на рис.2.21.

Розмірності часових характеристик кіл другої групи такі самі, як і у кіл першої  групи.   Імпульсні  характеристики  (2.38)  містять дельта-функцію

(рис.2.21, б), оскільки 8 анал1(+0) = 1.

8 2(і ^

1

0,368| 0

 а

т

а

б

Рисунок 2.21 - Графіки часових характеристик кіл Я, С; Я, Ь другої групи

КПФ окремо для кіл Я, С; Я, Ь та загальні для кіл другої групи відповідно описуються виразами:

Н 2 ьс(ую) Н 2 яь ( ую)

Н 2( ую) =

Я

уюСЯ

Уют

с

У в

У вх

Уют

Я +1/ уюС   1 + уюСЯ   1 + уютС

_=   УюЬ   =  ую( Ь / Я)  =  уют ь

I вх    Я + уюЬ   1 + ую( Ь / Я)   1 + уют Ь

І

І в

ют

,у[ п/2-агс-8 (ют)]

1 + уют     д/1 + (ют)2

Н2(ю)е

уф2(ю)

де Н 2(ю) ют

л/1 + (ют)2

АЧХ; ф2(ю) = п /2 - arctg ют - ФЧХ; т - сталі ча-

су кіл, які дорівнюють тс або тЬ залежно від типу реактивного елемента.

Графіки частотних характеристик кіл Я, С; Я, Ь другої групи показані на рис.2.22.

Гранична частота СП визначається з рівняння

Н 2гр )

1

___ — _

д/1 + (югр т)2 ^ 0,707,

звідки

т

о

гр (2.39)

СП даних кіл ■

По (рис.2.22, а) відповідає діапазону частот сгр < со < да.

Рівність (2.39) означає, що чим менша стала часу кола, тим більша гра­нична частота смуги пропускання і навпаки.

Н 20)|

0,707 [----

Ф 2(С0Н

7

П

2 \

П

4

0 согр =1

0    согр =1

а б

Рисунок 2.22 - Графіки частотних характеристик кіл Я, С; Я, Ь другої групи: а - АЧХ; б - ФЧХ

Для розглядуваних кіл співвідношення (2.7) і (2.8) між граничними зна­ченнями £ 2) і Н 2( усо) становлять:

£ 2(«) = Н 2 (у 0) = 0; £ 2 (+0) = Н 2( у») = 1. Неспотвореній передачі сигналу через дані кола відповідає режим, коли стала часу значно більша часових параметрів дії (наприклад, тривалості вхідного сигналу). Цей режим означає роботу в діапазоні частот со >> сгр = 1/т,

для яких Н2 (со) «1, ф2 (со)« 0. Тому вхідні та вихідні коливання мають майже

однакові амплітуди та початкові фази, а отже, відгук та дія сходяться. При т —» оо часові характеристики (2.37), (2.38) збігаються з дією:

8 г) Щ);      )    8(*). При малій величині  т  порівняно з часовими параметрами дії, що відповідає частотам ю«югр = 1/ т, кола другої групи виконують операцію ди­ференціювання дії. У цьому режимі частотні характеристики мають приблизні значення Н2(со) « ют, ф2(со) «тс/2, що з точністю до коефіцієнта т відповідає

диференціюванню вхідних коливань. Зокрема при т — 0, перехідна характери­стика (рис.2.21, а) прямує до нескінченно короткого імпульсу, який є аналогом дельта-функції, тобто похідною від прикладеної на вході одиничної функції.

Розглянуті кола, як і кола першої групи, застосовують також як прості фільтри, однак іншого типу - ФВЧ, властивості яких аналогічні властивостям фільтрів на основі кіл першої групи.

2.3.3 Часові характеристики типових кіл Я, Ь, С

Кола другого порядку Я, Ь, С зазвичай використовують як смугові фільтри та узгоджувальні ланки. Такі кола реалізують у вигляді одиночних послідовного і паралельного контурів [7, розд.6].

Щоб спростити аналіз часових характеристик одиночних контурів, можна обмежитись розглядом двох дуальних схем (рис.2.23). Одна з схем (рис.2.23, а) є традиційною схемою заміщення послідовного контуру, а інша (рис.2.23, б) -одним з варіантів схеми заміщення паралельного контуру, в якій втрати в котушці та конденсаторі перераховані в один паралельно увімкнений опір Я2 .

У першій схемі (рис.2.23, а) дією ивх) і відгуками ивих1(ґ) = иС); мвих 2) = ия ); ивих3) = иь ) є напруги. Дія і відгуки у другій схемі (рис.2.23, б) - відповідно вхідний струм   Івх)   та струми у вітках -

г'вих1(ґ) = ІЬ(ґ) ; г'вих 2(ґ) = ІЯ (ґ) ; г'вих 3(ґ) = І С (ґ) .

Дуальність даних кіл виявляється в однотипності відповідних дифе­ренціальних рівнянь. Це підтверджують, наприклад, диференціальні рівняння, складені для ивих 1) = иС ) та Івих1(ґ) = Іь ) відповідно у послідовному та па-

ралельному колах.

ивих 2(ґ)=иЯ1(ґ) ивих 3(ґ)=иЬ(ґ) -► -►

Івх( )

Я,

ивх( )

С

ивих1(ґ) -

ь

Івих1 ( )

Я2

Івих2( )=

і   Т = іь ( ОТ = ія 2( ОТ = ІС( ґ)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації