Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 20

= и0(2е т-1)4(0-и0(2е   Т -1)-1(ґ-ґ0). (2.79)

Підсумовуючи дві функції (показані пунктиром на рис.2.40), з яких скла­дається вираз (2.79), побудуємо графік ивих(ґ)  (суцільна лінія на рис.2.40).

Оскільки ті = ґ0 « 0,7 т , в момент часу ґ = ґ0 вихідна напруга змінюється стриб­ком від нуля до - и0 .

Рисунок 2.40 - Графік вихідної напруги у прикладі 2.11

2.6 Визначення відгуку кола на довільну дію за допомогою перехідної характеристики. Інтеграли Дюамеля

Нехай вхідна дія

(ї) = 0 при ї < 0,     (0) ф 0 ,

а на  інтервалі   0 < ї < да   задана неперервною  або кусково-неперервною

функцією з кінцевою кількістю точок розриву першого роду (тобто задовольняє умовам Діріхле).

Для інтервалу ї > 0 неперервну вхідну дію приблизно можна подати як суму початкового "стрибка" (ступінчастої дії) і множини нескінченно малих "сходинок" (рис.2.41), послідовно зсунутих одна відносно одної у часі на одна­кові інтервали Ах:

*вх (ґ) - *вх (0) ■ 1(ґ) + X А*ьх (ґ), (2.80)

к=1

де А^квх(ґ) = [5*вх(хк)-5вх(хк -Ах)]■ 1(ґ-хк) - аналітичне подання к-ї «сходинки» (показане на рис.2.41 штрихуванням); 5*вх (0) ■ 1(ґ) - початкова ступінчаста дія; п - округлене до цілого числа значення дробу ґ /Ах.

V (0)

0

-г--------

1

1

1

Ах і Ах

Ах

1

 

хк

Рисунок 2.41 - До виведення першої форми інтеграла накладання із застосуванням перехідної характеристики

Висота к -ї сходинки є катетом АВ прямокутного трикутника АВС (рис.2.41), гіпотенуза якого АС лежить на дотичній до кривої 5*вх(ї) в точці А:

V(хк) - V(хк - А х) = АВ = ВС *8 ак. (2.81) За   визначенням   похідної   5*вх (Хк) = ї§а к,   враховуючи наближення ВС * Ах, співвідношення (2.81) можна приблизно подати у такий спосіб:

^вх (хк ) - ^вх (хк - Ах) * Авх (хк ), (2.82)

де     (хк ) = Ііт ^вх (Хк)—^вх (%к—- значення похідної функції 5*вх (ї)

Ах -»0 Ах

при ї = хк.

Підстановка співвідношення (2.82) до (2.80) дозволяє записати:

V (ї) * V (0)+ ІХх (хк )Ах ■ 1(ї - хк). (2.83)

к=1

За принципом накладання відгук кола, яке має перехідну характеристику g (ї), приблизно дорівнює сумі відгуків на кожну з ступінчастих дій, що вхо­дять у формулу (2.83):

*вих(і) * V(0)g(і) + І<х(хк)Лxg(і - хк). (2.84)

к=1

Щоб точно описати 5*вих (і), слід спрямувати Ах — 0, а кількість «сходи­нок» п = і / Ах — да. При цьому Хк перетворюється у поточну змінну х, Ах - у

сіх, сума (2.84) - у визначений інтеграл по х, і в результаті відгук кола визнача­тиметься співвідношенням:

і

*вих (і) = V (0) ё (і) + | 4 (х) g (і - х)сіх. (2.85)

+0

Вираз (2.85) називається першою формою інтеграла накладання з ви­користанням перехідної характеристики або інтеграла Дюамеля5.

Нижня межа інтеграла х = +0 обумовлена тим, що відгук кола на почат­кову ступінчасту дію 5*вх (0) • 1(і) врахований першим доданком у виразах (2.84),

(2.85). Верхня межа інтеграла дорівнює моменту часу і > 0, для якого визна­чається відгук. Такі межі інтегрування дозволяють використовувати під інтегралом тільки аналітичні вирази перехідної характеристики і похідної функції, яка описує вхідну дію, при і > 0.

Перша форма інтеграла Дюамеля записується інакше:

да

^вих(і) =  |4с(х)ё(і - х)іх , (2.86)

—да

якщо дію і перехідну характеристику подати у вигляді:

(і) •К'); (2.87)

ё(0 = ёанал (і)-1(0, (2.88)

де ^вх анал (і), ёанал (і) - аналітичні вирази відповідно вхідної дії і пе­рехідної характеристики, якими вони описуються при і > 0.

Щоб обгрунтувати співвідношення (2.86), достатньо використати форму­ли (2.87), (2.88), продиференціювати одиничну функцію та врахувати фільтрувальну властивість дельта-функції:

да да

^вих (і) = І4с(х)ё(і - х)іх = І Кх анал (х) -1(х)]'ёанал(і - х) - 1(і - х)іх =

—да -да

а

= І[4 анал(х) -1(х) + V анал(0) - §(х)]ёанал (і - х) - 1(і - х)іх =

-а

= ^вх анал(0)ёанал(і) + І ^вх анал(х)<§анал(і - х)іх. (2 89)

5 Дюамель або Дюгамель, Жан Марі Констан (1797 - 1872) - французький матема­тик, член Паризької Академії наук. Суттєво покращив викладення аналізу нескінченно малих. Основні роботи належать переважно до математичної фізики. Підготовлені ним курси аналізу і механіки (1845 - 1846) багато разів видавалися у Франції та були перекладені іншими мовами.

У підсумку вираз (2.89) сходиться з (2.85). Нижня і верхня межі інтеграла у формулі (2.89) відповідно обумовлені значеннями одиничних функцій:

\(х) = і1 при х > 0;    Ш - х) = і1 при Х < і; ^   [0 при х < 0;     ^ [0 при х > і.

Першу форму інтеграла Дюамеля (2.86) застосовують у таких випадках:

1) якщо дія неперервна на інтервалі - оо < і < оо;

2) якщо дія 5вх (і) = 0 при і < і1, 5вх     ф 0 , а на інтервалі і1 < і < о задана

неперервною функцією.

У другому випадку застосування виразу (2.86) аналогічно (2.89) призведе до визначення відгуку у вигляді:

і

Явих (і) = Явх анал (і1)8анал (і) +  | Явх анал (х)<?анал (і — х) ^х.

і1 + 0

Першу форму інтеграла Дюамеля (2.86) можна записати компактно у ви­гляді відомого у математиці інтеграла Стілтьєса6:

*вих (і) = 18(і — х)Фвх (х)]. (2.90)

—о

Відомі інші форми запису інтеграла Дюамеля (табл.2.5), які отримують заміною змінної, інтегруванням частинами та диференціюванням визначеного інтеграла за параметром. Залежно від вигляду функцій, якими описують 5*вх (і) і

8 (і), з точки зору обчислень зручнішою є та чи інша форма інтеграла Дюамеля.

Дію (рис.2.42), яка описується кусково-неперервною функцією з кінцевою кількістю стрибків (точок розриву першого роду), можна записати у вигляді:

*вх (і) = Е *к вх (і) ■ [1( і — ік ) — 1(і — і(к +1))] =

к

= Е Ск( ік) ■ 1(і — ік) + Е *к вх непр (і) ■ [1( і — ік) — 1(і — і(к+1) )] , (2.91)

кк

де Ск( ік ) = Як вх (ік +0) — *(к-1) вх (ік —0) " к-й стрибок V (і) у момент ча­су і = ік; як вхнепр (і) - неперервна функція, яка описує дію на інтервалі

(ік +0) < і < (і(к+1)—0).

Застосування принципу накладання до дії (2.90) дозволяє визначити відгук:

6 Стілтьєс Томас Іоаннес, 8пе1гуе8 (1856-1894) - нідерландський математик, чл.-кор. Петербурзької Академії наук. Основні роботи присвячені теорії моментів, функціональним неперервним дробам, ортогональним многочленам, наближеному інтегруванню та ін. Започаткував узагальнене поняття інтеграла, яке має важливе зна­чення в математиці і назване його ім'ям. В 1936 р. його праця «Дослідження непе­рервних дробів» перекладена і опублікована в Україні (Харків-Київ).і( к+1) —0

*вих(і) = ЕСк(ік) ' 8(і — ік) + Е     |     4вхнепр(х)8(і — х) ^ =

к к   ік + 0

оо

= Е Ск(ік) '8(і — ік) + І Снепр(х)8(і — х) ^ (2.92)

вх

—о

де *вх непр (і) - неперервна (гладка або кусково-гладка) функція (рис.2.43), яка відрізняється від кусково-неперервної дії явх (і) (рис.2.42) тільки відсутністю стрибків.

Рисунок 2.43 - Графік неперервної дії, яка відповідає кусково-неперервній

дії явх (і), зображеній на рис.2.42

Можна показати, що вираз (2.92) отримують, застосовуючи до дії (2.91) першу форму інтеграла Дюамеля (2.86). Використання інших форм інтеграла

Дюамеля (табл.2.5) для кусково-неперервних дій принципово можливе, однак потребує коригування меж інтегрування з урахуванням математичних перетво­рень, які призводять до цих форм. Тому для розривних дій краще використову­вати першу форму інтеграла Дюамеля (2.86), яка є найуніверсальнішою фор­мою інтеграла накладання для знаходження відгуку із застосуванням перехідної характеристики.

Таблиця 2.5 - Форми запису інтегралів Дюамеля

Форма__Запис__Спосіб визначення

1

ґ

\их(ґ) = V (°) ё(ґ) + і 4 (х) ё(ґ — х) Іх;

+0

оо

^вих (ґ) = і 4 (х)ё(ґ — х) Лх ;

Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації