Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 22

функцію інтегрувального кола при і >> івх.

Приклад 2.14. Вхідною напругою аперіодичного послідовного контуру (рис.2.23, а) є кусково-неперервна дія (рис.2.48). Знайти струм у колі і побуду­вати його графік.

2ПХ

0

і 1

2і}

3і1

Рисунок 2.48 - Графік вхідної напруги у прикладі 2.14

Розв'язання. Запишемо вираз для ивх (і ) двома способами: 1) за інтервалами часу

0 при і <

1,5и1 + — і   при _ і1 < і < і1;

1,5и1 _    і   при   і1 < і < 3і1; 2?1

(2.98)

0 при і > 3і1;

2) єдиним виразом за допомогою одиничних функцій (рис.2.49):

(і) = (1,5^1+ ^І) ■    + І1)     _     + (1,5^1 _ ^І) ■    _     1(і _ 3І1)]. (2.99)

Вхідна напруга містить два стрибки:

Ск= их; Ск= -и1.

[1(х + і1) -1(х -

1

- и

О

[1( х - гх) -1( х - 3?1)]

1

' 1 -►

х

а

О

' 1 б 3і1

х

Рисунок 2.49 - Графіки, які у прикладі 2.14 пояснюють подання ивх (і) єдиним виразом (2.99)

Щоб знайти перехідну характеристику за струмом, скористаємось форму­лою для перехідної характеристики за напругою на опорі аперіодичного конту­ру (табл.2.2):

2Ь(ер1* - ер2')

яка пов'язана з шуканою характеристикою очевидним співвідношенням:

ё2(') = &ёг (').

З огляду на це, запишемо перехідну характеристику у вигляді:

>р11 - £р21

Я Я(р1 - р2) Цр1 - р2)

(2.100)

де р1,2 рез

корені    характеристичного рівняння;

рез

= 1/а/ЬЄ - резонансна частота; 8 = Я/2Ь - коефіцієнт загасання (для за­даного аперіодичного режиму 8 > сорез).

Якщо записати ивх (і) у вигляді (2.98), щоб знайти струм, краще викори­стовувати першу форму інтеграла Дюамеля (2.92). Подання ивх (і) єдиним вира­зом (2.99) дозволяє застосувати універсальний запис першої форми інтеграла Дюамеля (2.86). Виконаємо обидва варіанти розв'язання.

Варіант 1. Підставляючи вираз (2.98) у формулу (2.92) і враховуючи стрибки ивх (і), запишемо загальні співвідношення для струму:

Ііі)

о

при і <

1 и

(і + і1) + | (1,5и1+ — х)'8І (і - х)сіх   при - і:< і< і1;

- іі

и& (і + іі) +1 (1,5иі+ ^ х)'8, (і - х)сїх -

іи

- и18і (і - і1) + | (1,5и1--1 х)'8І (і - х)сіх при і1< і< 3і1;

і1

(2.101)

и 18, (і + і1) +1 (1,5и1+ ^ х)'8, (і - х)сіх ■ -і1 2і1

Зі,

(і - і1) +І (1,5и1- — х)'(і - х)Іх   при і > Зі1.

і1 2і1

Продиференціювавши ивх (х) у підінтегральних виразах, зведемо (2.101) до вигляду:

0

и і

и& (і + і1) + -1 18, (і - х)ск

при і < -і^' при - і1 < і < і1;

-і1

і1

и1 '1 и ' (2.102)

и& (і + і1) +—1 18 (і - х)Іх - и^, (і - і1)18, (і - х)ск при     і< 3^;

2і

1 - і1

1;

и і1 и 1

(і + і1)       І Я, (і - х)сІх -      (і - і1) - -1 1& (і - х)сІх при і > 3^.

2і1 і1

2і

Інтеграли у виразі (2.102) відрізняються тільки межами, які враховують часові інтервали інтегрування. Тому, використовуючи аналітичний вираз пе­рехідної характеристики (2.100), обчислимо невизначений інтеграл:

1

\ё, анал (і - х)Іх = Т( ) -(єР1і |є-Р1 хіІх - ер2і |е-р2хіІх)=

Р1 (і-х) _ „р2 (і-х)

]ііх

єр1іє-р1х єр2іє~р2х -+ -

р1

= р1єр2іє~р2х - р2єр1іє-р1х = С(р1єр2іє-р2х - р1єр1іє~р1х)

р2

(2.103)

Підставивши вираз (2.103) у формулу (2.102) і виконавши перетворення, отримуємо кінцевий вираз для (табл.2.6).

Таблиця 2.6 - Вираз для і(і) кола у прикладі 2.14

0 при і < -і1

ще + иі   Гґі+єЕіЛ

2і1      Рі - Р2 11Ь 2і1

ґ 1 + Ср," Ь 2і1

Єр2і1 еР 2і

при - і1 < і < і1

——і-1—

2і1 р1-р2

2в1і( р1І1)|Ср2(ер1І1 -2е " р1і1)

Ь

2и

при і1 < і р 3і1

28Іі( р2і1)|Ср1(ер2І1 -2е - р2і1)

Ь

2і1 ,р2і

и1

р1-р2

2бь(р1і1) Ср2(ерЛ -2е"р1і1 + е-р13і1)

Ь

2і1

,р1і_

2бЬ(р2і1) Ср1(ер2і1 -2е-р2і1 +е-р23і1)

Ь

_і і_

при і > 3і1

2і1

,р2і

Щоб скоротити запис виразів у табл.2.6 (на інтервалах і1 < і < 3і1 та і > 3і1), використані гіперболічні функції:

*К р1і1)

.р1і1 - е-рл

*К р2і1)

,р2і1

- е

р2і1

2 2 За формулами з табл.2.6, побудуємо графік        (рис.2.50), вибравши

співвідношення:

р1 1

3і1

; р2 1

і1

Доказом того, що розв'язання вірне, є відсутність розривів у функції і(і)

та склад виразів для різних інтервалів часу (табл.2.6). Відсутність стрибків струму обумовлена неперервним характером перехідної характеристики. Вира­зи для інтервалів - і1 < і < і1 та і1 < і < 3і1, коли ивх (і) ф 0, містять вимушені

складові —-— та---— відповідно і вільні складові (експоненцшні функції з

показниками р1і та р2і ), а для інтервалу і > 3і1 - тільки вільні складові.

Варіант 2. Запишемо універсальну форму інтеграла Дюамеля (2.86), вра­ховуючи позначення для даної задачі:

і(і) = §и'вх (х)g(і - х)сїх.

-оо

Продиференціюємо вхідну напругу за х: (2.Ю4)

—і (1,5и1+ Щ1 х)[1( х + і1) - 1(х - + (1,5и1- Щ1 х)[1( х - і1) -1( х - 3і1) сіх І 2і1 2і1

ои1[1( х + і1) -1( х -    + (1,5и1+ и1 х)[5( х + і1) - 5( х -

2і

2і1

^[ІС х - і1) -1( х - Зі1) - (1,5и1-    х)[5( х - і1) - 5( х - Зі1).

2і1 2і1

(2.105)

си1

^    0       і1 2і1

Рисунок 2.50 - Графік струму кола у прикладі 2.14

Підставляючи вираз (2.105) у формулу (2.104), отримуємо:

оо оо

і(і) =— І[1(х + і1) -1(х - і1)]g(і -х)сіх + І (1,5и1+ —- х)[8(х +      8(х - і1)]g(і -х)сіх-

-оо -оо

оо

и1 и1 —1 І[1(х - і1) -1(х - 3^)^(і -х)сіх+ І (1,5и1--1 х)[8(х - і1) - 8(х - 3^)^(і -х)сіх=

2і 2і

= ^        х +      - 1(х - (і -х)іх + и18анал (і +      ■ 1(і + -

1 -со

оо

- и18анал (і - і1) ■ 1(і - і1) - ^ |[1(х - і{) - 1(х - Зі^(і -х)Іх.

1

(2.106)

У перетвореннях, які призводять до виразу (2.106), використана «фільтрувальна» властивість дельта-функції (2.21).

Вираз (2.106) дозволяє уточнити межі інтегрування і склад доданків за­лежно від інтервалу часу, для якого виконують розрахунки.

Перший з позаінтегральних доданків (2.106),

и1£анал (і + і1)      + і1) відмінний від нуля при і > -і1 , а другий

- и1£анал (і - і1)       - і1)

- при і > і1.

-оо

-оо

1ЗМежі інтегрування обумовлені значенням (нуль чи одиниця) різниць оди­ничних функцій, які складають підінтегральні вирази. Використовуючи графіки цих функцій (рис.2.49), отримуємо значення меж інтегрування, які зведемо до табл.2.7.

Таблица 2.7 - Межі інтегрування у виразі (2.106)

Другий інтеграл

-1-

Інтервал часу

Нижня межа

Верхня межа

Нижня межа

Верхня межа

- і1 < і < і1

- і 1

 

Інтеграл дорівнює нулю

і1 < і < 3іх

- і 1

 

 

 

і > 3і1

- і і

 

Ч

зі 1

Порівняння складу і меж інтегрування у формулі (2.106) із співвідношеннями (2.102) показує повний збіг виразів для відповідних інтервалів часу.

2.7 Визначення відгуку кола на довільну дію за допомогою імпульсної характеристики

Неперервну або кусково-неперервну дію 5вх (і) = 0 при і < 0 можна при­близно подати на інтервалі і > 0 сукупністю порівняно коротких прямокутних

імпульсів з однаковою тривалістю Ах (рис.2.51). Висота кожного з імпульсів дорівнює значенню дії для момента часу, який відповідає осі симетрії імпульсу. Використовуючи таку апроксимувальну функцію, дію приблизно можна запи­сати у вигляді:

к=0

1(і - хк +у) - 1(і - Хк )

(2.107)

аналітичне подання

к -го імпульсу; п - округлене до цілого числа значення дробу і /Ах.

Перший імпульс (к = 0, хк = 0), який входить до формули (2.107), стано­вить:

Перший та к -й імпульси позначені на рис.2.51 штрихуванням.

Л^0вх (і)

0

2

Лх 2

Рисунок 2.51 - До виведення першої форми інтеграла накладання з використанням імпульсної характеристики

Порівняно короткий прямокутний імпульс з одиничною висотою (рис.2.12, а) у даному випадку записується у вигляді:

а за формулою (2.24) приблизно виражається через дельта-функцію:

Ах Ах 1(і-хк + —)- 1(і-хк -—) * Ах5(і-хк). (2.108)

Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації