Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 22
функцію інтегрувального кола при і >> івх.
Приклад 2.14. Вхідною напругою аперіодичного послідовного контуру (рис.2.23, а) є кусково-неперервна дія (рис.2.48). Знайти струм у колі і побудувати його графік.
2ПХ
0
і 1
2і}
3і1
Рисунок 2.48 - Графік вхідної напруги у прикладі 2.14
Розв'язання. Запишемо вираз для ивх (і ) двома способами: 1) за інтервалами часу
0 при і <
1,5и1 + — і при _ і1 < і < і1;
1,5и1 _ і при і1 < і < 3і1; 2?1
(2.98)
0 при і > 3і1;
2) єдиним виразом за допомогою одиничних функцій (рис.2.49):
(і) = (1,5^1+ ^І) ■ + І1) _ + (1,5^1 _ ^І) ■ _ 1(і _ 3І1)]. (2.99)
Вхідна напруга містить два стрибки:
Ск= их; Ск= -и1.
[1(х + і1) -1(х -
1
- и
О
[1( х - гх) -1( х - 3?1)]
1
' 1 -►
х
а
О
' 1 б 3і1
х
Рисунок 2.49 - Графіки, які у прикладі 2.14 пояснюють подання ивх (і) єдиним виразом (2.99)
Щоб знайти перехідну характеристику за струмом, скористаємось формулою для перехідної характеристики за напругою на опорі аперіодичного контуру (табл.2.2):
2Ь(ер1* - ер2')
яка пов'язана з шуканою характеристикою очевидним співвідношенням:
ё2(') = &ёг (').
З огляду на це, запишемо перехідну характеристику у вигляді:
>р11 - £р21
Я Я(р1 - р2) Цр1 - р2)
(2.100)
де р1,2 рез
корені характеристичного рівняння;
рез
= 1/а/ЬЄ - резонансна частота; 8 = Я/2Ь - коефіцієнт загасання (для заданого аперіодичного режиму 8 > сорез).
Якщо записати ивх (і) у вигляді (2.98), щоб знайти струм, краще використовувати першу форму інтеграла Дюамеля (2.92). Подання ивх (і) єдиним виразом (2.99) дозволяє застосувати універсальний запис першої форми інтеграла Дюамеля (2.86). Виконаємо обидва варіанти розв'язання.
Варіант 1. Підставляючи вираз (2.98) у формулу (2.92) і враховуючи стрибки ивх (і), запишемо загальні співвідношення для струму:
Ііі)
о
при і <
1 и
(і + і1) + | (1,5и1+ — х)'8І (і - х)сіх при - і:< і< і1;
- іі
и& (і + іі) +1 (1,5иі+ ^ х)'8, (і - х)сїх -
іи
- и18і (і - і1) + | (1,5и1--1 х)'8І (і - х)сіх при і1< і< 3і1;
і1
(2.101)
и 18, (і + і1) +1 (1,5и1+ ^ х)'8, (і - х)сіх ■ -і1 2і1
Зі,
(і - і1) +І (1,5и1- — х)'(і - х)Іх при і > Зі1.
і1 2і1
Продиференціювавши ивх (х) у підінтегральних виразах, зведемо (2.101) до вигляду:
0
и і
и& (і + і1) + -1 18, (і - х)ск
при і < -і^' при - і1 < і < і1;
-і1
і1
и1 '1 и ' (2.102)
и& (і + і1) +—1 18 (і - х)Іх - и^, (і - і1)18, (і - х)ск при і< 3^;
2і
1 - і1
1;
и і1 и 1
(і + і1) І Я, (і - х)сІх - (і - і1) - -1 1& (і - х)сІх при і > 3^.
2і1 і1
2і
Інтеграли у виразі (2.102) відрізняються тільки межами, які враховують часові інтервали інтегрування. Тому, використовуючи аналітичний вираз перехідної характеристики (2.100), обчислимо невизначений інтеграл:
1
\ё, анал (і - х)Іх = Т( ) -(єР1і |є-Р1 хіІх - ер2і |е-р2хіІх)=
Р1 (і-х) _ „р2 (і-х)
]ііх
єр1іє-р1х єр2іє~р2х -+ -
р1
= р1єр2іє~р2х - р2єр1іє-р1х = С(р1єр2іє-р2х - р1єр1іє~р1х)
р2
(2.103)
Підставивши вираз (2.103) у формулу (2.102) і виконавши перетворення, отримуємо кінцевий вираз для (табл.2.6).
Таблиця 2.6 - Вираз для і(і) кола у прикладі 2.14
0 при і < -і1
ще + иі Гґі+єЕіЛ
2і1 Рі - Р2 11Ь 2і1
ґ 1 + Ср," Ь 2і1
Єр2і1 еР 2і
при - і1 < і < і1
——і-1—
2і1 р1-р2
2в1і( р1І1)|Ср2(ер1І1 -2е " р1і1)
Ь
2и
при і1 < і р 3і1
28Іі( р2і1)|Ср1(ер2І1 -2е - р2і1)
Ь
2і1 ,р2і
и1
р1-р2
2бь(р1і1) Ср2(ерЛ -2е"р1і1 + е-р13і1)
Ь
2і1
,р1і_
2бЬ(р2і1) Ср1(ер2і1 -2е-р2і1 +е-р23і1)
Ь
_і і_
при і > 3і1
2і1
,р2і
Щоб скоротити запис виразів у табл.2.6 (на інтервалах і1 < і < 3і1 та і > 3і1), використані гіперболічні функції:
*К р1і1)
.р1і1 - е-рл
*К р2і1)
,р2і1
- е
р2і1
2 2 За формулами з табл.2.6, побудуємо графік (рис.2.50), вибравши
співвідношення:
р1 1
3і1
; р2 1
і1
Доказом того, що розв'язання вірне, є відсутність розривів у функції і(і)
та склад виразів для різних інтервалів часу (табл.2.6). Відсутність стрибків струму обумовлена неперервним характером перехідної характеристики. Вирази для інтервалів - і1 < і < і1 та і1 < і < 3і1, коли ивх (і) ф 0, містять вимушені
складові —-— та---— відповідно і вільні складові (експоненцшні функції з
показниками р1і та р2і ), а для інтервалу і > 3і1 - тільки вільні складові.
Варіант 2. Запишемо універсальну форму інтеграла Дюамеля (2.86), враховуючи позначення для даної задачі:
і(і) = §и'вх (х)g(і - х)сїх.
-оо
Продиференціюємо вхідну напругу за х: (2.Ю4)
—і (1,5и1+ Щ1 х)[1( х + і1) - 1(х - + (1,5и1- Щ1 х)[1( х - і1) -1( х - 3і1) сіх І 2і1 2і1
ои1[1( х + і1) -1( х - + (1,5и1+ и1 х)[5( х + і1) - 5( х -
2і
2і1
^[ІС х - і1) -1( х - Зі1) - (1,5и1- х)[5( х - і1) - 5( х - Зі1).
2і1 2і1
(2.105)
си1
^ 0 і1 2і1
Рисунок 2.50 - Графік струму кола у прикладі 2.14
Підставляючи вираз (2.105) у формулу (2.104), отримуємо:
оо оо
і(і) =— І[1(х + і1) -1(х - і1)]g(і -х)сіх + І (1,5и1+ —- х)[8(х + 8(х - і1)]g(і -х)сіх-
-оо -оо
оо
и1 и1 —1 І[1(х - і1) -1(х - 3^)^(і -х)сіх+ І (1,5и1--1 х)[8(х - і1) - 8(х - 3^)^(і -х)сіх=
2і 2і
= ^ х + - 1(х - (і -х)іх + и18анал (і + ■ 1(і + -
1 -со
оо
- и18анал (і - і1) ■ 1(і - і1) - ^ |[1(х - і{) - 1(х - Зі^(і -х)Іх.
1
(2.106)
У перетвореннях, які призводять до виразу (2.106), використана «фільтрувальна» властивість дельта-функції (2.21).
Вираз (2.106) дозволяє уточнити межі інтегрування і склад доданків залежно від інтервалу часу, для якого виконують розрахунки.
Перший з позаінтегральних доданків (2.106),
и1£анал (і + і1) + і1) відмінний від нуля при і > -і1 , а другий
- и1£анал (і - і1) - і1)
- при і > і1.
-оо
-оо
1ЗМежі інтегрування обумовлені значенням (нуль чи одиниця) різниць одиничних функцій, які складають підінтегральні вирази. Використовуючи графіки цих функцій (рис.2.49), отримуємо значення меж інтегрування, які зведемо до табл.2.7.
Таблица 2.7 - Межі інтегрування у виразі (2.106)
Другий інтеграл
-1-
Інтервал часу
Нижня межа
Верхня межа
Нижня межа
Верхня межа
- і1 < і < і1
- і 1
Інтеграл дорівнює нулю
і1 < і < 3іх
- і 1
і > 3і1
- і і
Ч
зі 1
Порівняння складу і меж інтегрування у формулі (2.106) із співвідношеннями (2.102) показує повний збіг виразів для відповідних інтервалів часу.
2.7 Визначення відгуку кола на довільну дію за допомогою імпульсної характеристики
Неперервну або кусково-неперервну дію 5вх (і) = 0 при і < 0 можна приблизно подати на інтервалі і > 0 сукупністю порівняно коротких прямокутних
імпульсів з однаковою тривалістю Ах (рис.2.51). Висота кожного з імпульсів дорівнює значенню дії для момента часу, який відповідає осі симетрії імпульсу. Використовуючи таку апроксимувальну функцію, дію приблизно можна записати у вигляді:
к=0
1(і - хк +у) - 1(і - Хк )
(2.107)
аналітичне подання
к -го імпульсу; п - округлене до цілого числа значення дробу і /Ах.
Перший імпульс (к = 0, хк = 0), який входить до формули (2.107), становить:
Перший та к -й імпульси позначені на рис.2.51 штрихуванням.
Л^0вх (і)
0
2
Лх 2
Рисунок 2.51 - До виведення першої форми інтеграла накладання з використанням імпульсної характеристики
Порівняно короткий прямокутний імпульс з одиничною висотою (рис.2.12, а) у даному випадку записується у вигляді:
а за формулою (2.24) приблизно виражається через дельта-функцію:
Ах Ах 1(і-хк + —)- 1(і-хк -—) * Ах5(і-хк). (2.108)
Похожие статьи
Ю О Коваль - Основи теорії кіл
Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації