Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 23

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

Підстановка (2.108) до виразу (2.107) призводить останній до вигляду:

V (і) *2>вх к)5- Хкх. (2.109)

к=1

За принципом накладання відгук кола, яке має імпульсну характеристику Н(і), приблизно дорівнює сумі відгуків на кожний з імпульсних доданків

(2.109):

*вих (і) * 2>вх кЖі - Хкх. (2.110) к=1

Щоб точно описати sвих ), слід спрямувати Ах 0, а кількість імпульсів

- п = і / Ах оо. Це перетворить хк у поточну змінну х, Ах - у сіх, сума (2.110)

буде визначеним інтегралом по х, і в результаті відгук кола визначатиметься співвідношенням:

і+0

^вих(і) =| ^вх(х)Н(і - х)іх . (2.111)

-0

Вираз (2.111) є першою формою інтеграла накладання із застосуван­ням імпульсної характеристики. Нижня межа інтеграла (2.111) обумовлена тим, що відгук кола на початковий стрибок дії 5*вх (0) врахований першим чле-ном суми (2.107) Л^овх(0 • Верхня межа ґ + 0 необхідна у випадку, коли імпульсна характеристика Н(ґ - х) у підінтегральному виразі містить дельта-функцію 8- х).

Після заміни у виразі (2.111) змінної х на у = - х):

" \ V(ґ - уЖу¥у,

ґ+0 ґ+0

\ *вх  - у)Ж(у)Ф

- 0

та повернення до початкового позначення для змінної виходить друга форма інтеграла накладання із застосуванням імпульсної характеристики:

ґ+0

^вих(ґ) =  \ ^вх - Ф^СЬС . (2.112)

-0

Межі інтегрування в інтегралах (2.111) і (2.112) можна розширити:

оо

*вих (ґ) = \ V (х)Ж(ґ - х)ех; (2.113)

*вих (ґ) = \ V (ґ - х)Ж( х)йх, (2.114)

-оо

якщо для дії та імпульсної характеристики застосувати вирази:

(ґ) -1(ґ); Н(ґ) = gанал (ґ) -1(ґ) + g (0)8),

де ^вх анал (ґ), gанал (ґ) - аналітичні вирази відповідно вхідної дії для ґ > 0 і

перехідної характеристики.

Інтеграли (2.113) і (2.114) називають згорткою (або згортанням) двох функцій. Отже, відгук кола є згорткою вхідної дії та імпульсної характери­стики.

Термін «згортка» пояснює характер перетворень, яким піддаються функції 5*вх) та Ж(ґ) при обчисленні визначених інтегралів (2.113) і (2.114), - обчис­лення площі фігури, утвореної внаслідок перемноження однієї з функцій на дзеркально обернену другу (рис.2.52).

Термін згортка застосовується також до інтегралів накладання, записаних за допомогою перехідної характеристики (табл.2.5). У математиці інтеграл на­кладання, записаний у вигляді (2.90), називають згорткою за Стілтьєсом функцій     (ґ) та g ).

^вих (ґ) = "

зміни порядку інтегрування

^вих(ґ) =

7 У радіотехніці згортку двох сигналів називають їх кореляційною функцією. Залежно від того, розглядається згортка різних сигналів або одного й того ж сигналу, вводять­ся поняття взаємо- або автокореляційної функцій.

Рисунок 2.52 - Графіки, які пояснюють поняття згортки 5*вх (і) та И(і):

а - дія; б - перехідна характеристика; в - функції у складі інтеграла накладання {2.113); г - фігури, площі яких дорівнюють відгуку

Операцію згортки умовно позначають знаком «*», і тоді інтеграли накла­дання {2.113) і {2.114) записують скорочено:

*вих ) = V ) * *(і) = *(І) * V ).

У радіотехніці широко використовують дії, які мають вигляд коливань з частотою совх та «амплітудами» Бтвх ) і «початковими фазами» увх (і), що повільно змінюються. Ці дії називають радіосигналами і записують у вигляді:

V (І) =^твх(І)ОСВвхІвх (І)] = І^твх(І)е^+Увх]= К^твх(І)е^ ] ,(2.115)

де ^твх (і) = Бтвх )е]увх (І) - комплексна обвідна (змінна комплексна амплітуда) дії.

Як правило, радіосигнал діє на коливальне коло (одиночний контур, зв'язані контури тощо) з імпульсною характеристикою, яка має загальний ви­гляд:

Н(І) =Ят (І )0С8[ШАІ + У И )]-1(1) =Яе[Ят (і )е ^+У и (І)] • 1(і)] = (І )е ^ ],(2.116)

)уи )

де Нт ), у и ), Нт ) = Нт )е      1(і ) - відповідно обвідна амплітуди,

закон змінювання початкової фази та комплексна обвідна імпульсної характе­ристики.

З урахуванням співвідношень (2.115) і (2.116) застосування інтеграла на­кладання (2.114) дозволяє записати загальний вираз для відгуку коливального кола на дію радіосигналу у вигляді:

СІХ .

(2.117)

Підінтегральний вираз у формулі (2.117) можна перетворити, застосував­ши такі прийоми:

1) Яе[[твх (ґ - х)еуЮвх (ґ - х) ]■ Яе [ит (х)е3&ЖХ ] = Яе А ■ Яе 5,

де А = Ае]а = £твх(ґ-х)е^вх(ґ-х); В = Ве]Р = Нт(х)е№;

2) згідно з відповідними перетвореннями ,

Яе А ■ Яе В = АВ соб а соб р = 0,5 Яе( АВ + А*В) = 0,5 Яе( АВ + АВ*); (2.118)

3) на підставі формули (2.118)

Яе

0,5Яе|£твх (і - х >вх (і-х)

Нт )е^ +^твх - х

>вх (і-х)

Н т (х)е

0,5Яе

^твх     х)Нт (х)е і(Юи -Ювх )

+ £твх - х)Нт (х)е

ЧО» И + »вх )

>іювхІ

-. (2.119)

Після підстановки виразу (2.119) до (2.117) останній прийме вигляд:

^вих(0=Яе'

-да

= Яе^ вих У*"І. ,

7 «вх І

(2.120)

де §_твих (і>0,5 I [[[твх (і-х)Нт (х)е

СІХ

- комплексна обвідна вихідного радіосигналу (відгуку кола).

Практичне значення мають випадки збігу частот вхідного радіосигналу та імпульсної характеристики кола (совх = соИ), а також малих розстройок цих час­* »И ;   »И - «вх = А» ;   »И + «вх *

радіосигналів при цьому становитимуть:

1) при »вх = »И

тот (совх * соИ; соИ -»вх = Асо; соИ + совх * 2совх). Комплексні обвідні вихідних

§-т вих (і ) = 0,5

I£твх  - х)Нт (X) СІХ+ | £твх (і - х) Ні (хХСІХ

2) при малих розстройках

ЬЇтвих (і) *0,5

X) оо

|(І -х)Нт (х)еіА»Х ІХ+ |(І (х^'2»»ХІХ

; (2.121)

. (2.122)

0,5Яе(АВ +АВ*) = 0,5Яе( Аеіа Ве іР + Ае іа Ве-іР) = 0,5 АВ Яе[е

Да+в) + еі'(а-Р)

0,5АВЯе[еі(а+Р) ]+ 0,5АВКе[еЛа+в) ] = 0,5АВ[соБ(а + в) + сов(а - в)] 0,5 АВ (сова совв - віпа віпв + сов а сов в + віпа віпв) = АВ сов а сов в.

-да

-да

-да

-да

8

Другі інтеграли в формулах (2.121) і (2.122) однакові і практично дорівнюють нулю:

ж ж

\Smвх (t—x) К*m (x)eJ2Ювхxdx= ^«,вх (t—x)H*m (x^OS^a^x^—j SHl^O^x)]dx -0 .

—ж —ж

Цей факт пояснюється тим, що оскільки підінтегральний вираз скла­дається з коливань, обвідна яких £твх ^ - х)И_т (х) змінюється повільно, площі

додатних і від'ємних півхвиль цих коливань при обчисленні визначеного інтеграла взаємно скорочуються.

Якщо знехтувати другими інтегралами у (2.121) і (2.122), ці вирази при­ймуть вигляд:

ж

1) Smвих(t) - 0,5 jSmвх(t x)Hm(x)dx; (2.123)

-///вх

—ж

ж

2)                         Smвих(t) - 0,5 jSmвх(t x)Hm (x)eJAtDx dx . (2.124)

—ж

Зміна змінної в інтегралах (2.123) і (2.124) призводить до співвідношень:

ж

Smвих(t) - 0,5 jSmвх(x)Hm(t x)dx ; (2.125)

—ж

ж

Smвих(t) - 0,5 jSm,,(x)Hm (t x)ejAro(t—x) dx. (2.126)

Отже, комплексна обвідна вихідного радіосигналу за умови збігу час­тот вхідного радіосигналу та імпульсної характеристики кола визна­чається згорткою комплексних обвідних вхідного радіосигналу та імпульсної характеристики.

Вирази (2.124) і (2.126) свідчать, що при малих розстройках вихідний сиг­нал характеризується биттям з частотою Aco6 = |Aco| = |coh — совх|.

Приклад 2.15. Знайти вихідну напругу у прикладі 2.12, використовуючи імпульсну характеристику кола. Співставити результати прикладів 2.15 і 2.12.

Розв'язання. Скористуємось знайденим у підрозд. 2.3 виразом (2.38) для імпульсної характеристики даного кола та другою формою інтеграла накладан­ня (2.114). Враховуючи нескінченні межі в інтегралі (2.114), подамо вирази для вхідної напруги та імпульсної характеристики у вигляді:

ивх(t x) = U0e хвх -1(t x); h(x) = —1 e т •1(x)+5(x).

т

Складемо вираз для визначення відгуку кола:

tx

ж ж-- 1

"вих (t) = j "вх (t x)h(t x)dx = j U0e Твх 4(t x)

—ж —ж

e т

1(x )+5( x)

dx. (2.127)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації