Ю О Коваль - Основи теорії кіл - страница 27

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 

□ Мінімально- та немінімально-фазові кола

□ Операторна передатна функція неспотворюючого кола

□ Зв'язок операторної передатної функції з часовими характеристиками

и (р) г ( р)

А( Р) V (Р)

F (р) =| / )в~ р,Л

/(і) = — І ^(р)ер,сір

2Ш а-уоо

т

П (р - р0і)

Н (р) = ку ^-

►        П(р - р)

Лаплас

Ріман

Ващенко-Захарченко

3 ОПЕРАТОРНИЙ МЕТОД ДОСЛІДЖЕННЯ КІЛ У НЕСТАЦІОНАРНОМУ РЕЖИМІ

Класичний метод дослідження кіл у нестаціонарному режимі є ефектив­ним за наявності у колі не більше двох незалежних накопичувачів енергії та за умови, що коло живиться в усталеному режимі від джерела постійної чи сину­соїдної напруги (струму). При цьому вільна і вимушена складові мають певне фізичне значення, а їхні параметри можна дослідити безпосередньо за схемою кола. Збільшення порядку кола суттєво ускладнює обчислення сталих інтегрування, які визначають вільні коливання. Крім того, при дії джерела ко­ливань довільної форми визначення вимушеної складової стає громіздкою зада­чею. За цих умов ефективнішим є розв'язання диференціального рівняння кола за допомогою операційного числення. Одним з перших вітчизняних вчених, хто застосував операційне числення для інтегрування лінійних дифе­ренціальних рівнянь, був М.Є. Ващенко-Захарченко1.

Метод аналізу кіл у нестаціонарному режимі з використанням опе­раційного числення має назву операторного методу.

Операторний метод не потребує визначення сталих інтегрування і почат­кових значень відгуку, а дозволяє, розв' язуючи алгебраїчні рівняння, складені на підставі закону Ома та законів Кірхгофа, отримати функцію, однозначно пов' язану з відгуком.

3.1 Пряме перетворення Лапласа. Оригінали і зображення

Операторний метод грунтується на перетворенні функції /(ґ) дійсної змінної ґ (миттєвого значення струму чи напруги) у функцію і7 (р) комплексної змінної р (оператор р = а + у'со має назву комплексної частоти) за допомогою прямого перетворення Лапласа2:

1 Ващенко-Захарченко Михайло Єгорович (1825-1912) - український математик. Народився у Полтавській області, навчався у Київському університеті, потім у Па­рижі. Монографія «Символічне числення та його застосування до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь» (1862) була однією з перших робіт з операційного числення. Надрукував низку посібників з математики (елементарна геометрія, корот­кий курс теорії визначників, аналітична геометрія та алгебраїчний аналіз).

Лаплас П'єр Сімон, Laplace (1749-1827) - французький математик, фізик і астро­ном, член Паризької, Петербурзької та інших АН. Автор багатьох фундаментальних робіт з математики, експериментальної і математичної фізики та небесної механіки. Розвинув теорію диференціальних рівнянь, теорію ймовірностей, теорію помилок. Займався питаннями теплопровідності, електродинаміки. Запропонував новий метод обчислення орбіт небесних тіл, розробив теорію руху супутників Юпітера, визначив величину стиснення Землі біля полюсів тощо.і (р) = \ / (ґ )е - ріА. (3.1)

о

Функція дійсної змінної /(ґ) називається оригіналом, а відповідна їй функція комплексної змінної і7 (р) - зображенням за Лапласом або просто зоб­раженням. До простору оригіналів належать функції, які:

1) мають нульове значення при від'ємних значеннях аргументу: /(ґ) = 0, ґ < 0 (з огляду на це, нижня межа інтеграла (3.1) дорівнює нулю, а пе­ретворення (3.1) має назву однобічного);

2) мають обмежене зростання: \/) < Ме5ґ, де М, а - дійсні додатні ве­личини;

3) належать до кусково-неперервних функцій, котрі зі своїми похідними досить високого порядку є неперервними при всіх значеннях ґ > 0, крім скінченної кількості точок розриву першого роду.

Слід зазначити, що всі дії, які генеруються реальними джерелами, - це функції, що задовольняють наведеним вимогам, тобто належать до простору оригіналів. Відповідність зображення оригіналу позначається: і7 (р) = Х[ / )] і є однозначною. Функції і7 (р) утворюють простір зображень і мають низку вла­стивостей, що полегшує зворотній перехід до оригіналу.

3.2 Зображення деяких дій

Нижче розглянуті деякі дії, які описуються простими функціями і часто зустрічаються на практиці. Як і раніше (див. розд.1 і 2), вважається, що кому­тація (перехід кола у нестаціонарний режим) відбувається у момент часу   = 0.

Увімкнення до кола джерела постійної напруги чи струму можна описати функцією

/ ) = А 1),

де А - константа, яка залежно від типу джерела вимірюється у вольтах чи амперах; 1) = 1, ґ > 0 - функція Хевісайда.

Зображення функції 1) визначають за формулою (3.1):

оо оо

Х[1)] = 11) е - рійґ =| е- рійґ =-

е

о о р

1_;

р

отже Х[1(ґ)] = -, (3.2)

р

тоді £[А -1(ґ)] = А. (3.3)

р

Якщо дією є експоненційний імпульс (рис.3.1), оригінал, що йому відповідає, записується як /(ґ) = Ае~аґ -1(ґ), де А = /(0); коефіцієнт а (одини­ця вимірювання с-1) визначає швидкість спаду імпульсу.

0 і Рисунок 3.1 - Експоненційний імпульс

Перетворення Лапласа від цієї функції визначається за формулою:

і7(р) = | Ае~аіе~рійі = А| е-(р+а)ісїі = -

Ае

-

0 0

на підставі якої можна записати:

Х[ Ае±аі ] =

р + а

А

р + а

А

р + а (3.4)

1

Ідеалізацією прямокутного імпульсу з тривалістю т, висотою — і одинич-

т

ною площею, як показано вище (див. підрозд.2.2), є дельта-функція 8(і) - оди­ничний імпульс, зображення якої визначається виразом:

оо

Х[5(і)] = |8(і)е-ріЛ.

0

Добуток двох функцій 8(і) та е~р відрізнятиметься від нуля тільки при і = 0, оскільки 8(і) ф 0, якщо і = 0 . Другий множник у цей момент часу стано-

вить е і=0 = 1. Тоді Х[8(і)] = 18 (і )сІі = 1, бо інтеграл від дельта-функції - це

площа, обмежена 8(і) і віссю і, отже

Х[8(і)] = 1.

(3.5)

Співвідношення для деяких складніших функцій, що належать до просто­ру оригіналів, наведені у табл.3.1.

Переходячи від оригіналів до зображень, доцільно використовувати вла­стивості прямого перетворення Лапласа. Більшість з цих властивостей форму­люється у вигляді теорем, наведених у табл.3.2.

0

Таблиця 3.1 - Відповідності зображень і оригіналів

Д ї )]

ї )

1

1

8)

2

1

р

1)

3

1

Р 2

 

4

1

Рп

(п " 1,2, ... )

(п -1)!

5

А р ± а

 

6

А

р( р + а)

А (1 - е ~аі) а

7

А

(Р + а)2

 

8

р + а Р + Р

8) + (а-в)е "рі

9

А

(Р + а)( Р + р)

/   (е"аі - е) р

10

Ар

(р + а)( р + р)

Аре-а' е-р') а-р

11

^ р СОБ у - Со БІЙ ^

А           2 2 р2 + Со

А соб(соґ + у)

12

л р БІЙ у + Со СОБ 1|/

А           2 2 р   + Со

Абій(юґ + у)

13

А(р + 8) СОБ у - Асо бій у (р + 8)2 + со2

Ае ~8і соб(соґ + у)

14

А(р + 8) бій у + Асо соб у (р + 8)2 о2

Ае"8і біи(соі + у)

15

А

І  2 2

А         л/8 + со    -8і     . 8

 

р[( р + 8)2 + со2 ]

—2-2 [1--е    соб(со і - агсЩ —)]

82+со2           со со

Таблиця 3.2 - Властивості перетворення Лапласа

 

Теорема

Математичне формулювання

1

Лінійності

Х[ ±лк/к )] =£4 Х[ /к )]

к=1                  к=1

2

Диференціювання

Х[ / )] = рХ[ / )] - / (+0); Х[/(й) (і)] = р"Х[/(і)] - £   -к/(к-1) (+0)

к=1

3

Інтегрування

Х[? / (і ] = Х[ /(ґ)]

0 р

4

Запізнення

Х[ / (і - іо)] = Х[ / )] е ~РІ0

5

Згортки

Х[ / )] Х)] = }/ (т)Ф(і )А

0

6

Граничні співвідношення, якщо існує Ііт / )

Ґ -—оо

Ііт РХ[ /(і)] = Ііт /(і)

р -—да                     і — + 0

Ііт рХ[/(і )] = Ііт /(і)

р — + 0                     і -—да

3.3 Співвідношення між зображеннями струмів і напруг в елементах кола

Опір. Нехай струм ія ), який протікає в опорі, описується функцією, що належить до простору оригіналів, тобто Х[ія (і )] = Ія (р), тоді

да

І я(Р) = |ія)е-ріЛ. (3.6)

0

Позначивши зображення напруги ия (р), на підставі закону Ома можна записати:

аа

ия (р) = І Яія )е~ рісІі = Я| ія )е- рісІі = ЯІя (р); 00

и я ( р) = ЯІя ( р). (3.7) Рівняння (3.7) є операторною формою закону Ома. Отже, зображення на­пруги дорівнює добутку зображення струму і операторного опору, який збігається зі звичайним опором я .

Індуктивність. Якщо напруга і струм в індуктивності - функції часу, які належать до простору оригіналів, їх зображення становитимуть відповідно:

Хк (і )] = иь (р);    Х[іь )] = Іь (р).

Миттєве значення струму в індуктивності визначається через миттєве зна­чення напруги иь ):

1 1

1у(і) = у \ иу(і.

у -оо

Якщо поділити інтервал інтегрування на два півінтервали: до і після ко­мутації, останній вираз матиме вигляд:

1 +0 1 1

У -оо У + 0

Щоб знайти струм в індуктивності для і > 0 (після комутації), слід враху­вати перший доданок (частину струму), пропорційний (з коефіцієнтом 1/ У) площі, яка обмежена функцією иу (і) і віссю часу на півінтервалі (-а ,+0]. Ця постійна величина є струмом в індуктивності у момент комутації і позначається іу (+0). Тоді

іу(і) = іу(+0) + У )иу{і)Л. (3.8)

у + 0

Струм іу (+0) можна вважати струмом постійного джерела струму, який в

момент комутації умовно приєднується до індуктивності. Дію цього джерела враховують функцією іу (+0) • 1(і), зображення якої визначають за форму­лою (3.3):

Ціу (+0)    )] = (3.9)

р

Другий доданок у виразі (3.8), тобто зображення тієї частини струму в індуктивності, що змінюється у часі для > 0, можна знайти за теоремою інтегрування (табл .3.2):

1

1 1

рЬ

ІІу (р). (3.10)

0

З урахуванням співвідношень (3.9) і (3.10) рівність (3.8), перетворена за Лапласом, має вигляд:

Іу (Р) = + -Ьиу (р). (3.11)

р рЬ

За нульових початкових умов ( (-0) = 0) на підставі першого закону ко­мутації -у (-0) = -у (+0) = 0 рівняння (3.11) набуває вигляду:

Іу (р) = ^р^. (3.12)

Комплексну величину

2у (р) = ру (3.13)

називають операторним опором індуктивності.

Рівняння (3.12) є операторною формою закону Ома для індуктивності за нульових початкових умов.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118 


Похожие статьи

Ю О Коваль - Основи теорії кіл

Ю О Коваль - Основи теорії кіл сигналів та процесів в системах технічного захисту інформації